תחרות מס': 32


תשע"א (2010-2011)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) בלוח כפל בוחרים מסגרת מלבנית בעלת עובי של משבצת אחת, שכל צלע שלה מורכבת ממספר אי-זוגי של משבצות.
את משבצות המסגרת הזאת צובעים צביעת שחמט (מבין כל שתי משבצות צמודות אחת שחורה ואחת לבנה).
הוכח שסכום המספרים במשבצות הלבנות של המסגרת שווה לסכום המספרים במשבצות השחורות של המסגרת.
הערה: לוח כפל הוא טבלה מלבנית שבה במשבצת שנמצאת בשורה M ובעמודה N רשום MN.
פתרון

2. (4 נקודות) טרפז שווה שוקיים חוסם מעגל.
הוכח כי חוצה הזווית של הזווית הקהה של הטרפז מחלק אותו לשני חלקים שווי שטח.
פתרון

3. (4 נקודות) על לוח 8×8 עומדת קוביה, כך שהפאה התחתונה שלה מתלכדת עם משבצת של הלוח.
מגלגלים את הקוביה על פני הלוח, בכל פעם מסביב למקצוע מסוים, כך שהפאה התחתונה עדיין מתלכדת עם משבצת של הלוח.
בצורה כזאת, הקוביה עוברת על כל משבצות הלוח (על חלק מהמשבצות אולי יותר מפעם אחת).
האם יתכן שפאה מסוימת של הקוביה אף פעם לא הייתה למטה?
פתרון

4. (4 נקודות) בבית ספר מסוים מעל 90% מהתלמידים יודעים גם אנגלית וגם גרמנית, ומעל 90% מהתלמידים יודעים גם אנגלית וגם צרפתית.
הוכח שמבין התלמידים שיודעים גם גרמנית וגם צרפתית לפחות 90% יודעים אנגלית.
פתרון

5. (4 נקודות) קצוותיהם של N מיתרים מחלקים מעגל ל-2N קשתות בעלות אורך 1.
נתון בנוסף, שכל מיתר מחלק את המעגל לשתי קשתות בעלות אורך זוגי.
הוכח כי N זוגי.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. מכונה מחליפה לירות לדינארים ובחזרה. לירה עולה S דינארים, דינאר עולה  1/S לירות, כאשר S לאו דווקא מספר שלם. למכונה אפשר להכניס כמות כלשהי של מטבעות מסוג אחד, והיא מוציאה מטבעות מהסוג השני, כאשר היא מעגלת את כמות המטבעות שהיא צריכה להוציא למספר השלם הקרוב
(אם יש שני שלמים הכי קרובים, לוקחים את הגדול יותר).
א. (2 נקודות) האם יתכן שכאשר נבצע המרה מלירות לדינארים, ואז שוב מדינארים ללירות, נקבל יותר לירות מאשר היו לנו בהתחלה?
ב. (3 נקודות) אם כן, האם יתכן שמספר הלירות יגדל פעם נוספת כאשר נחזור על הפעולה שבסעיף א'?
פתרון

2. אלכסוניו של מרובע קמור ABCD מאונכים ונחתכים בנקודה O.
נתון שסכום רדיוסי המעגלים החסומים במשולשים AOB ו-COD שווה לסכום רדיוסי המעגלים החסומים במשולשים BOC ו-DOA.
הוכח כי:
א. (2 נקודות) ניתן לחסום מעגל במרובע ABCD.
ב. (3 נקודות) מרובע ABCD סימטרי ביחס לאחד האלכסונים שלו.
פתרון

3. (5 נקודות) תחנת משטרה נמצאת על כביש ישר, שהוא אינסופי לכל כיוון. פושע גנב רכב משטרתי ישן.
ברגע שבתחנה הבינו שהרכב נגנב, נשלח שוטר ברכב חדש בשביל לתפוס את הפושע.
המהירות של הרכב המשטרתי הישן היא 90% מהמהירות של הרכב המשטרתי החדש.
לא ידוע לפני כמה זמן נגנב הרכב, וגם לא ידוע באיזה כיוון נסע הפושע.
האם השוטר יכול לתפוס אותו בכל זאת?
פתרון

4. (5 נקודות) לוח ריבועי חולק ל-2N משבצות מלבניות על ידי 1-N קווים אופקיים ו- 1-N קווים אנכיים, לא בהכרח במרווחים שווים.
המשבצות צבועות לפי צביעת שח (כל שתי משבצות צמודות בצבעים הפוכים).
כל N המשבצות שעל אחד האלכסונים של הלוח הן שחורות וריבועיות.
הוכח שהשטח הכולל של המשבצות השחורות גדול או שווה לשטח הכולל של המשבצות הלבנות בלוח.
פתרון

5. (5 נקודות) 55 מתאגרפים משתתפים בטורניר לפי שיטת "המפסיד יוצא".
הקרבות לא מתקיימים בו-זמנית.
שני מתאגרפים יכולים להתחרות רק אם כמות הניצחונות שלהם שונה ב-1 לכל היותר.
מהו המספר הגדול ביותר של קרבות שבהם יכול להשתתף מנצח התחרות?
פתרון


אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) כל המספרים הטבעיים מ-1 עד 2010 כתובים במעגל בסדר מסויים, ואם עוברים לאורך המעגל בכיוון השעון המספרים גדלים וקטנים לסירוגין.
הוכח כי קיימים שני מספרים סמוכים שהפרשם זוגי.
פתרון

2. (4 נקודות) מלבן חולק ל-121 תאים מלבניים על ידי עשרה קווים אופקיים ועשרה קווים אנכיים.
היקפיהם של 111 מהתאים האלה הינם מספרים שלמים.
הוכח כי היקפיהם של 10 התאים הנותרים הם גם שלמים.
פתרון

3. (5 נקודות) תולעת גדלה במהירות של מטר אחד לשעה. כאשר אורכה מגיע למטר אחד, היא הופכת לבוגרת ומפסיקה לגדול. אם תולעת מסויימת היא בוגרת, אפשר לחתוך אותה לשניים ביחס כלשהו של אורכים, וכתוצאה מכך נוצרות שתי תולעים חדשות, שמייד מתחילות לגדול.
האם אפשר, בהינתן תולעת בוגרת אחת, לקבל עשר תולעים בוגרות תוך פחות משעה?
פתרון

4. (5 נקודות) נתון מרובע קמור. כל אחד מאלכסוניו מחלק אותו לשני משולשים שווי שוקיים, ואם נעביר בו את שני האלכסונים, הם יחלקו אותו לארבעה משולשים שווי שוקיים.
האם המרובע הוא בהכרח ריבוע?
פתרון

5. דרקון כלא אביר ונתן לו 100 מטבעות שונים, שמחציתם קסומים (רק הדרקון יודע אלו מהם). בכל יום האביר מחלק את המטבעות לשתי ערימות, לאו דווקא שוות. ביום בו בשתי הערימות יהיה מספר זהה של מטבעות מאחד הסוגים (קסומים או רגילים), הדרקון ישחרר את האביר.
האם האביר יכול להבטיח לעצמו שחרור תוך:
א. (2 נקודות) 50 ימים ?
ב. (3 נקודות) 25 ימים ?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) נתון פאון קמור שכל פאותיו הן משולשים הדומים זה לזה.
הוכח כי לפאון יש שני זוגות של פאות חופפות (כלומר זוג של פאות חופפות ועוד זוג של פאות חופפות).
פתרון

2. (4 נקודות) תולעת גדלה במהירות של מטר אחד לשעה. כאשר אורכה מגיע למטר אחד, היא הופכת לבוגרת ומפסיקה לגדול. אם תולעת מסוימת היא בוגרת, אפשר לחתוך אותה לשניים ביחס כלשהו של אורכים, וכתוצאה מכך נוצרות שתי תולעים חדשות, שמייד מתחילות לגדול.
האם אפשר, בהינתן תולעת בוגרת אחת, לקבל עשר תולעים בוגרות תוך פחות משעה?
פתרון

3. (4 נקודות) מאה אבנים לבנות מסודרות במעגל. נתון מספר שלם k, כך ש- 0≤k≤48 .
בכל מהלך צובעים בשחור שתי אבנים לבנות שעל הקשת שביניהן נמצאות בדיוק k אבנים (לא משנה באיזה צבע).
עבור אילו ערכי k ניתן לצבוע את כל מאה האבנים בשחור?
פתרון

4. (5 נקודות) נתון מחומש קמור. אנכים מארבעה קודקודים לצלעות הנגדיות להם נפגשים בנקודה אחת.
הוכח כי גם האנך מהקודקוד החמישי לצלע הנגדית לו עובר דרך אותה הנקודה.
פתרון

5. (5 נקודות) במדינה יש 100 ערים ומספר כבישים. כל כביש מחבר שתי ערים, ואין כבישים שנחתכים. בעזרת הכבישים ניתן להגיע מכל עיר לכל עיר.
הוכח כי ניתן לבחור כמה כבישים, שיקראו כבישים ראשיים, כך שמכל עיר יצא מספר אי זוגי של כבישים ראשיים.
הערה: אין צורך שהכבישים הראשיים יחברו בין כל הערים.
פתרון