תחרות מס': 37


תשע"ו (2015-2016)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. מצולע המצויר על קווי הרשת של דף משבצות נקרא "מדהים" אם הוא לא מלבן ואפשר, ממספר עותקים שלו, להרכיב מצולע שדומה לו. למשל פינה המורכבת משלוש משבצות היא מצולע מדהים (כמתואר באיור).

א. (2 נקודות) מצאו מצולע מדהים המורכב מ-4 משבצות.
ב. (3 נקודות) לאילו ערכי קיים מצולע מדהים המורכב מ-n משבצות?
פתרון

2. מבין המספרים 1 עד 100 נבחרו k מספרים. מבין המספרים שלא נבחרו, האם בהכרח קיימים k מספרים שסכומם 100, כאשר:
א. (2 נקודות) k=9?
ב. (4 נקודות) k=8?
פתרון

3. נתון משולש שהיקפו P. הוכיחו כי סכום האורכים של כל שני תיכונים הוא:
א. (3 נקודות) לא יותר מ-3P/4;
ב. (5 נקודות) לא פחות מ-3P/8.
פתרון

4. (8 נקודות) הרכיבו ריבוע 9×9 מגפרורים. על כל צלע של כל משבצת (כולל הפנימיות), מונח גפרור בודד. עופר וטל מסירים גפרורים מהלוח בתורות – גפרור אחד בכל תור. עופר משחק ראשון. המשחק מסתיים כאשר לא נשאר אף ריבוע 1×1 המורכב מגפרורים, והשחקן ששיחק אחרון מנצח. למי מהשחקנים יש אסטרטגיה שתאפשר לו לנצח ללא תלות במהלכי היריב?
פתרון

5. (8 נקודות) במשולש ABC התיכונים AA0, BB0 ו-CC0 נפגשים בנקודה M. הוכיחו כי מרכזי המעגלים החוסמים את המשולשים MA0B0, MCB0, MA0C0, MBC0 והנקודה M נמצאים על מעגל אחד.
פתרון

6. על הלוח כתובים מספרים ממשיים שונים. שמעון רוצה לכתוב ביטוי שייתן את כל המספרים המופיעים על הלוח, ורק אותם. לשם כך, מותר לו לכתוב כל מספר ממשי שירצה, את הסימן המיוחד ±, את הסימנים הרגילים + , – , × וסוגריים. בחישוב הביטוי, בכל מקום בו מופיע הסימן ± הוא יחושב גם כ + וגם כ –, בכל קומבינציה אפשרית. למשל, אם על הלוח כתובים המספרים 4,6 שמעון יוכל לכתוב 5±1 , ואם על הלוח כתובים המספרים 1,2,3 שמעון יוכל לכתוב (2±0.5)±0.5. האם שמעון תמיד יכול לכתוב ביטוי כזה אם על הלוח כתובים:
א. (3 נקודות) המספרים 1,2,4.
ב. (7 נקודות) 100 מספרים ממשיים שונים כלשהם.
פתרון

7. (10 נקודות) למרדכי יש ממתקים מ-n סוגים שונים, k ממתקים מכל סוג. הוא חילק את הממתקים ל-k משלוחי-מנות המכילים n ממתקים כל אחד, וחילק את משלוחי-המנות ל-k ילדים. הילדים החליטו לחלק את הממתקים מחדש בצורה הוגנת. שני ילדים יסכימו להחליף ממתק בממתק אם כל אחד יקבל ממתק שאין לו. האם תמיד ניתן לארגן סדרת החלפות כך שבסופן לכל ילד יהיו ממתקים מכל הסוגים?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) נתונה סדרה הנדסית של 37 מספרים טבעיים. המספר הראשון והמספר האחרון זרים זה לזה. הוכיחו כי האיבר ה-19 בסדרה שווה למספר טבעי בחזקת 18.
פתרון

2. (6 נקודות) נתון ריבוע 10×10 המצויר על דף משבצות. בתוך הריבוע סומנו 80 קטעי יחידה על גבי קווי הרשת של הדף, וכתוצאה מכך הוא חולק ל-20 מצולעים שווי שטח. הוכיחו כי כל המצולעים הללו חופפים.
פתרון

3. (6 נקודות) נתון פולינום לא קבוע שכל מקדמיו הם שלמים בעלי ערך מוחלט שלא עולה על 2015. הוכיחו כי כל השורשים החיוביים של הפולינום גדולים מ-1/2016.
פתרון

4. (7 נקודות) נתון כי המרובע ABCD חסום במעגל. המשכי הצלעות הנגדיות של המרובע נחתכים בנקודות P ו-Q. יהיו K ו-N אמצעי האלכסונים. הוכיחו כי סכום הזויות PKQ ו-PNQ הוא 180°.
פתרון

5. על הלוח כתובים מספרים ממשיים שונים. שמעון רוצה לכתוב ביטוי שייתן את כל המספרים המופיעים על הלוח, ורק אותם. לשם כך, מותר לו לכתוב כל מספר ממשי שירצה, את הסימן המיוחד ±, את הסימנים הרגילים + , – , × וסוגריים. בחישוב הביטוי, בכל מקום בו מופיע הסימן ± הוא יחושב גם כ + וגם כ –, בכל קומבינציה אפשרית. למשל, אם על הלוח כתובים המספרים 4,6 שמעון יוכל לכתוב 5±1 , ואם על הלוח כתובים המספרים 1,2,3 שמעון יוכל לכתוב (2±0.5)±0.5. האם שמעון תמיד יכול לכתוב ביטוי כזה אם על הלוח כתובים:
א. (2 נקודות) המספרים 1,2,4.
ב. (6 נקודות) 100 מספרים ממשיים שונים כלשהם.
פתרון

6. ליוסי אבטיח בצורת כדור בקוטר 20 ס"מ. יוסי חותך את האבטיח באמצעות סכין ארוכה לאורך שלושה מישורים הניצבים זה לזה. כל חיתוך יוצר צורת מִקְטָע בגובה h (מקטע הוא חלק העיגול החסום בין מיתר לקשת המתאימה לו. גובהו של מקטע הוא המרחק בין אמצע הקשת למיתר - ראו איור).

האם בהכרח האבטיח חולק לשני חלקים שונים לפחות, כאשר:
א. (6 נקודות) 17=h ס"מ?
ב. (6 נקודות) 18=h ס"מ?
פתרון

7. (12 נקודות) N ילדים בעלי גבהים שונים עומדים בשורה. מחלקים אותם למספר המינימלי של קבוצות ילדים עוקבים, כך שבכל קבוצה הילדים מסודרים לפי גובהם, עם הגבוה ביותר מימין (תיתכנה קבוצות של ילד אחד). לאחר מכן הופכים את סדר הילדים בתוך כל קבוצה. הוכיחו כי לאחר N-1 צעדים כאלה כל הילדים יעמדו מסודרים לפי גובהם, כך שהגבוה ביותר משמאל.
פתרון


אביב


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) על פס נייר ארוך רשמו ברצף את כל המספרים מ-1 עד 1000000, כולל, בסדר שרירותי. לאחר מכן גזרו את הפס לחלקים, כך שבכל חלק יש שתי ספרות. הוכיחו שכל מספר דו-ספרתי מופיע על אחד החלקים.
פתרון

2. האם קיימים מספרים שלמים a,b כך ש:
א. (2 נקודות) למשוואה x2+ax+b=0 אין שורשים ממשיים, ולמשוואה [x2]+ax+b=0 יש?
ב. (3 נקודות) למשוואה x2+2ax+b=0 אין שורשים ממשיים, ולמשוואה [x2]+2ax+b=0 יש?
הערה: [x] מסמן את החלק השלם של x , כלומר המספר השלם הגדול ביותר שלא עולה על x.
פתרון

3. (6 נקודות) נתון ריבוע בעל אורך צלע 10. הוכיחו שניתן לחתוך אותו ל-100 מרובעים חופפים שכל אחד מהם חסום במעגל שקוטרו 3√.
פתרון

4. (8 נקודות) צייר לקח קוביית עץ בגודל 5×5×5, חילק כל פאה לריבועי יחידה, וצבע כל ריבוע באחד משלושה צבעים – שחור, לבן או אדום – כך שכל שני ריבועים בעלי צלע משותפת צבועים בצבעים שונים.
מהו המספר הקטן ביותר האפשרי של ריבועים שחורים?
פתרון

5. (8 נקודות) יהא p מספר ראשוני שגדול מ-10k. תומר לקח מספר שמתחלק ב-p והכניס מספר k-ספרתי A בין שתי ספרות סמוכות שלו. התקבל מספר C, שגם הוא מתחלק ב-p. לאחר מכן תומר הכניס מספר k-ספרתי B בין שתי ספרות סמוכות של C, שהיו במקור ספרות סמוכות של A, ושוב התקבל מספר שמתחלק ב-p.
הוכיחו כי ניתן לקבל את B מ-A על ידי שינוי סדר הספרות שלו.
פתרון

6. (9 נקודות) שואב אבק רובוטי בצורת עיגול נסע על רצפה שטוחה. לכל נקודה על שפת הרובוט קיים ישר שהנקודה נמצאה עליו לאורך כל המסע.
האם בהכרח קיים ישר כך שמרכז הרובוט נמצא עליו לאורך כל המסע?
פתרון

7. א. (5 נקודות) נתון פנס ו-2n+1 סוללות (n>2 ). ידוע שכמות הסוללות החדשות גדולה ב-1 מכמות הסוללות הריקות, אך לא ידוע אילו סוללות הן חדשות ואילו ריקות. ניתן להכניס שתי סוללות לתוך הפנס והוא יאיר אך ורק אם שתיהן חדשות.
כמה נסיונות נדרשים על מנת להפעיל את הפנס בוודאות?
ב. (5 נקודות) אותה השאלה, אך כאשר יש 2n סוללות (n>2 ), וידוע שיש אותה כמות של סוללות חדשות וסוללות ריקות.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) על פס נייר ארוך רשמו ברצף את כל המספרים מ-1 עד 1000000, כולל, בסדר שרירותי. לאחר מכן גזרו את הפס לחלקים, כך שבכל חלק יש שתי ספרות. הוכיחו שכל מספר דו-ספרתי מופיע על אחד החלקים.
פתרון

2. (5 נקודות) נתון ריבוע בעל אורך צלע 10. הוכיחו שניתן לחתוך אותו ל-100 מרובעים חופפים שכל אחד מהם חסום במעגל שקוטרו 3√.
פתרון

3. (6 נקודות) יהא ABC משולש שווה שוקיים ויהא M אמצע הבסיס AC. על הצלעות AB ו-BC סומנו נקודות E ו-F בהתאמה, כך ש-AE≠CF וכן ∠FMC=∠MEF=α. מצאו את ∠AEM.
פתרון

4. (8 נקודות) בממלכה 64 ערים. חלק מהערים מחוברות בכביש, אך לא ידוע אילו בדיוק. על כל זוג ערים ניתן לשאול אם קיים ביניהן כביש. ברצוננו לגלות האם ניתן להגיע מכל עיר לכל עיר אחרת באמצעות הכבישים. הוכיחו כי לא ניתן לעשות זאת בפחות מ-2016 שאלות.
פתרון

5. (8 נקודות) על הלוח כתובים מספר פולינומים ממעלה 37, שכל מקדמיהם אי-שליליים, והם מתוקנים (כלומר, בכל הפולינומים הכתובים המקדם של x37 שווה ל-1). בכל שלב ניתן לבחור כל שני פולינומים רשומים f ו-g ולהחליפם בשני פולינומים מתוקנים ממעלה 37, f1 ו-g1, המקיימים fg=f1g1 או f+g=f1+g1. הוכיחו כי לא ייתכן שלאחר מספר סופי של מהלכים לכל הפולינומים על הלוח יהיו 37 שורשים חיוביים שונים.
פתרון

6. פלינדרום הוא מילה שהיא אותו דבר כאשר קוראים אותה מההתחלה או מהסוף.
א. (4 נקודות) יוצרים מילה לפי הכלל הבא: מתחילים מהמילה הריקה ובכל שלב ניתן להכניס למילה הנוכחית את אחת המילים abc,bca,cab בין שתי אותיות סמוכות, או בהתחלה, או בסוף. האם ניתן באופן זה לקבל פלינדרום?
ב. (6 נקודות) מבצעים את אותו התהליך, אבל מותר להשתמש גם במילים acb,cba,bac. מהלך נקרא מסוג ראשון אם מכניסים את אחת המילים abc,bca,cab, ומסוג שני אחרת. בסוף התהליך התקבל פלינדרום.
האם כמות המהלכים מסוג ראשון בהכרח שווה לכמות המהלכים מסוג שני?
פתרון

7. על כוכב לכת כדורי עם קו משווה בעל היקף 1 מתכננים להניח מסילות רכבת, שכל אחת מהן תהיה בצורת מעגל שהיקפו 1. לאחר מכן, לאורך כל מסילה תפעלנה מספר רכבות. כל הרכבות תיסענה באותה מהירות חיובית וקבועה מבלי לעצור ומבלי להתנגש.
מהו האורך הכולל המקסימלי האפשרי של כל הרכבות? (הרכבות הן קשתות בעלות עובי זניח, ללא נקודות קצה.)
א. (4 נקודות) כאשר שווה 3.
ב. (6 נקודות) כאשר שווה 4.
פתרון