תחרות מס': 40


תשע"ט (2018-2019)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (5 נקודות) הנקודה M היא אמצע הצלע BC במשולש ABC. הנקודה E נמצאת בתוך הצלע AC (ולא בקצוות). נתון כי BE≥2AM. הראו כי למשולש ABC יש זווית קהה.
פתרון

2. (6 נקודות) באי יש דוברי אמת, דוברי שקר, וחנפנים. סידרו 2018 מילידי האי בשורה ושאלו אותם לפי הסדר "האם יש יותר דוברי אמת מדוברי שקר בשורה?". הילידים ענו לפי הסדר ב"כן" ו"לא", כך שכולם שמעו את התשובה. דוברי אמת ענו את התשובה הנכונה, דוברי שקר שיקרו, וחנפנים נתנו את התשובה שרוב האנשים ענו לפניהם; אם הכמות שווה הם ענו "כן" או "לא" באופן שרירותי. סך הכול, בדיוק 1009 אנשים ענו "כן". מהו מספר החנפנים המרבי האפשרי?
פתרון

3. (8 נקודות) מטרתנו היא ליצור מספר שכל ספרותיו הן 7, באמצעות תרגיל חשבון שמשתמש רק בספרה 7, חיבור, חיסור, כפל, חילוק, חזקה וסוגריים. לדוגמא, את המספר 77 אפשר לייצר עם פעמיים הספרה 7, פשוט לרשום 77. האם יש מספר מהצורה 7...77, אותו ניתן לבטא כתוצאה של תרגיל חשבון המשתמש בפחות ספרות 7 משנדרש כדי לכתוב אותו בכתיב עשרוני?
פתרון

4. (8 נקודות) על לוח 7×7 עלולה להיות צוללת 2×2 בלתי נראית; ייתכן גם שאין צוללת והלוח ריק. ניתן למקם על חלק מהמשבצות גלאים. לאחר מכן מפעילים את כל הגלאים בו-זמנית, וכל גלאי מאותת אם על המשבצת שלו יש חלק מהצוללת. מהי הכמות הקטנה ביותר של גלאים שצריך על מנת שנוכל לגלות האם יש צוללת, ואם כן, אילו משבצות היא תופסת?
פתרון

5. (8 נקודות) טרפז שווה שוקיים ABCD שבסיסיו AD ו-BC חסום במעגל שמרכזו O. הישר BO חותך את AD בנקודה E. מרכזי המעגלים החוסמים את ABE ו-DBE הם O1 ו- O2 בהתאמה. הראו כי הנקודות C, O, O1 ו- O2 נמצאות על מעגל אחד.
פתרון

6. הראו כי:
א. (7 נקודות) כל מספר מהצורה 3k-2, כאשר k שלם, ניתן להציג בצורת סכום a2+b3+c3 כאשר a,b,c הם מספרים שלמים.
ב. (3 נקודות) כל מספר שלם ניתן להציג בצורת סכום a2+b3+c3+d3 כאשר a,b,c,d הם מספרים שלמים.
פתרון

7. במדינה וירטואלית יש לפחות שתי ערים. כל כביש מחבר שתי ערים, ומכל עיר אפשר להגיע לכל עיר באמצעות תנועה בכבישים (בין כל שתי ערים עובר לכל היותר כביש אחד). אם ניתן להתחיל לנוע מאחת הערים ולחזור לאותה עיר בלי לעבור פעמיים באותו כביש, המדינה נקראת מורכבת, ואחרת המדינה נקראת פשוטה. ליאור ומנשה משחקים משחק. בהתחלה ליאור קובע כיוון לכל כביש, וממקם תייר באחת הערים. מרגע זה בכל תור ליאור עושה מהלך עם התייר באחד הכבישים בכיוון המותר, ולאחר מכן מנשה משנה את הכיוון בכביש אחד שנכנס או יוצא מהעיר אליה התייר הגיע. מנשה מנצח אם בשלב מסוים ליאור כבר לא יכול לבצע מהלך.
א. (5 נקודות) הראו כי מנשה לא יכול לנצח באף מדינה פשוטה.
ב. (7 נקודות) הראו כי מנשה יכול לנצח בכל מדינה מורכבת.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (5 נקודות) באי יש דוברי אמת, דוברי שקר, וחנפנים. סידרו 2018 מילידי האי בשורה ושאלו אותם לפי הסדר "האם יש יותר דוברי אמת מדוברי שקר בשורה?". הילידים ענו לפי הסדר ב"כן" ו"לא", כך שכולם שמעו את התשובה. דוברי אמת ענו את התשובה הנכונה, דוברי שקר שיקרו, וחנפנים נתנו את התשובה שרוב האנשים ענו לפניהם; אם הכמות שווה הם ענו "כן" או "לא" באופן שרירותי. סך הכול, בדיוק 1009 אנשים ענו "כן". מהו מספר החנפנים המרבי האפשרי?
פתרון

2. (7 נקודות) המשולש ABC חד-זוויות, וכל צלעותיו שונות. מרכז המעגל החוסם של המשולש הוא O, ושניים מהגבהים הם AHa ו- BHB. הנקודות X ו-Y סימטריות לנקודות AHa ו- HB ביחס לאמצעי הצלעות BC ו-AC בהתאמה. הראו כי הישר CO מחלק את הקטע XY לשני חלקים שווים.
פתרון

3. הראו כי:
א. (6 נקודות) כל מספר מהצורה 3k-2, כאשר k שלם, ניתן להציג בצורת סכום a2+b3+c3 כאשר a,b,c הם מספרים שלמים.
ב. (2 נקודות) כל מספר שלם ניתן להציג בצורת סכום a2+b3+c3+d3 כאשר a,b,c,d הם מספרים שלמים.
פתרון

4. (8 נקודות) יש לדניאל מישור אינסופי שמחולק למשבצות. בהתחלה צבוע מספר סופי של משבצות בשחור. על המישור מונח מצולע מנייר, M, שמורכב ממשבצות; יש בו יותר ממשבצת אחת והוא מונח על המישור לפי קווי המשבצות. מותר להזיז את M מבלי לסובב, בכל מרחק לכל כיוון, כך שגם אחרי ההזזה הוא יהיה מונח לפי המשבצות. אם, לאחר הזזה מסוימת, M מכסה משבצות שבדיוק אחת מהן לבנה, משבצת זו נצבעת בשחור. הראו כי קיימת משבצת לבנה שאף פעם לא תיצבע בשחור, לא משנה איך יזיזו את M.
פתרון

5. (8 נקודות) שלושת התיכונים במשולש מחלקים את זוויותיו ל-6 זוויות, שבדיוק k מהן גדולות מ-30o. מהו הערך המרבי של k?
פתרון

6. (9 נקודות) על ציר המספרים סומנו אינסוף מספרים טבעיים. כאשר גלגל מתגלגל על הציר, כל נקודה מסומנת משאירה עליו סימן נקודתי. הוכיחו כי קיים מספר ממשי R, כך שאם מגלגלים גלגל שרדיוסו R אז על כל קשת של המעגל שגודלה הזוויתי 1o יישאר סימן אחד לפחות.
פתרון

7. דוד ואוריה משחקים משחק. נתונות n>1 ערים, ובכל עיר כמות שווה של תושבים. בהתחלה לכל תושב יש מטבע אחד בדיוק (המטבעות זהים). בכל תור דוד בוחר מועצה המורכבת מתושב אחד מכל עיר, ואוריה לוקח את כספם של חברי המועצה, ומחלק אותו ביניהם מחדש כך שחלוקת הכסף תהיה שונה מהחלוקה שהייתה לפני המהלך. דוד מנצח אם בכל עיר יש לפחות אדם אחד ללא כסף. הראו שדוד יוכל לנצח אם בכל עיר:
א. (10 נקודות) יש בדיוק 2n תושבים.
ב. (4 נקודות) יש בדיוק 2n-1 תושבים.
פתרון