תחרות מס': 36


תשע"ה (2014-2015)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) נתונה טבלה ריבועית. בכל משבצת של הטבלה כתוב פלוס או מינוס. ידוע שיש מספר שווה של פלוסים ושל מינוסים. הוכיחו כי בטבלה קיימות שתי שורות או שתי עמודות שיש בהן כמות שווה של פלוסים.
פתרון

2. (5 נקודות) נתון מצולע שחוסם מעגל. הוכיחו כי במצולע הזה יש שלוש צלעות שאפשר להרכיב מהן משולש.
פתרון

3. (6 נקודות) האם ניתן לחלק את כל המחלקים הטבעיים של !100 (כולל 1 ו-!100 עצמו) לשתי קבוצות שוות בגודלן כך שמכפלת כל המספרים בקבוצה אחת תהיה שווה למכפלת כל המספרים בקבוצה השנייה?
הערה: !N מסמן את מכפלת כל המספרים הטבעיים עד N, כלומר N!=1·2·3·2...·N .
פתרון

4. (7 נקודות) על כביש מעגלי ממוקמות 25 עמדות משטרה במרחקים שווים, ובכל עמדה נמצא שוטר. השוטרים ממוספרים בסדר מסוים מ-1 עד 25. על השוטרים להתחלף בעמדות, כך שבכל עמדה יהיה שוטר אחד, ובנוסף, אם נסתכל לפי כיוון השעון, השוטר הבא אחרי שוטר מספר 1 יהיה שוטר מספר 2, השוטר אחרי שוטר מספר 2 יהיה שוטר מספר 3, וכן הלאה. השוטרים יכולים ללכת רק לאורך הכביש כשהם מתחלפים. הוכיחו כי אם המעבר אורגן כך שהמרחק הכולל שעברו השוטרים הוא הקצר ביותר האפשרי עבור המצב ההתחלתי הנתון, אז לפחות אחד מהשוטרים נשאר במקום.
פתרון

5. (8 נקודות) בתוך משולש ישר זווית נבנו שני מעגלים עם רדיוסים שווים שמשיקים זה לזה. בנוסף, המעגל הראשון משיק לאחד הניצבים וליתר של המשולש, והמעגל השני משיק לניצב השני וליתר. תהיינה M ו-N נקודות ההשקה של המעגלים ליתר.
הוכיחו כי אמצע הקטע MN נמצא על חוצה הזווית הישרה של המשולש.
פתרון

6. (8 נקודות) נקרא למספר טבעי מספר אחיד אם כל הספרות ברישום העשרוני שלו זהות. למשל, המספרים 4, 111, 99999 הינם אחידים.
הוכיחו כי כל מספר בעל N ספרות אפשר להציג כסכום של לא יותר מ-N+1 מספרים אחידים.
פתרון

7. לרשת קורי עכביש יש צורה של רשת משבצות בעלת צמתים (כלומר, משבצות). באחת הפינות של הרשת יושב עכביש, וב-100 צמתים מסוימים לכודים זבובים. בכל מהלך, העכביש יכול לעבור ממקומו הנוכחי לצומת סמוך.
האם העכביש תמיד יכול לאכול את כל הזבובים תוך לא יותר מאשר
א. (5 נקודות) 2100 מהלכים?
ב. (5 נקודות) 2000 מהלכים?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) נתון מצולע שחוסם מעגל. הוכיחו כי במצולע הזה יש שלוש צלעות שאפשר להרכיב מהן משולש.
פתרון

2. (6 נקודות) על כביש מעגלי ממוקמות 25 עמדות משטרה במרחקים שווים, ובכל עמדה נמצא שוטר. השוטרים ממוספרים בסדר מסוים מ-1 עד 25. על השוטרים להתחלף בעמדות, כך שבכל עמדה יהיה שוטר אחד, ובנוסף, אם נסתכל לפי כיוון השעון, השוטר הבא אחרי שוטר מספר 1 יהיה שוטר מספר 2, השוטר אחרי שוטר מספר 2 יהיה שוטר מספר 3, וכן הלאה. השוטרים יכולים ללכת רק לאורך הכביש כשהם מתחלפים. הוכיחו כי אם המעבר אורגן כך שהמרחק הכולל שעברו השוטרים הוא הקצר ביותר האפשרי עבור המצב ההתחלתי הנתון, אז לפחות אחד מהשוטרים נשאר במקום.
פתרון

3. (6 נקודות) צביקה כתב על הלוח 100 מספרים ממשיים. לאחר מכן הוא הוסיף 1 לכל אחד מהמספרים, וכתוצאה מכך מכפלת כל המספרים לא השתנתה. אחר כך הוא שוב הוסיף 1 לכל אחד מהמספרים, ושוב מכפלת כל המספרים לא השתנתה, וכן הלאה. בסך הכל, צביקה ביצע את הפעולה הזאת פעמים. מצאו את הערך המקסימלי האפשרי של .
פתרון

4. (7 נקודות) המעגל החסום במשולש ABC משיק לצלעות CA ,BC ו-AB בנקודות 'B' ,A ו-'C בהתאמה. הישרים 'BB', AA ו-'CC נחתכים בנקודה G. המעגל החוסם של המשולש 'GA'B חותך את הישרים AC ו-BC בשנית בנקודות CA ו-CB. באופן דומה מוגדרות הנקודות BA ,AC ,AB ו-BC.
הוכח כי הנקודות CB ,CA ,BC, BA ,AC ,AB נמצאות על מעגל אחד.
פתרון

5. (7 נקודות) יוסי ספר את כל המילים בעלות N אותיות המורכבות רק מהאותיות T,O,W,N , בהן מספר מופעי האותיות T ו-O שווים. דני ספר את כל המילים בעלות 2N אותיות המורכבות רק מהאותיות T ו-O , בהן מופעי האותיות T ו-O שווים. מי ספר יותדר מילים? (כל סדרה של אותיות מהווה מילה)
פתרון

6. (8 נקודות) על השולחן מונח משולש מתיל ברזל עם זוויות y° ,x° ו-°z. איציק כופף כל צלע של המשולש במעלה אחת, וכתוצאה נוצר משושה לא קמור עם זוויות (פנימיות) של 181°, (z-1)°,181°, (y-1)°,181°, (x-1)° .
הוכיחו כי נקודות הכיפוף מחלקות את צלעות המשולש המקורי באותו היחס.
פתרון

7. (10 נקודות) במדינה מסוימת סוחרים בחול זהב וחול פלטינה. ניתן להחליף זהב בפלטינה ולהפך לפי שער שנקבע על ידי מספרים טבעיים g ו-p באופן הבא: x גרמים של חול זהב הינם שווי ערך ל- y גרמים של חול פלטינה אם xg=yp (המספרים x ו-y לא חייבים להיות שלמים). בהתחלה לבנקאי יש קילו של חול זהב וקילו של חול פלטינה ו-g=p=1001. המדינה מבטיחה להקטין בכל יום את אחד מהמספרים g ו-p ב-1, כך שבעוד 2000 ימים שניהם יהיו שווים ל-1, אך הסדר בו יתבצעו השינויים אינו ידוע מראש.
האם הבנקאי יכול לבצע החלפות כל יום, כך שבסוף יהיו לו בוודאות לפחות 2 קילו מכל סוג חול?
פתרון


אביב


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) בתוך המקבילית ABCD מסומנת נקודה E כך ש-CE = CD. הוכח כי הקטע DE מאונך לקטע שמחבר את אמצעי הקטעים AE ו-BC.
פתרון

2. (6 נקודות) בסיס צבאי סודי מוקף בגדר שקופה בצורת מצולע לא קמור, ומחוץ לגדר יש ביצה. מעל הביצה והבסיס עובר קו מתח גבוה שהוא קו ישר העובר דרך 36 עמודי חשמל, חלקם נמצאים מחוץ לבסיס וחלקם בתוכו. מרגל מקיף את הבסיס מבחוץ כך שהגדר נמצאת תמיד מימינו. בכל פעם שהוא עובר מתחת לקו המתח הוא סופר כמה עמודי חשמל יש משמאלו (הוא תמיד יכול לראות את כל העמודים). כשהמרגל סיים להקיף את כל הבסיס, הוא ספר 2015 עמודים בסך הכל.
כמה מעמודי החשמל נמצאים בתוך הבסיס?
פתרון

3. א. (3 נקודות) לשלושת המספרים השלמים החיוביים х2 ,x ו-х3 יש את אותה הספרה השמאלית. האם הספרה הזאת בהכרח שווה ל-1?
ב. (4 נקודות) אותה השאלה, אך עבור המספרים х2015 ,... ,х32 ,x.
פתרון

4. נתון מצולע בעל התכונה הבאה: לכל צלע שלו, על הישר שמכיל את הצלע יש עוד קודקוד אחד לפחות של המצולע.
האם מספר הקודקודים של המצולע יכול להיות
א. (4 נקודות) לא יותר מ-9?
ב. (5 נקודות) לא יותר מ-8?
פתרון

5. א. (3 נקודות) בטבלה 2×n (כאשר n>2) כתובים מספרים. סכומי המספרים בכל עמודות הטבלה שונים זה מזה. הוכיחו כי ניתן לשנות את סדר המספרים בטבלה, כך שהסכומים בכל העמודות יהיו שונים זה מזה, וגם הסכומים בשתי השורות יהיו שונים זה מזה.
ב. (6 נקודות) בטבלה 10×10 כתובים מספרים. סכומי המספרים בכל עמודות הטבלה שונים זה מזה. האם תמיד ניתן לשנות את סדר המספרים בטבלה, כך שהסכומים בכל העמודות יהיו שונים זה מזה, וגם הסכומים בכל השורות יהיו שונים זה מזה?
פתרון

6. (9 נקודות) מצולע קמור שווה צלעות (לאו דווקא משוכלל) בעל N צלעות ממוקם בתוך מעגל. ממשיכים כל אחת מצלעות המצולע לשני הכיוונים עד חיתוכן עם המעגל, ומקבלים N2 קטעים חדשים שנמצאים מחוץ למצולע. לאחר מכן צובעים את הקטעים החדשים בשני צבעים, כחול ואדום. הוכיחו כי תמיד ניתן לצבוע כך שסכום אורכי הקטעים הכחולים יהיה שווה לסכום אורכי הקטעים האדומים.
פתרון

7. (10 נקודות) המלך הזמין למשתה 2015 קוסמים, חלקם טובים וחלקם רעים. כל הקוסמים יודעים מי טוב ומי רע, אך המלך אינו יודע דבר. קוסם טוב תמיד אומר אמת, וקוסם רע מחליט בכל רגע אם להגיד אמת או שקר. במשתה המלך ישאל כל אחד מהקוסמים שאלה אחת (שהתשובה עליה היא "כן" או "לא"), בסדר שהוא יבחר, ויקבל תשובה מייד. לאחר מכן המלך יבחר קוסם אחד ויגרש אותו לביתו. הקוסם המגורש יצא דרך "דלת האש", שמגלה למלך האם הקוסם היה טוב או רע. לאחר מכן המלך שוב ישאל כל אחד מהקוסמים שנותרו שאלה אחת, ושוב יגרש את אחד הקוסמים, וכן הלאה, עד שהמלך יחליט לעצור ולא לגרש עוד קוסמים. המלך יכול לעצור גם לאחר קבלת התשובות, מבלי לגרש קוסם. הוכיחו כי המלך יכול לגרש את כל הקוסמים הרעים, תוך גירוש קוסם אחד טוב לכל היותר.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. א. (2 נקודות) לשלושת המספרים השלמים החיוביים х2 ,x ו-х3 יש את אותה הספרה השמאלית. האם הספרה הזאת בהכרח שווה ל-1?
ב. (3 נקודות) אותה השאלה, אך עבור המספרים х2015 ,... ,х32 ,x .
פתרון

2. (5 נקודות) על הבסיס BC של משולש שווה שוקיים ABC מסומנת נקודה X, ועל השוקיים AB ו-AC מסומנות נקודות P ו-Q, כך ש-APXQ מהווה מקבילית. הנקודה Y היא הנקודה הסימטרית לנקודה X ביחס לישר PQ. הוכיחו כי הנקודה Y נמצאת על המעגל החוסם של המשולש ABC.
פתרון

3. א. (2 נקודות) בטבלה 2×n (כאשר n>2) כתובים מספרים. סכומי המספרים בכל עמודות הטבלה שונים זה מזה. הוכיחו כי ניתן לשנות את סדר המספרים בטבלה, כך שהסכומים בכל העמודות יהיו שונים זה מזה, וגם הסכומים בשתי השורות יהיו שונים זה מזה.
ב. (6 נקודות) בטבלה 100×100 כתובים מספרים. סכומי המספרים בכל עמודות הטבלה שונים זה מזה. האם תמיד ניתן לשנות את סדר המספרים בטבלה, כך שהסכומים בכל העמודות יהיו שונים זה מזה, וגם הסכומים בכל השורות יהיו שונים זה מזה?
פתרון

4. (8 נקודות) מצולע קמור שווה צלעות (לאו דווקא משוכלל) בעל N צלעות ממוקם בתוך מעגל. ממשיכים כל אחת מצלעות המצולע לשני הכיוונים עד חיתוכן עם המעגל, ומקבלים N2 קטעים חדשים שנמצאים מחוץ למצולע. לאחר מכן צובעים את הקטעים החדשים בשני צבעים, כחול ואדום. הוכיחו כי תמיד ניתן לצבוע כך שסכום אורכי הקטעים הכחולים יהיה שווה לסכום
פתרון

אורכי הקטעים האדומים. 5. (10 נקודות) האם קיימים שני פולינומים P, Q בעלי מקדמים שלמים, כך שלכל אחד מהם יש לפחות מקדם אחד שערכו המוחלט גדול מ-2015, אבל כל המקדמים של הפולינום P·Q אינם גדולים מ-1 בערכם המוחלט?
פתרון

6. (10 נקודות) המלך הזמין למשתה 2015 קוסמים, חלקם טובים וחלקם רעים. כל הקוסמים יודעים מי טוב ומי רע, אך המלך אינו יודע דבר. קוסם טוב תמיד אומר אמת, וקוסם רע מחליט בכל רגע אם להגיד אמת או שקר. במשתה המלך ישאל כל אחד מהקוסמים שאלה אחת (שהתשובה עליה היא "כן" או "לא"). הקוסמים יענו לו על השאלות בו-זמנית, לאחר שאילת כל השאלות. לאחר קבלת התשובות, המלך יבחר קוסם אחד ויגרש אותו לביתו. הקוסם המגורש יצא דרך "דלת האש", שמגלה למלך האם הקוסם היה טוב או רע. לאחר מכן המלך שוב ישאל כל אחד מהקוסמים שנותרו שאלה אחת, ושוב יגרש את אחד הקוסמים, וכן הלאה, עד שהמלך יחליט לעצור ולא לגרש עוד קוסמים. המלך יכול לעצור גם לאחר קבלת התשובות, מבלי לגרש קוסם. הוכיחו כי המלך יכול לגרש את כל הקוסמים הרעים, תוך גירוש קוסם אחד טוב לכל היותר.
פתרון

7. (10 נקודות) כידוע, אם מרובע גם חסום במעגל וגם חוסם מעגל, ומרכזי המעגלים מתלכדים, אז המרובע הוא בהכרח ריבוע. האם טענה דומה נכונה במרחב? כלומר: אם קוביון גם חסום בספירה וגם חוסם ספירה, ומרכזי הספירות מתלכדים, האם הקוביון הוא בהכרח קובייה? (קוביון הוא פאון בעל 6 פאות מרובעות שבכל אחד מקודקודיו נפגשים 3 מקצועות.)
פתרון