תחרות מס': 27


תשס"ו (2005-2006)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) פָלִינְדְרוֹם הוא מספר טבעי שנקרא באותו אופן משני הכיוונים – משמאל לימין ומימין לשמאל (למשל 1, 343 ו-2002 הם פלינדרומים, ואילו 2005 – לא). האם אפשר למצוא 2005 זוגות מהצורה (n , n+110) בהם שני המספרים הם פלינדרומים?
פתרון

2. (5 נקודות) המשכי הצלעות AB ו-CD של המרובע הקמור ABCD נחתכים בנקודה K. ידוע כי AD=BC. יהיו M ו-N אמצעי הצלעות AB ו-CD בהתאמה. הוכח/י כי המשולש MNK הוא קהה זווית.
פתרון

3. (5 נקודות) המספרים החיוביים a, b ו- c מקיימים a+b+c=3.
יש להוכיח כי  a1/2+b1/2+c1/2≥ab+bc+ca .
פתרון

4. (6 נקודות) מתחילים כשעל כל משבצת של לוח שחמט עומד צריח. בכל שלב אפשר להסיר מהלוח צריח שמאיים על מספר אי-זוגי של צריחים. מהו המספר הגדול ביותר של צריחים שניתן להסיר מהלוח? (צריחים מאימים זה על זה אם הם נמצאים באותה שורה או באותה עמודה ואין ביניהם צריחים אחרים.)
פתרון

5. על קצה שולחן שצורתו מצולע זוחלות שתי נמלים. אורכה של כל אחת מצלעות השולחן גדול מ-1מ' . המרחק בין הנמלים במשך כל הזמן הוא 10 ס"מ. בהתחלה שתי הנמלים נמצאות על אותה הצלע של השולחן. א. (2 נקודות) נניח כי השולחן קמור. האם הנמלים בהכרח יצליחו לזחול על קצה השולחן כך שבכל נקודה על קצה השולחן תבקר כל אחת משתי הנמלים? ב. (4 נקודות) נניח כי השולחן לא בהכרח קמור. האם בהכרח הנמלים יוכלו לזחול על קצה השולחן כך שבכל נקודה על קצה השולחן תבקר לפחות אחת מהנמלים?
פתרון

6. (7 נקודות) מצא/י את המספר הטבעי הגדול ביותר N שעבורו למשוואה 99x+100y+101z = N יש פתרון יחיד עבור x, y ו-z טבעיים.
פתרון

7. (8 נקודות) לפו הדוב יש 1000 צנצנות דבש. הצנצנות לא בהכרח מכילות אותה כמות דבש, אך ידוע כי בכל צנצנת יש לא יותר מ-1/100 מכמות הדבש הכוללת. לארוחת בוקר פו הדוב אוכל אותה כמות דבש מ-100 צנצנות שונות. הוכח/י כי פו הדוב יכול לפעול כך שתוך איזשהו מספר של ארוחות בוקר יאכל את כל הדבש שברשותו.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) עבור אילו ערכים של n קיימים מספרים טבעיים
שונים  a1, a2, ..., an כך שהמספר  a1/a2+a2/a3+…+an/a1 שלם?
פתרון

2. על קצה שולחן שצורתו מצולע זוחלות שתי נמלים. אורכה של כל אחת מצלעות השולחן גדול מ-1מ'. המרחק בין הנמלים במשך כל הזמן הוא 10 ס"מ. בהתחלה שתי הנמלים נמצאות על אותה הצלע של השולחן.
א. (2 נקודות) נניח כי השולחן קמור. האם הנמלים בהכרח יצליחו לזחול על קצה השולחן כך שבכל נקודה על קצה השולחן תבקר כל אחת משתי הנמלים?
ב. (3 נקודות) נניח כי השולחן לא בהכרח קמור. האם בהכרח הנמלים יוכלו לזחול על קצה השולחן כך שבכל נקודה על קצה השולחן תבקר לפחות אחת מהנמלים?
פתרון

3. (5 נקודות) מתחילים כשעל כל משבצת של לוח שחמט עומד צריח. בכל שלב אפשר להסיר מהלוח צריח שמאיים על מספר אי-זוגי של צריחים. מהו המספר הגדול ביותר של צריחים שניתן להסיר מהלוח? (צריחים מאיימים זה על זה אם הם נמצאים באותה שורה או באותה עמודה ואין ביניהם צריחים אחרים.)
פתרון

4. (6 נקודות) המספרים החיוביים c ,b ,a ו-d מקיימים
 a2/3+b2/3+c2/3+d2/3=4 .
יש להוכיח כי  a+b+c+d≥abc+bcd+cda+dab .
פתרון

5. (6 נקודות) על מעגל נמצאים מספר סופי של מספרים ממשיים חיוביים שכל אחד מהם לא עולה על 1. הוכח/י שאפשר לחלק את המעגל ל-3 קשתות כך שההפרש בין סכומי המספרים על קשתות סמוכות לא יעלה על 1. (אם על קשת מסוימת אין מספרים, סכום המספרים עליה הוא 0.)
פתרון

6. (7 נקודות) נתון משולש ABC. יהיו BB1 ,AA1 ו-CC1 חוצי הזוויות שלו. נתון כי היחס בין גדלי הזוויות  ∠A:∠B:∠C הוא 4:2:1. יש להוכיח כי A1B1=A1C1.
פתרון

7. (8 נקודות) נתון לוח. בכל פעולה ניתן או לרשום עליו שני אחדים או למחוק ממנו שני מספרים זהים n שכבר כתובים עליו ולרשום במקומם את המספרים n–1 ו-n+1. מהו המספר הקטן ביותר של פעולות כאלה שיש לבצע על מנת לקבל את המספר 2005? (בהתחלה הלוח ריק.)
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'

1. (4 נקודות) לשולחן סנוקר צורת מלבן 2×1, ויש לו 6 כיסים: אחד בכל פינה, ואחד באמצע כל אחת משתי הצלעות הארוכות של השולחן. מהו המספר הקטן ביותר של כדורים שצריך לשים על השולחן (לא בקצה) כדי שכל כיס יהיה על קו ישר שעובר דרך לפחות שני כדורים? (הערה: התייחס לכיסים ולכדורים כאל נקודות.)
פתרון

2. (4 נקודות) הוכח כי ניתן למצוא 100 זוגות של מספרים שלמים, שבכתב עשרוני כל הספרות שלהם הן לפחות 6, ומכפלת כל זוג- גם בה כל הספרות לפחות 6.
פתרון

3. (5 נקודות) הוכח כי אם ABC משולש חד זווית, ABMN ו-LBCK – מלבנים חופפים שצוירו על גבי הצלעות AB, BC כלפי חוץ (כך ש- AB=LB) אז הקווים AL, NK ו-MC נחתכים בנקודה אחת.
פתרון

4. (5 נקודות) האם קיים מספר שלם חיובי N, כך שהספרה השמאלית ביותר של 2N היא 5, והספרה השמאלית ביותר של 5N היא 2 ?
פתרון

5. (6 נקודות) בתאי טבלה 2005×2006 רשומים המספרים 0, 1, 2 כך שסכום המספרים בכל שורה ובכל עמודה מתחלק ב-3. מהו המספר המירבי האפשרי של 1-ים?
פתרון

6. (7 נקודות) "מצולע עגלגל" הוא מצולע שהצלעות שלו הן קשתות של מעגלים. האם יש מצולע עגלגל P ונקודה A על השפה שלו, שכל קו ישר דרכה חוצה את ההיקף לשני חלקים בעלי אורכים שווים?
פתרון

7. ליוסי ולשמואל נתנו שני עותקים זהים של לוח 5×5 שבו רשומים 25 מספרים שונים זה מזה. יוסי בוחר את המספר הכי גדול בלוח שלו ואז מוחק את השורה והעמודה שבהן הוא נמצא, אז הוא חוזר על התהליך עם הלוח 4×4 שנשאר, ואז עם הלוח 3×3 וכך הלאה. שמואל עושה את אותו הדבר עם הלוח שלו, רק במקום לבחור את המספר הכי גדול בכל פעם הוא בוחר את המספר הכי קטן.
האם יתכן כי סכום חמשת המספרים שבחר שמואל:
א. (6 נקודות) גדול מסכום חמשת המספרים שבחר יוסי?
ב. (2 נקודות) גדול מסכום כל חמישה מספרים אחרים בלוח המקורי, שנבחרו כך שאף שניים לא נמצאים באותה השורה או באותה העמודה?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) הוכח כי בתוך מצולע קמור בעל 100 צלעות ניתן לבחור 50 נקודות כך שכל קודקוד נמצא על ישר העובר דרך לפחות שתיים מהנקודות שנבחרו.
פתרון

2. (5 נקודות) האם קיימים מספרים שלמים חיוביים N ו-K, כך שהכתיבה העשרונית של 2N מתחילה בכתיבה העשרונית של 5K , והכתיבה העשרונית של 5N מתחילה בכתיבה העשרונית של 2K ?
הערה: מספרים תמיד רושמים משמאל לימין.
פתרון

3. (5 נקודות) הוכח כי בכל חזקה  (P(x))k של הפולינום P(x) = x4 + x3 – 3·x2 + x + 2 לפחות אחד המקדמים הוא שלילי (כאשר k מספר חיובי שלם).
פתרון

4. (6 נקודות) במשולש ABC ציירו את חוצה הזווית A'A, וסימנו נקודה X על הקטע הזה. הישר BX חותך את AC בנקודה 'B, ו- CX חותך את AB בנקודה 'C. הקטעים 'A'B ו-C'C נחתכים בנקודה P, ואילו הקטעים 'A'C ו- B'B נחתכים בנקודה Q. הוכח כי הזוויות PAC ו-QAB שוות.
פתרון

5. (6 נקודות) הוכח כי קיימים אינסוף זוגות של מספרים שלמים שבכתב עשרוני כל הספרות שלהם הן לפחות 7, כך שמכפלת כל זוג - גם בה כל הספרות לפחות 7.
פתרון

6. 12 חרגולים יושבים בנקודות שונות על מעגל. הנקודות האלה מחלקות את המעגל ל-12 קשתות. כל דקה קופצים כל החרגולים בכוון השעון - כל אחד קופץ לאמצע הקשת שלו.
האם יכול לפחות חרגול אחד לחזור למקומו ההתחלתי אחרי:
א. (4 נקודות) 12 קפיצות?
ב. (3 נקודות) 13 קפיצות?
פתרון

7. (8 נקודות) נמלה הולכת במסלול סגור על המקצועות של תריסרון (דודקאדר) ואף פעם לא פונה אחורה. המסלול עובר כל מקצוע בדיוק פעמיים. הוכח כי לפחות את אחד המקצועות הנמלה עוברת באותו הכיוון בשתי הפעמים.
(הערה: לתריסרון 20 קודקודים, 30 מקצועות, 12 פאות חופפות בצורת מחומש משוכלל, ובכל קודקוד נפגשות 3 פאות.)
פתרון