תחרות מס': 39


תשע"ח (2017-2018)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) ברשותכם משקולת של 6 ק"ג, וכן כמות בלתי מוגבלת של סוכר ושל שקיות חסרות משקל. בנוסף, יש לכם מאזני כף לא סטנדרטיים: המאזניים נמצאים בשיווי משקל כאשר המשקלים בכף השמאלי ובכף הימני הם ביחס של (כלומר כאשר שליש המשקל בצד שמאל שווה לרבע המשקל בצד ימין). במהלך שקילה אחת אפשר להניח על המאזניים שקיות סוכר שכבר ברשותכם, ולאחר מכן לאזן את המאזניים על ידי שקית חדשה עם סוכר שתשימו על אחת הכפות (שבהמשך יהיה ניתן להשתמש גם בה למטרת השקילה).
האם תוכלו למדוד 1 ק"ג של סוכר באמצעות מספר שקילות?
פתרון

2. (4 נקודות) נתונים שני מטבעות ברדיוס 1 ס"מ, שני מטבעות ברדיוס 2 ס"מ, ושני מטבעות ברדיוס 3 ס"מ. בהתחלה ניתן להניח על השולחן שני מטבעות כלשהם, כך שהם ישיקו זה לזה. לאחר מכן ניתן להוסיף מטבעות בזה אחר זה, כך שכל מטבע שמוסיפים ישיק לפחות לשני מטבעות שכבר נמצאים על השולחן. אסור שמטבעות יעלו זה על זה.
האם ניתן לגרום לכך שמרכזיהם של שלושה מהמטבעות האלו יהיו על ישר אחד?
פתרון

3. (6 נקודות) אנליסט הרכיב תחזית של שינוי שערי הדולר לשלושה חודשים: בכמה אחוזים ישתנה שער הדולר ביוני, בכמה אחוזים ביולי, ובכמה אחוזים באוגוסט (השינוי גדול מ- 0% וקטן מ- 100%). הסתבר שבכל אחד מהחודשים הוא חזה נכון את גודל השינוי באחוזים של שער הדולר, אבל טעה בכיוון (כלומר, אם הוא חזה שהדולר גדל ב- אחוז, אז במציאות הוא קטן ב- אחוז, ולהיפך). אך בתום שלושה חודשים אלה, שער הדולר במציאות היה שווה לזה שחזה האנליסט.
באיזה כיוון השתנה שער הדולר בסוף שלושת החודשים האלה ביחס לתחילתם?
פתרון

4. בפניכם 100 דלתות, ולכל אחת מהן יש מפתח (שפותח רק אותה). הדלתות ממוספרות מ-1 עד 100. גם המפתחות ממוספרים מ-1 עד 100, אבל המספור של המפתחות יכול להכיל טעויות: מספר של מפתח יכול להיות שווה למספר הדלת שהוא פותח, ויכול להיות שונה ממנו ב-1. תוך ניסיון אחד אפשר לבחור מפתח כלשהו ודלת כלשהי, ולבדוק האם המפתח פותח את הדלת.
האם ניתן לקבוע בוודאות איזה מפתח מתאים לכל דלת:
א. (1 נקודה) תוך לא יותר מ-99 ניסיונות;
ב. (3 נקודות) תוך לא יותר מ-75 ניסיונות;
ג. (4 נקודות) תוך לא יותר מ-74 ניסיונות.
פתרון

5. (9 נקודות) נתון מספר טבעי n שגדול מ-1. כאשר הופכים את סדר ספרותיו ברישום עשרוני, מקבלים מספר חדש m. האם יתכן שהרישום העשרוני של המכפלה m·n מורכב מספרות "1" בלבד?
פתרון

6. (9 נקודות) המעגל החסום של המשולש ABC משיק לצלעותיו AB, BC ו-CA בנקודות N, K ו-M בהתאמה. הישרים MN ו-MK חותכים את חוצה הזווית החיצוני של הזווית B בנקודות R ו-S בהתאמה.
הוכיחו כי נקודת החיתוך של הישרים RK ו-SN נמצאת על המעגל החסום במשולש ABC.
פתרון

7. עיר מסוימת היא בצורת מלבן המחולק למשבצות, ובכל משבצת נמצא בניין בן חמש קומות. בהתאם לתכנית פינוי-בינוי, אפשר לבחור שתי משבצות כלשהן שסמוכות לפי צלע ושעל כל אחת מהן יש בניין, להרוס את הבניין הנמוך יותר מבין השניים (או אחד מהם אם שניהם באותו גובה), ולהוסיף קומות לבניין השני כך שכמות הקומות הכוללת לא השתנתה. מה הוא המספר המינימלי של בניינים שיכולים להישאר בעיר, אם גודל העיר הוא:
א. (5 נקודות) 20×20 משבצות?
ב. (5 נקודות) 50×90 משבצות?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. בפניכם 100 דלתות, ולכל אחת מהן יש מפתח (שפותח רק אותה). הדלתות ממוספרות מ-1 עד 100. גם המפתחות ממוספרים מ-1 עד 100, אבל המספור של המפתחות יכול להכיל טעויות: מספר של מפתח יכול להיות שווה למספר הדלת שהוא פותח, ויכלו להיות שונה ממנו ב-1. תוך ניסיון אחד אפשר לבחור מפתח כלשהו ודלת כלשהי, ולבדוק האם המפתח פותח את הדלת.
האם ניתן לקבוע בוודאות איזה מפתח מתאים לאיזו דלת:
א. (1 נקודה) תוך לא יותר מ-99 ניסיונות;
ב. (2 נקודות) תוך לא יותר מ-75 ניסיונות;
ג. (3 נקודות) תוך לא יותר מ-74 ניסיונות.
פתרון

2. (5 נקודות) נתון משושה משוכלל שמרכזו O. מעבירים שישה מעגלים חופפים עם מרכזים בקודקודי המשושה, כך שהנקודה O נמצאת בתוך כל אחד מהמעגלים. זווית בגודל α שקודקודה ב-O חותכת קשת מכל מעגל. הוכיחו כי סכום הגדלים של 6 הקשתות האלה שווה ל-6α.
פתרון

3. (6 נקודות) אנליסט הרכיב תחזית של שינוי שערי הדולר ל-12 חודשים: בכמה אחוזים ישתנה שער הדולר באוקטובר, בכמה אחוזים בנובמבר, ..., ובכמה אחוזים בספטמבר של השנה הבאה. הסתבר שבכל אחד מהחודשים הוא חזה נכון את גודל השינוי באחוזים של שער הדולר, אבל טעה בכיוון (כלומר, אם הוא חזה שהדולר גדל ב- x אחוז, אז במציאות הוא קטן ב-x אחוז, ולהיפך). אך בתום 12 חודשים אלה, שער הדולר במציאות היה שווה לזה שחזה האנליסט. באיזה כיוון השתנה שער הדולר בסוף 12 החודשים האלה ביחס לתחילתם?
פתרון

4. (8 נקודות) נתונה סדרה אינסופית a0,a1,…,an,... שמורכבת ממספרים 1 ו-1-.
הוכיחו כי קיימים n ו k כך ש-
|a0·a1·…·ak + a1·a2·…·ak+1 + . . . + an·an+1·…·a an+k|=2017.
פתרון

5. נתון מספר R<1. יוסי רוצה לפרוס גוש גבינה לחתיכות לפי הכללים הבאים:
1) בהתחלה חותכים את הגבינה לשתיים, אחרי זה בוחרים את אחת החתיכות וחותכים אותה לשתיים, אחרי זה בוחרים אחת מ-3 החתיכות וחותכים אותה לשתיים, וכן הלאה.
2) אחרי כל חיתוך, יחס המשקלים של כל שתי חתיכות חייב להיות גדול מ-R.
א. (3 נקודות) הוכיחו כי עבור R=0.5, ניתן להמשיך את התהליך עד אינסוף.
ב. (4 נקודות) הוכיחו כי לכל R>0.5, תהליך החיתוך חייב לעצור אחרי מספר סופי של צעדים.
ג. (4 נקודות) מהו המספר המקסימלי של חלקים שאפשר לקבל עבור R=0.6?
פתרון

6. (10 נקודות) נתון משולש ABC. יהי I מרכז המעגל החסום מבחוץ שמשיק לצלע AB. המעגלים החסומים מבחוץ שמשיקים לצלעות BC ו- AC משיקים להן בנקודות A1 ו-B1 בהתאמה. נסמן ב-M את אמצע הקטע IC ונסמן ב-N את נקודת החיתוך של הקטעים AA1 ו-BB1. הוכיחו כי הנקודות N, B1, A ו-M נמצאות על מעגל אחד.
פתרון

7. (10 נקודות) עיר מסוימת היא בצורת ריבוע n×n שמחולק למשבצות בגודל 1×1. רחובות העיר הם צלעות המשבצות, כאשר כיווני הרחובות הם מצפון לדרום וממזרח למערב. כל בוקר דני הולך מהפינה הדרום-מערבית לפינה הצפון-מזרחית של העיר, תוך כדי הליכה צפונה או מזרחה בלבד, ובערב הוא חוזר, תוך כדי הליכה דרומה או מערבה בלבד. כל בוקר וכל ערב הוא בוחר את הדרך כך שסכום האורכים של קטעי הדרך המוכרים יהיה מינימלי (כלומר, קטעי דרך שהוא כבר עבר בהם, בכיוון זה או אחר). הוכיחו כי תוך ימים, דני יעבור בכל אחד מרחובות העיר במלואו.
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) רשמו בשורה שלושים ותשעה מספרים שונים מ-0, כך שסכום כל שניים סמוכים חיובי אבל סכום כל המספרים שלילי. מהו הסימן של מכפלת כל המספרים?
פתרון

2. (5 נקודות) לאלאדין יש מספר מטילי זהב זהים ולפעמים הוא מבקש מהג'יני להגדיל את הכמות שלהם. הג'יני מוסיף 1000 מטילים (זהים למקוריים) אבל אז הוא לוקח לעצמו בדיוק חצי מהמסה הכוללת שהתקבלה. האם ייתכן שלאחר 10 בקשות כאלה אלאדין הגדיל את כמות הזהב שברשותו אם במהלך התהליך הג'יני לא נאלץ לחתוך אף מטיל זהב לשניים?
פתרון

3. (6 נקודות) האם קיימים 2018 שברים חיוביים מצומצמים עם מכנים שלמים חיוביים שונים כך שהמכנה של ההפרש של כל שניים מהם (לאחר צמצום) קטן מכל אחד מהמכנים של 2018 השברים המקוריים?
פתרון

4. (6 נקודות) נתון משולש חד-זוויות ABC. הנקודה O היא מרכז המעגל החוסם שלו ו-AH הוא גובה. הנקודה P היא עקב האנך מ-A לישר CO. הוכיחו שהישר HP עובר דרך אמצע הצלע AB.
פתרון

5. (8 נקודות) ברחוב מסוים עומדים בתים זה מול זה, 50 זוגות בסה"כ. בצידו הימני של הרחוב ממוקמים בתים עם מספרים זוגיים חיוביים ובצידו השמאלי של הרחוב ממוקמים בתים עם מספרים אי-זוגיים חיוביים. מספרי הבתים בכל צד של הרחוב הולכים וגדלים כאשר מתקדמים מתחילת הרחוב לסופו, אך אינם בהכרח עוקבים (ייתכנו דילוגים על מספרים מסוימים). לכל בית בצד ימין של הרחוב, חיסרו ממנו את מספר הבית שמולו, והתברר שכל 50 התוצאות שהתקבלו שונות זו מזו. מספר הבית הכי גדול ברחוב הוא n. מצאו את הערך הקטן ביותר האפשרי של n.
פתרון

6. (10 נקודות) בארץ זרה יושבים מסביב לשולחן עגול 10 אנשים בקודקודים של מצולע משוכלל עם עשר צלעות. כל אחד מהם הוא דובר אמת (שתמיד אומר את האמת) או שקרן (שתמיד משקר), ויש לפחות שקרן אחד. מטייל יכול לעמוד בנקודה לבחירתו (אבל אסור לו להיעמד על השולחן) ולשאול את האנשים מסביב לשולחן: "מהו המרחק ממני לשקרן הקרוב ביותר מביניכם?" ולאחר מכן כל אחד מהם עונה לו. מהו המספר המינימלי של שאלות שהמטייל צריך לשאול כדי לדעת בוודאות מי מבין האנשים שיושבים מסביב לשולחן הם שקרנים? (הניחו שאין זרים בקרבת מקום, כל האנשים נקודתיים, וכולם, כולל המטייל, יודעים למדוד מרחקים במדויק.)
פתרון

7. (12 נקודות) במדינה זרה פעולות החיבור והחיסור מסומנות ע"י "!" ו-"?", אבל לא ידוע איזה סימן מתאים לאיזו פעולה חשבונית. כל פעולה מופעלת על זוג מספרים, אבל במקרה של חיסור לא ידוע–מהו סדר המחוסרים המקובל במדינה (האם מחסרים את המספר השמאלי מהימני או את הימני מהשמאלי).
לדוגמה, הביטוי a?b מסמל אחד מבין: a – b , b – a או a + b. כמו כן, לא ידועה צורת הרישום של מספרים שלמים במדינה הזרה, אבל המשתנים a ו-b וסוגריים קיימים ומשתמשים בהם כרגיל. הסבירו כיצד באמצעותם ובאמצעות הסימנים "!" ו-"?" אפשר לכתוב ביטוי שערכו בוודאות 20a – 18b .
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) לאלאדין יש מספר מטילי זהב זהים ולפעמים הוא מבקש מהג'יני להגדיל את הכמות שלהם. הג'יני מוסיף 1000 מטילים (זהים למקוריים) אבל אז הוא לוקח לעצמו בדיוק חצי מהמסה הכוללת שהתקבלה. האם ייתכן שלאחר 10 בקשות כאלה אלאדין הגדיל את כמות הזהב שברשותו אם במהלך התהליך הג'יני לא נאלץ לחתוך אף מטיל זהב לשניים?
פתרון

2. (5 נקודות) האם קיימים 2018 שברים חיוביים מצומצמים עם מכנים שלמים חיוביים שונים כך שהמכנה של ההפרש של כל שניים מהם (לאחר צמצום) קטן מכל אחד מהמכנים של 2018 השברים המקוריים?
פתרון

3. (6 נקודות) בטבלה 10×10 רשמו 100 מספרים שונים. בכל מהלך מותר לבחור מלבן שמורכב ממשבצות הטבלה ולהחליף את המספרים בכל זוג משבצות שסימטריות ביחס למרכז המלבן זה בזה ("לסובב את המלבן ב-180°"). האם אפשר תמיד להגיע תוך 99 מהלכים למצב שבכל שורה המספרים מסודרים בסדר עולה משמאל לימין, ובכל עמודה המספרים מסודרים בסדר עולה מלמטה למעלה?
פתרון

4. משולש שווה-צלעות שמוכל במישור α מוטל (אנכית) על מישור β שאינו מקביל ל-α, והמשולש שמתקבל מוטל (אנכית) על מישור γ, ומתקבל שוב משולש שווה-צלעות. הוכיחו כי
א. (4 נקודות) הזווית בין המישורים α ו-β שווה לזווית בין המישורים β ו-γ.
ב. (4 נקודות) המישור β חותך את המישורים α ו-γ לאורך ישרים מאונכים זה לזה.
פתרון

5. (10 נקודות) במדינה זרה פעולות החיבור והחיסור מסומנות ע"י "!" ו-"?", אבל לא ידוע איזה סימן מתאים לאיזו פעולה חשבונית. כל פעולה מופעלת על זוג מספרים, אבל במקרה של חיסור לא ידוע מהו סדר המחוסרים המקובל במדינה (האם מחסרים את המספר השמאלי מהימני או את הימני מהשמאלי). לדוגמה, הביטוי a?b מסמל אחד מבין: a-b,b-a או a+b. כמו כן, לא ידועה צורת הרישום של מספרים שלמים במדינה הזרה, אבל המשתנים a ו-b וסוגריים קיימים ומשתמשים בהם כרגיל. הסבירו כיצד באמצעותם ובאמצעות הסימנים "!" ו-"?" אפשר לכתוב ביטוי שערכו בוודאות 20a-18b.
פתרון

6. (10 נקודות) המרובע ABCD חסום במעגל ω. הקרניים BA ו-CD נחתכות בנקודה P. הישר דרך P שמקביל למשיק ל-ω בנקודה D חותך בנקודות U ו-V את המשיקים ל-ω בנקודות A ו-B. הוכיחו שהמעגל החוסם של המשולש CUV משיק ל-ω.
פתרון

7. (12 נקודות) המלך החליט לפנק קבוצה של n חכמים. הוא שם אותם בטור אחד אחרי השני (כך שכולם מסתכלים לאותו כיוון) ושם לכל אחד כובע לבן או שחור על הראש כך שכל אחד מהם רואה את הכובעים של אלה שעומדים לפניו. החכמים אומרים לפי הסדר (מהאחרון בטור לראשון) צבע (לבן או שחור) ומספר שלם חיובי לבחירתם. בסוף המלך סופר כמה חכמים אמרו את הצבע של הכובע שעל ראשם, וזו כמות ימי החופשה שכל קבוצת החכמים תקבל. המלך הרשה לחכמים לסכם ביניהם מראש מה להגיד. אלא שאז החכמים גילו ש-k מתוכם משוגעים (אבל לא יודעים מי בדיוק) ואומרים צבע ומספר בלי קשר למה שסוכם מראש. מהו מספר ימי החופשה המקסימלי שהחכמים יכולים להבטיח לעצמם, ללא תלות במיקומם של החכמים המשוגעים בטור?
פתרון