תחרות מס': 31


תש"ע (2009-2010)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נק) האם ניתן לחלק ריבוע ל-9 ריבועים קטנים ולצבוע אותם כך שאחד יהיה צבוע בלבן, שלושה באפור וחמישה בשחור, ושכל שני ריבועים מאותו הצבע יהיו חופפים, אבל כל שני ריבועים מצבעים שונים לא יהיו חופפים?
פתרון

2. (4 נק) ישנן 40 משקולות בעלות משקלים 1 גרם, 2 גרם, ..., 40 גרם.
על כף שמאל של מאזניים הניחו 10 משקולות בעלות משקלים זוגיים, ועל כף ימין הניחו 10 משקולות בעלות משקלים אי זוגיים.
כף ימין וכף שמאל של המאזניים מאוזנות. הוכח כי על אחת מכפות המאזניים שתי משקולות שהפרש משקלן בדיוק 20 גרם.
פתרון

3. (4 נק) על שולחן הניחו עיגול קרטון ברדיוס 5 ס"מ. לידו מניח משה בזה אחר זה ריבועים שהצלע שלהם 5 ס"מ לפי הכללים הבאים:
א. אחד מקודקודי הריבוע נוגע בשפת העיגול.
ב. הריבועים לא נחתכים.
ג. לכל ריבוע יש קודקוד משותף עם הריבוע שלפניו.

התהליך ממשיך כל עוד שהוא מסוגל להוסיף ריבוע לפי הכללים. כמה ריבועים יכולים להתקבל בסוף?
הוכח שלריבוע הראשון והאחרון יש קודקוד משותף.
פתרון

4. (5 נק) קוד בעל 7 ספרות נקרא בטוח אם כל ספרותיו שונות. לכספת יש קוד בטוח.
הכספת תפתח אם הוקש קוד בטוח, ולפחות אחת מהספרות שלו זהה לספרה המתאימה בקוד של הכספת.
האם קיימת שיטה לפתוח כספת עם קוד לא ידוע, תוך שש ניסיונות לכל היותר?
פתרון

5. (5 נק) 2000 אנשים נרשמו לאתר אינטרנט חדש. כל אחד הזמין 1000 אנשים אחרים מהאתר להיות חברים שלו.
שני אנשים הם חברים אם ורק אם כל אחד הזמין את השני. מה המספר המינימאלי של זוגות חברים באתר?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נק) קוד בעל 7 ספרות נקרא בטוח אם כל ספרותיו שונות. לכספת יש קוד בטוח.
הכספת תפתח אם הוקש קוד בטוח, ולפחות אחת מהספרות שלו זהה לספרה המתאימה בקוד של הכספת.
האם קיימת שיטה לפתוח כספת עם קוד לא ידוע, תוך שש ניסיונות לכל היותר?
פתרון

2. (4 נק) נתון קו שבור סגור במרחב ABCDEF (בעל 6 צלעות).
כל שתי צלעות נגדיות מקבילות: AB מקביל ל-BC ,DE מקביל ל-CD ,EF מקביל ל-FA. נתון בנוסף כי AB≠DE .
הוכח שכל הצלעות הללו נמצאות על מישור אחד.
פתרון

3. (4 נק) האם למשוואה  a3+b3+c3+d3=100100 יש פתרון במספרים חיוביים שלמים?
פתרון

4. (4 נק) על כל צלע של מצולע משוכלל בעל 2009 צלעות בוחרים נקודה: А12,...,А2009 לפי כיוון השעון. השיקוף של כל נקודה כזאת ביחס לאמצע הצלע שמכילה אותה הוא B1,B2,...,B2009 בהתאמה. הוכח כי לשני המצולעים А1А2...А2009 ו- B1B2...B2009 שטח שווה.
פתרון

5. (5 נק) במדינה שתי ערי בירה, צפונית ודרומית, ועוד מספר ערים נוספות. בין זוגות מסוימים של ערים עוברים כבישים.
חלק מהכבישים הם כבישי אגרה (צריך לשלם על מעבר בכביש כזה).
ידוע שכל נסיעה מהבירה הדרומית לצפונית עוברת דרך 10 כבישי אגרה לפחות.
הוכח כי ניתן לחלק את כל כבישי האגרה בין 10 חברות, כך שבכל נסיעה מהבירה הדרומית לצפונית יצטרכו לשלם לכל אחת מהחברות.
פתרון


אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) נתונות 6 סלסלות עם שזיפים, תפוחים ואגסים.
מספר השזיפים בכל סלסלה שווה למספר התפוחים הכולל בכל שאר הסלסלות,
ומספר התפוחים בכל סלסלה שווה למספר האגסים הכולל בכל שאר הסלסלות.
הוכיחו שמספר הפירות הכולל מתחלק ב-31.
פתרון

2. (3 נקודות) לקיפי ועוגיפלצת יש עוגה בצורת ריבוע.
הם משחקים במשחק הבא: עוגיפלצת בוחר נקודה על העוגה, שאינה על שפת העוגה.
לאחר מכן, קיפי עושה חתך ישר מהנקודה לשפה, בכיוון כלשהו.
לאחר מכן, עוגיפלצת עושה חתך ישר מאותה הנקודה לשפה, במאונך לחתך של קיפי.
קיפי מקבל את חתיכת העוגה שהתקבלה, הקטנה מבין השתיים.
קיפי רוצה לקבל לפחות רבע מהעוגה. האם עוגיפלצת יכול למנוע זאת?
פתרון

3. על דף נייר מצוירת זווית בין שתי קרניים. בהינתן מחוגה בלבד:
א. (2 נקודות) מהו מספר המעגלים המינימלי שנדרש לצייר, כדי להחליט האם זו זווית חדה?
ב. (2 נקודות) כיצד ניתן להחליט האם הזווית שווה ל-31o (מותר לצייר מעגלים ככל שיידרש)?

הערה: מותר לבחור שתי נקודות ולצייר את המעגל העובר דרך נקודה אחת ושמרכזו בנקודה השנייה.
בנוסף, אפשר לצייר מעגל שמרכזו בנקודה נתונה ורדיוסו שווה למרחק בין שתי נקודות אחרות.
פתרון

4. (5 נקודות) כל משתתף אולימפיאדה מכיר לפחות שלושה משתתפי אולימפיאדה אחרים.
הוכיחו כי ניתן לבחור מספר זוגי של משתתפים (אבל יותר מ-2),
ולהושיב אותם סביב שולחן עגול, כך שכל אחד יכיר את שני שכניו לשולחן.
פתרון

5. (5 נקודות) על הלוח רשומים 101 המספרים: 12, 22,..., 1012.
בפעולה אחת, בוחרים שני מספרים מתוך אלה שעל הלוח, מוחקים אותם, וכותבים במקומם את הערך המוחלט של ההפרש ביניהם.
מה המספר הכי קטן שניתן לקבל לאחר 100 פעולות?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) מחוף השנהב לישראל מפליגות 2010 ספינות, ועליהן בננות, לימונים ואננסים.
מספר הבננות בכל ספינה שווה למספר הלימונים הכולל בכל שאר הספינות,
ומספר הלימונים בכל ספינה שווה למספר האננסים הכולל בכל שאר הספינות.
הוכיחו שמספר הפירות הכולל (בכל הספינות יחד) מתחלק ב-31.
פתרון

2. (4 נקודות) נתונה פונקציה (f(x. ידוע שכל ישר במישור הקרטזי חותך את הפרבולה y = x2 ואת גרף הפונקציה (y = f(x במספר שווה של נקודות.
הוכיחו כי f(x) = x2 עבור כל x.
פתרון

3. (5 נקודות) האם ניתן לכסות את פני השטח של תמניון (אוקטהדרון) משוכלל ע"י משושים משוכללים, ללא כפילויות או רווחים?
(תמניון משוכלל מורכב מ-8 פאות שהן משולשים שווי צלעות, ויש לו 6 קודקודים שבכל אחד מהם נפגשות 4 פאות.)
פתרון

4. (5 נקודות) הברון מינכהאוזן טוען, שאם תבחרו פולינום לא קבוע (P(x בעל מקדמים שלמים אי-שליליים,
ותגלו לו רק את הערכים (P(2 ו- ((P(P(2, אז הוא יוכל לשחזר את הפולינום.
האם הברון דובר אמת?
פתרון

5. (6 נקודות) על המישור מונחת מחט.
מותר לסובב את המחט ב- 45o, עם כיוון השעון או נגדו, סביב כל אחד מקצוותיה.
האם ניתן, לאחר מספר סיבובים, להגיע למצב שבו המחט במיקומה המקורי, אך כך שקצוותיה התחלפו?
פתרון