תחרות מס': 33


תשע"ב (2011-2012)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) יוסי כותב על לוח סדרה של מספרים שלמים חיוביים. המספר הראשון N>1 כתוב על הלוח מראש. בכל פעם, כדי לקבל את המספר הבא, יוסי מוסיף או מחסיר מהמספר האחרון את אחד מהמחלקים שלו (אסור לו לבחור את 1).
האם לכל N>1 טבעי יוסי יוכל לקבל מתישהו את המספר 2011?
פתרון

2. (4 נקודות) נתון משולש ABC. תהי P נקודה על הצלע AB, כך ש- AP = 2PB, ותהי Q האמצע של הצלע AC . ידוע כי CP=2PQ. הוכח כי ABC הינו משולש ישר זווית.
פתרון

3. (5 נקודות) באוסף יש מספר משקולות (יותר משתיים), כך שכל המשקלים שלהם שונים. ידוע כי לכל זוג משקולות קיימת תת-קבוצה מבין שאר המשקולות שמשקלן הכולל שווה למשקל הכולל של הזוג.
מהו המספר המינימלי האפשרי של משקולות באוסף?
פתרון

4. (6 נקודות) נתון לוח משבצות שמורכב מ-2012 שורות ו- k>2 עמודות. באחת המשבצות של העמודה השמאלית ביותר עומד כלי משחק. שני שחקנים משחקים במשחק הבא: כל אחד בתורו יכול להזיז את הכלי ימינה, למעלה או למטה. אסור להניח את הכלי על משבצת בה הוא כבר ביקר. המשחק מסתיים כשאחד השחקנים מניח את הכלי במשבצת כלשהי של העמודה הימנית ביותר, אבל מודיעים לשחקנים האם מי שיעשה את זה ינצח או יפסיד רק כאשר אחד השחקנים שם את הכלי על העמודה הלפני-אחרונה (שנייה מימין).
האם אחד השחקנים יכול להבטיח לעצמו ניצחון?
פתרון

5. (6 נקודות) ידוע כי  0<a,b,c,d<1 וגם abcd=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) .
הוכח כי (a+b+c+d)-(a+c)(b+d)≥1 .
פתרון

6. (7 נקודות) מכונית נוסעת במהירות של 60 קמ"ש בכביש ישר. במרחק כלשהו מהכביש ובמקביל לו עומדת גדר באורך 100 מטר. כל שנייה, צופה שיושב במכונית מודד את הזווית שהוא רואה בין שני קצוות הגדר. הוכח כי הסכום של כל הזוויות שהצופה מדד הוא לא יותר מ-1100 מעלות.
פתרון

7. (9 נקודות) נתון מצולע משוכלל בעל 45 צלעות. צבעו את קודקודיו בשלושה צבעים, כך שיש אותו מספר של קדקודים מכל צבע. הוכח כי ניתן לבחור עבור כל אחד מהצבעים 3 קדקודים מהצבע הזה ולבנות מהם משולש, כך ששלושת המשולשים האלו יהיו חופפים.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) יוסי סימן על מישור כמה נקודות (יותר מ-2), כך שהמרחקים בין כל שתי נקודות הם שונים. נקרא לזוג נקודות A,B מיוחד, אם A היא הנקודה הכי רחוקה מ-B מבין כל הנקודות שיוסי סימן, ו- B היא הנקודה הקרובה ביותר ל-A מבין הנקודות האלו (למעט A עצמה). מהו המספר המקסימלי של זוגות מיוחדים שיוסי יכול לקבל?
פתרון

2. (4 נקודות) ידוע כי  0<a,b,c,d<1 וגם abcd=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) .
הוכח כי (a+b+c+d)-(a+c)(b+d)≥1 .
פתרון

3. (5 נקודות) במשולש ABC הנקודות A1,B1,C1 הן בסיסי הגבהים היוצאים מהקדקודים  A,B,C בהתאמה, והנקודות CA,CB ו– ההיטלים של C1 על CA,CB בהתאמה. הוכח כי הישר CACB מחלק כל אחד מהקטעים C1A1 ו- C1B1 לשני חלקים שווים .
פתרון

4. האם קיים מצולע קמור בעל N צלעות, כך שכל צלעותיו שוות, וכל קדקודיו נמצאים על הפרבולה y=x2, עבור
א. (3 נקודות) N = 2011 ?
ב. (4 נקודות) N = 2012 ?
פתרון

5. (7 נקודות) נקרא למספר טבעי טוב, אם כל ספרותיו שונות מ-0. למספר טוב נקרא מיוחד, אם בייצוג העשרוני שלו יש לפחות k ספרות, והספרות האלו מהוות סדרה עולה ממש (משמאל לימין). מתחילים ממספר טוב כלשהו. בכל מהלך מותר להוסיף לייצוג העשרוני של המספר הקיים מספר מיוחד כלשהו – בהתחלה, בסוף, או בין כל שתי ספרות שלו, או למחוק מספר מיוחד כלשהו מתוך הייצוג העשרוני שלו. מהו ה-k המקסימלי שעבורו אפשר מכל מספר טוב לקבל כל מספר טוב אחר בעזרת מהלכים כאלה?
פתרון

6. (7 נקודות) הוכח כי המספר  11+33+55+...+(2n-1)2n-1 מתחלק ב- 2n, אבל לא מתחלק ב-2n+1 , לכל n>1.
פתרון

7. (9 נקודות) על מעגל כחול מסומנות 100 נקודות אדומות. הנקודות האלו מחלקות את המעגל ל-100 קשתות, כך שהאורכים של הקשתות האלה הם המספרים הטבעיים מ-1 עד 100 בסדר שרירותי. הוכח כי קיימים שני מיתרים מאונכים עם קצוות אדומים.
פתרון


אביב


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) בשורה נמצא מספר זוגי של אגסים. המשקל של כל שני אגסים סמוכים שונה בגרם אחד לכל היותר. הוכח שאפשר לארגן את האגסים בשקיות זהות, שני אגסים בכל שקית, ולהניח את השקיות בשורה, כך שהבדל במשקל בין כל שתי שקיות סמוכות גם לא יעלה על גרם אחד.
פתרון

2. (4 נקודות) במישור סומנו 100 נקודות, שאף 3 מהן לא נמצאות על ישר אחד. אמיר מחלק את הנקודות לזוגות, ומחבר כל זוג על ידי קטע. האם בכל מצב הוא יכול לדאוג לכך שכל שני קטעים יחתכו?
פתרון

3. (6 נקודות) במחלקה של שומרים לכל שומר יש דרגה, שהיא מספר טבעי. שומר שדרגתו N שומר N ימים, ואז ישן N ימים, ואז שומר N ימים, אחר כך ישן N ימים, וכך הלאה. לכל שני שומרים, יחס הדרגות בין הבכיר לזוטר הוא לפחות 3. האם המחלקה הזאת יכולה לשמור בכל יום? (השומרים לא חייבים להתחיל את המשמרת בו-זמנית, וביום אחד מותר שישמרו מספר שומרים.)
פתרון

4. (6 נקודות) במשבצות של לוח n× עומדים סימנים "+","–". (סימן אחד בכל משבצת) בכל מהלך מותר להפוך את כל הסימנים בשורה כלשהי או בעמודה כלשהי. ידוע כי במספר מהלכים ניתן להפוך את המצב הנוכחי כך שכל הסימנים יהיו פלוסים. הוכח כי מספיקים n מהלכים.
פתרון

5. (8 נקודות) יהי p מספר ראשוני. אוסף של p+2 מספרים טבעיים (לא בהכרח שונים) נקרא מעניין אם סכום של כל p מספרים מהאוסף מתחלק בכל אחד מהמספרים האחרים. מצא את כל האוספים המעניינים.
פתרון

6. (8 נקודות) בנק משרת מיליון לקוחות, שלכל אחד מהם יש קוד סודי ייחודי בעל שש ספרות עשרוניות. לחיים יש את רשימת הלקוחות. בכל מהלך חיים יכול לבחור לקוח, שהוא עוד לא בחר אף פעם, ולברר N ספרות של הקוד הסודי שלו לפי בחירתו. חיים רוצה לברר את הקוד הסודי של אשר. מהו ה-N הקטן ביותר עבורו הוא יוכל לעשות זאת?
פתרון

7. (8 נקודות) במשולש שווה-צלעות ABC העבירו גובה AH. במשולש ABH סימנו את נקודת מפגש חוצי הזוויות I. נקודות מפגש חוצי הזוויות של המשולשים ABI, BCI, CAI הן L, K, J בהתאמה. מצא\י את גודל הזווית KJL.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) במחלקה של שומרים לכל שומר יש דרגה, שהיא מספר טבעי. שומר שדרגתו N שומר N ימים, ואז ישן N ימים, ואז שומר N ימים, אחר כך ישן N ימים, וכך הלאה. לכל שני שומרים, יחס הדרגות בין הבכיר לזוטר הוא לפחות 3. האם המחלקה הזאת יכולה לשמור בכל יום? (השומרים לא חייבים להתחיל את המשמרת בו-זמנית, וביום אחד מותר שישמרו מספר שומרים.)
פתרון

2. (5 נקודות) בתוך עיגול סומנו 100 נקודות, שאף 3 מהן לא נמצאות על ישר אחד. אמיר מתכנן לחלק את הנקודות לזוגות ודרך כל זוג נקודות להעביר ישר. הוכח שאמיר יכול לזווג את הנקודות כך שנקודת החיתוך של כל שני ישרים תהיה בתוך אותו העיגול.
פתרון

3. (6 נקודות) הוכח שלכל n טבעי קיימים מספרים שלמים  a1,a2,...,an כך שלכל x שלם,
המספר  (...((x2+a1)2+a2)2+...+an-1)2+an מתחלק ב- n.
פתרון

4. (6 נקודות) בתוך כל פאה של קוביית היחידה סימנו נקודה. לאחר מכן, חיברו ע"י קטע ישר כל שתי נקודות אשר שייכות לפאות סמוכות. הוכח שסכום אורכי הקטעים גדול או שווה ל-  6√2.
פתרון

5. (8 נקודות) נתון משולש ABC וישר l המשיק למעגל החסום במשולש. יהיו  pa,pb,pc חוצי זוויות של הזוויות החיצוניות של משולש ABC. יהיו  la,lb,lc השיקופים של l ביחס ל-  pa,pb,pc . הוכח שהמשולש הנוצר ע"י הישרים  la,lb,lc חופף ל- ABC.
פתרון

6. א. (3 נקודות) בסדרה אינסופית של מלבנים במישור, שטחו של המלבן ה-n הינו n2. האם בהכרח ניתן לכסות באמצעותם את המישור? (מותר שהמלבנים יחתכו.)
ב. (6 נקודות) נתונה סדרה אינסופית של ריבועים. האם בהכרח ניתן לכסות באמצעותם את המישור, בתנאי שלכל N ממשי יש אוסף ריבועים שסכום שטחיהם לפחות N?
פתרון

7. ליוסי הייתה ערמה של 100 אבנים. בכל תור יוסי חילק את אחת מהערמות לשתי ערמות קטנות יותר, עד שהוא קיבל 100 ערמות של אבן אחת. הוכח כי:
א. (6 נקודות) בתור מסוים היו 30 ערמות שכמות האבנים הכוללת בהן הייתה בדיוק 60 אבנים.
ב. (3 נקודות) בתור מסוים היו 20 ערמות שכמות האבנים הכוללת בהן הייתה בדיוק 60 אבנים.
ג. (3 נקודות) הוכח שיוסי יכול היה לחלק את הערמות כך שבאף תור לא היו 19 ערמות שכמות האבנים הכוללת בהן הייתה בדיוק 60 אבנים.
פתרון