תחרות מס': 14


תשנ"ג (1992-1993)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) בטבלא N×N מותר להוסיף 1 לכל המשבצות של כל מסלול סגור של צריח שלא חותך את עצמו. בהתחלה יש אחדים במשבצות של אלכסון וכל המספרים האחרים בטבלא הם אפסים. האם אפשר בעזרת פעולות שתיארנו להגיע למצב שבו כל המספרים בטבלא שווים? (אנחנו מניחים שצריח היה בכל המשבצת שדרכם הוא עבר).
א.א.יגורוב
פתרון

2. (5 נקודות) בתוך ריבוע חסומים 1993 משולשים משוכללים שונים
(משולש חסום, כאשר כל הקודקודים שלו נמצאות על הצלעות של הריבוע).
הוכח שקיימת נקודה שנמצאת על השפה של 499 משולשים לפחות.
נ.סדרקיאן
פתרון

3. (5 נקודות) האם אפשר למצוא שני פולינומים P(x), Q(x) בעלי מקדמים שלמים
כך ש- P– Q, P, וגם P+Q הם ריבועים של פולינומים מסוימים (Q לא מתקבל מ-P ע"י כפל במספר) ?
ו.פראסולוב
פתרון

4. במרובע AB=BC=CD=1 :ABCD ,אבל AD≠1. המיקום של הנקודות B, C קבוע, אבל נקודות A, D עוברות שינויים ששומרים על אורכים של AB, CD, AD. המיקום החדש שלA מתקבל מהישן ע"י שיקוף יחסית לישר BD. אחר כך המיקום החדש שלD מתקבל מהישן ע"י שיקוף יחסית לישר AC כאשר A כבר חדש. אז שוב עושים שיקוף של A יחסית ל-BD כאשר D כבר חדש, אחר כך D שוב עובר שינוי וכו'. הוכח שבשלב מסוים המיקום של נקודות זהה למיקום המקורי.
מ.קונצוויץ'
פתרון

5.(8 נקודות) נתונה זווית שקודקוד שלה O ובתוכה נמצאת נקודה A. נסתכל על נקודות M, N על צלעות שונות של זווית כך שהזווית MAO שווה לזווית NAO. הוכח שכל הישרים MN כאלה עוברים דרך נקודה אחת או מקבילים.
ס.טוקרב
פתרון

6. (8 נקודות) נתונה סדרת מספרים: a1 =1, וכלל נסיגה an+1=an+[√an]
(הסימון [X] מסמן את החלק השלם של X, כלומר מספר שלם הכי גדול שלא עולה על X. )
הוכח שבסדרה הזאת יש אינסוף מספרים שלמים.
א.אנדג'אנס
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) הוכח שקיימת סדרה של 100 מספרים טבעיים שונים c1,c2,...,c99,c100 כך שלכל שני מספרים עוקבים ci ו- ci+1 מהסדרה הזאת ci+12+ci2 הוא ריבוע של מספר שלם.
ס.טוקרב
פתרון

2. (4 נקודות) קובייה שמקצועות שלה באורך N מורכבת מקוביות קטנות שמקצועות שלהן באורך 1. חלק מקוביות קטנות הן שחורות, וחלק לבנות. לכל קובייה לבנה יש פאה משותפת אם בדיוק שלוש קוביות שחורות, ולכל קובייה שחורה יש פאה משותפת אם בדיוק שלוש קוביות לבנות. עבור איזה N זה אפשרי?
ס.טוקרב
פתרון

3. (6 נקודות) נתונה סדרת מספרים: a1 =1, וכלל נסיגה an+1=an+[√an] (הסימון [X] מסמן את החלק השלם של X, כלומר מספר שלם הכי גדול שלא עולה על X.) כמה מספרים יש בסדרה הזאת שלא עולים על 1000000=106 ?
א.אנדג'אנס
פתרון

4.(8 נקודות) בטבלא M שורות, N עמודות. "מהלך אופקי" זו תמורה של איברי הטבלא שבה כל איבר נשאר באותה שורה בה הוא כבר היה. באופן דומה מגדירים "מהלך אנכי". מצא את K הקטן ביותר, כך שאפשר לבצע כל תמורה של איברי הטלא ב-K מהלכים.
א. אנדג'אנס
פתרון

5. (8 נקודות) חוצה זווית של A במשולש ABC חותך את המעגל החוסם שלו ב-D. תהי P נקודה סימטרית למרכז המעגל החסום לגבי אמצע הצלע BC, M – נקודת חיתוך שנייה של DP אם המעגל החוסם. הוכח שמרחק מנקודה M לאחת מהקודקודים A, B, C שווה לסכום המרחקים לשני קודקודים אחרים.
ו.גורדון
פתרון

6. לפאון יש 100 מקצועות.
א.(4 נקודות) מהו המספר הגדול ביותר של מקצועות שיכול לחתוך שמישור, אם הפאון קמור? אסור שהמישור יעבור דרך הקודקודים.
ב.(3 נקודות) עבור פאון לא קמור המספר יכול להגיע אפילו ל-96,
ג.(2 נקודות) אבל לא יכול להיות 100.
א. אנדג'אנס
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) לחכם ס. אמרו סכום של 3 מספרים טבעיים, ולחכם מ. – את המכפלה שלהם. החכם ס. אמר: "לו ידעתי, שהמספר שלך יותר גדול מהמספר שלי, הייתי מנחש ישר את שלוש המספרים. המקוריים" החכם מ. השיב: "המספר שלי יותר קטן מהמספר שלך, והמספרים המקוריים הם ..., ..., ...". איזה מספרים הוא אמר?
פ. בוריסוב
פתרון

2. (4 נקודות) יהי O מרכז המעגל שמשיק לצלע AC והמשכי הצלעות BA ו-BC של משולש ABC. יהי D מרכז המעגל שעובר דרך A, B, O. יש להוכיח שנקודות A, B, C, D נמצאות על מעגל אחד.
י.פ.אקוליץ'
פתרון

3. (4 נקודות) נתון כלל שלכל זוג מספרים y ,x בונה מספר x*y , ולכל z ,y ,x מתקיימות הזהויות:
(א) x*x = 0
(ב) x*(y*z) = (x*y) + z
מצא 1932*1993.
ג. הלפרין
פתרון

4. (4 נקודות) יוסי לומד בכיתה עם עוד 25 תלמידים. יום אחד הוא שם לב שלכל אחד מהתלמידים שלומדים ביחד איתו יש מספר שונה של חברים. כמה חברים יש ליוסי? (מצא את כל התשובות האפשריות).
ס. טוקרב
פתרון

5. (6 נקודות) גוזרים מנייר משולש שזוויותיו 20° 20° 140°. חותכים אותו לאורך אחד מחוצי הזוויות שלו ל-2 משולשים. אחר-כך חותכים אחד מהמשולשים שנוצרו לאורך אחד מחוצי הזוויות לשני משולשים, וכן הלאה. הוכח שאי אפשר באף שלב לקבל משולש שדומה למשולש המקורי.
א.י.גאלוצ'קין
פתרון

6. הערה: זוהי הבעיה הראשונה שבזמן התחרות לא פתר אותה אף משתתף!
רוחב של נהר ארוך שווה לקילומטר. זה אומר, לפי ההגדרה, שמכל נקודה של כל חוף אפשר להגיע בשחייה לחוף הנגדי, כאשר עוברים בשחייה מרחק שלא עולה על קילומטר. האם ספינה יכולה לעבור לאורך הנהר כך שבכל רגע המרחק מהספינה לכל חוף לא יעלה על:
א.(4 נקודות) 700 מטר?
ב.(4 נקודות) 800 מטר?
ג.קונדקוב
פתרון

7.(6 נקודות) על הקטע [a , b] מודגשות מספר נקודות אדומות ומספר נקודות כחולות. אפשר למחוק שני נקודות באותו צבע אם אין בינם נקודות מודגשות אחרות. אפשר גם להדגיש שני נקודות חדשות מאותו צבע, כחולות או אדומות, כך שלא יהיו באמצע נקודות מודגשות. בהתחלה היו מודגשות רק שני נקודות: a כחולה, ו-b אדומה. האם יתכן שאחרי מספר מהלכים מותרים יהיו שוב רק שתי נקודות מודגשות: a אדומה, ו-b כחולה?
א.י. קאנל-בלוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) בתוך ריבוע שהצלע שלו 1 נמצאים מספר ריבועים שלא חותכים זה את זה, כך שצלעותיהם מקבילות לצלעות של הריבוע הנתון. נסתכל על אותם ריבועים שנחתכים אם האלכסון של הריבוע הגדול. האם סכום ההיקפים שלהם יכול להיות גדול מ-1993?
א.י.קאנל-בלוב, א.נ.קולמוגורוב
פתרון

2.(5 נקודות) על הצלע AB של משולש ABC בונים כלפי חוץ ריבוע שמרכזו O. נקודות M ו-N הן אמצעי הצלעות BC ו-AC. נתון שאורכי הצלעות BC ו-AC הן a ו-b. מצא את הערך הגדול ביותר האפשרי של OM+ON (כאשר הזווית C משתנה).
א.פ.שריגין
פתרון

3. (5 נקודות) מחלקים ירושה בין קבוצה של אנשים. יורש נקרא עני, אם הוא מקבל פחות מ-99 ש"ח. יורש נקרא עשיר, אם הוא מקבל יותר מאשר 10000 ש"ח. גודל הירושה וכמות היורשים הם כאלה, שבכל שיטת החלוקה העשירים לא יקבלו פחות מהעניים. יש להוכיח, שאז בכל שיטת החלוקה העשירים יקבלו לפחות פי מאה מהעניים.
פ. נאזארוב
פתרון

4.(6 נקודות) על הלוח רושמים מספרים טבעים. בשלב ה-N (כאשר כבר רשומים מספרים a1,a2,...,an-1) מותר לרשום כל שאי-אפשר להציגו כסכום a1k1+a2k2+...+an-1kn-1 כאשר ki מספרים שלמים אי-שליליים. אין שום מגבלות על a1 – הוא יכול להיות כל מספר. הוכח שהתהליך לא יכול להיות אינסופי.
א.י.קאנל-בלוב
פתרון

5.(6 נקודות) האם קיימת פונקציה לינארית למקוטעין שמוגדרת על קטע [1-,1] (כולל קצוות) שעבורה f(f(x)) = -x. (פונקציה נקראת לינארית למקוטעין אם הגרף שלה זה איחוד של מספר סופי של נקודות וקטעים ישרים. היא לא חייבת להיות רציפה)
א.י.קאנל-בלוב
פתרון

6. רוחב של נהר ארוך שווה לקילומטר. זה אומר, לפי ההגדרה, שמכל נקודה של כל חוף אפשר להגיע בשחייה לחוף הנגדי, כאשר עוברים בשחייה מרחק שלא עולה על קילומטר. האם ספינה יכולה לעבור לאורך הנהר כך שבכל רגע המרחק מהספינה לכל חוף לא יעלה על:
א.(3 נקודות) 700 מטר?
ב.(3 נקודות) 800 מטר?
ג.קונדקוב
פתרון

7. באנציקלופדיה של צמחים מאפיינים כל צמח ע"י 100 תכונות (כל תכונה קיימת או לא קיימת בכל צמח). הצמחים נקראים "לא דומים" אם הם נבדלים ב51 תכונות לפחות.
א.(4 נקודות) הוכח שבספר לא יכולים להיות מעל 50 צמחים לא דומים זה לזה.
ב.(4 נקודות) האם יכולים להיות 50 צמחים שונים לא דומים זה לזה?
דימה טרשין, מ.נ.ויאליי
פתרון