תחרות מס': 17

תשנ"ו (1995-1996)

סתיו

כיתות ט'-י'

1. (5 נקודות) הוכח, שבתוך כל משולש חד-זווית קיימת נקודה כזאת, שעקבי האנכים מהנקודה הזאת לצלעות יוצרים משולש שווה צלעות.
נ. ואסילייב
פתרון

2. (5 נקודות) סדרה שמוגדרת כך: איברים ראשונים הם 1, 2, 3, 4, 5, וכל איבר החל משישי שווה למכפלה של כל האיברים הקודמים פחות 1. הוכח, שסכום הריבועים של 70 איברים ראשונים בסדרה שווה למכפלתם.
ל. קורלנדצ'יק
פתרון

3. (5 נקודות) AK – חוצה זווית של משולש ABC.
P, Q נקודות על שני חוצי הזוויות האחרים (או המשכיהם) כאלה ש PA = PK , QA = QK.
הוכח כי ∠PAQ = 90° - 1/2∠A .
פתרון

4. (כל סעיף 3 נקודות) לחבורה של N אנשים הגיע עיתונאי. ידוע לו, שיש בחבורה איש Z, שהוא מכיר את כולם אבל אף אחד לא מכיר אותו. עיתונאי יכול לשאול כל איש: "האם אתה מכיר את האיש ההוא?"
א. האם העיתונאי יכול לאתר את Z באמצעות פחות מ-N שאלות כאלה?
ב. מצא את הכמות הקטנה ביותר של השאלות שצריך לשאול כדי לאתר את Z.
(כולם אומרים את האמת כששואלים אותם, אפשר לשאול כל בן אדם יותר משאלה אחת).
ג. הלפרין
פתרון

5. א. (2 נקודות) האם במישור שני מצולעים חופפים בעלי 7 צלעות, שכל הקודקודים שלהם מתלכדים, אבל אף שתי צלעות שלהם לא מתלכדים?
ב. (5 נקודות) אותה שאלה עבור שלושה מצולעים.
תזכורת: מצולע במישור חסום ע"י קו שבור סגור שלא חותך את עצמו.
ו. פרואיזוולוב
פתרון

6. נתון לוח 1000×1, שהוא בהתחלה ריק, וערמה של N אסימונים.
שניים משחקים לפי התור. השחקן הראשון מסוגל לשים לא יותר מ-17 אסימונים על משבצות ריקות של הלוח (הוא יכול לקחת חלק מהאסימונים מהערמה, וגם להזיז מספר אסימונים שכבר נמצאים על הלוח כך שבסה"כ הוא מזיז לא יותר מ-17).
השחקן השני בכל תור שלו יכול להוריד מהלוח רצף כלשהו של אסימונים ולהחזיר אותם לערמה (רצף זה סדרה של אסימונים על הלוח בלי רווחים באמצע).
השחקן הראשון מנצח כאשר הוא מצליח לשים את כל האסימונים על הלוח ברצף אחד.
א. (4 נקודות) הוכח שעבור N = 98 השקן הראשון יכול לנצח.
ב. (5 נקודות) עבור איזה N הכי גדול יוכל השחקן הראשון לנצח?
א. שפובלוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. בתוך מרובע קמור ABCD נמצאת נקודה P. בונים חוצי זוויות PK, PL, PM, PN של משולשים APB, BPC, CPD, DPA, בהתאמה.
א. (3 נקודות) מצא לפחות נקודה אחת P שעבורה מרובע KLMN מקבילית.
ב. (2 נקודות) מצא את כל הנקודות מהסוג הזה.
ס. טוקרב
פתרון

2. (5 נקודות) נתונים N מספרים שמכפלתם P.
הפרש בין P לכל אחד מהמספרים הנתונים הוא מספר שלם אי-זוגי.
יש להוכיח שכל N המספרים הנתונים אי-רציונליים.
ג. הלפרין
פתרון

3. (5 נקודות) מלבן מחולק למשולשים ישרי-זווית. גבול בין שני משולשים שנוגעים אחד בשני זה תמיד צלע שלם עבור כל משולש, וזה תמיד יתר של משולש אחד וניצב של משולש אחר.
הוכח שהיחס בין הצלע הארוך של המלבן לצלע הקצר אינו קטן מ-2.
א. שפובלוב
פתרון

4. (6 נקודות) כיסאות של הצופים ליד מסלול סקי ממוספרים לפי הסדר: 1, 2, 3,...1000. הקופאית מכרה n כרטיסים לכל 100 מקומות ראשונים, אבל n גדול מ-100 כי למקומות מסוימים היא מכרה יותר מכרטיס אחד (אבל נתון כי n<1000). הצופים נכנסים למסלול אחד-אחד. כל אחד, כאשר הוא מגיע למקום, שעליו הוא קנה כרטיס, אם המקום הזה פנוי, מתיישב בו, ואם המקום הזה לא פנוי, הצופה אומר "אוי ויי!". אם המקום הבא פנוי, הוא מתיישב בו, אם לא, אז הוא אומר שוב "אוי ויי!" וממשיך למקום הבא, וכך עד שימצא מקום פנוי.
הוכח, שבסוף כל הצופים יתיישבו, ומספר של "אוי ויי"-ים לא תלוי בסדר בו הצופים מגיעים למסלול.
א. שן
פתרון

5. (7 נקודות) על שפת אגם עגול יש 6 עצים.
ידוע, שאם ניקח שני משולשים כך שקודקודים של משולש אחד מתלכדים עם 3 עצים, וקודקודים של משולש שני מתלכדים עם 3 עצים אחרים, אז באמצע של קטע שמחבר את נקודות חיתוך הגבוהים של המשולשים האלה נמצא מטמון.
לא ידוע רק איך צריך לחלק את העצים לשלשות.
כמה פעמים צריך לרדת לקרקעית של האגם, כדי בוודאות למצוא את המטמון?
ס. מארקלוב
פתרון

6. האם קיימת סדרה חשבונית עולה
א. (3 נקודות) של 11 איברים,
ב. (4 נקודות) של 10000 איברים,
ג. (3 נקודות) של אינסוף איברים,
כך שגם סכומי ספרות של איברי הסדרה יוצרים סדרה חשבונית עולה?
א. שפובלוב
פתרון

אביב

כיתות ט'-י'

1. (3 נקודות) נתונים מספרים חיוביים a, b, c כך ש- a²+b²-ab=c².
הוכח ש- (a-c)(b-c) ≤ 0 .
א. ייגורוב
פתרון

2. (3 נקודות) נתונים שני מעגלים לא נחתכים עם מרכזים O₁ ו- O₂ ומשיק חיצוני משותף שלהם, שמשיק למעגלים אלה בנקודות A₁ ו- A₂ בהתאמה.
נסמן B₁ ו- B₂ - נקודות חיתוך של קטע O₁O₂ עם המעגלים המתאימים, C – נקודת חיתוך של ישרים A₁B₁ עם A₂B₂.
הוכח שישר, שעובר דרך נקודה C במאונך ל- B₁B₂, עובר דרך אמצע הקטע A₁A₂.
פתרון

3.(3 נקודות) בשורה כתובים מספרים ממשיים a₁, a₂,...a₁₉₉₆ .
הוכח שאפשר לבחור רצף של מספרים עוקבים בסדרה (אפשר גם מספר אחד), כך שסכומם שונה ממספר שלם בפחות מ-1/1000.
א. קאנל-בלוב
פתרון

4. (5 נקודות) בפינה של לוח משבצות M×N נמצא צריח. שניים מבצעים מהלכים עם הצריח לפי התור.
אסור להם להניח צריח על משבצת או להעביר אותו דרך המשבצת אם הצריח כבר היה (או עבר) באותה המשבצת.
מי שאין לו מהלך חוקי, מפסיד.
מי מנצח – הראשון או השני, וכיצד הוא צריך לשחק?
ב. ביגון
פתרון

5. (כל סעיף 3 נקודות)
א. 8 תלמידים ניסו לפתור 8 בעיות.
הסתבר, שכל בעיה פתרו 5 תלמידים. הוכח שיש שני תלמידים, כך שלכל בעיה לפחות אחד מהם פתר אותה.
ב. אם כל בעיה פתרו 4 תלמידים, יכול לקרות שאין שני תלמידים כאלה.
ס. טוקרב
פתרון

6. במשולש שווה צלעות ABC על הצלע AB לקחו נקודה D כך ש- AD=AB/n.
הוכח שסכום של n-1 זוויות בהם רואים את קטע AD מנקודות שמחלקות את צלע BC ל-n חלקים שווים, שווה ל- 30^o .
א. (3 נקודות) כאשר n=3,
ב. (5 נקודות) לכל n.
(ו. פרואיזוולוב)
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) האם קיימת במרחב קוביה שמרחקים מקודקודיה למישור נתון שווים 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ?
ו. פרואיזוולוב
פתרון

2. בהתחלה חרגול יושב בנקודה M של מישור מחוץ לריבוע 0≤x≤1 , 0≤y≤1 . קואורדינאטות של M הם מספרים לא שלמים, ומרחק בין M לבין מרכז הריבוע הוא d. הוא קופץ לנקודה שסימטרית לנקודה M ביחס לקודקוד בימני ביותר של הריבוע מנקודת מבט של החרגול. הוכח, שאחרי מספר קפיצות כאלה חרגול לא יוכל להתרחק ממרכז הריבוע למרחק שגדול מ- d·10 .
א. קאנל-בלוב
פתרון

3. במשולש שווה שוקיים , (AB=AC) ABC הזווית A שווה α.
על צלע AB לוקחים נקודה D כזאת ש- AD = AB/n .
מצא את סכום של n-1 זוויות, שבהם רואים את קטע AD מנקודות שמחלקות את הצלע BC ל-n חלקים שווים.
א. (3 נקודות) עבור n=3
ב. (4 נקודות) עבור n כלשהו
ו. פרואיזוולוב
פתרון

4. (6 נקודות) במדינה רחוקה מאוד לבן-אדם יש זכות להתקבל לעבוד במשטרה אם הוא יותר גבוה מאשר 80% מהשכנים שלו. כדי להוכיח שיש לו זכות להתקבל למשטרה בן-אדם אומר מספר R (רדיוס), ואז כל מי שגר במרחק שקטן מ-R מהבית שלו נחשב שכן שלו (כמובן, צריך שיהיה לו מספר גדול מ-0 של שכנים ברדיוס זה).
באותה מדינה רחוקה מאוד בן-אדם יכול לקבל פתור מהצבא אם הוא נמוך מאשר 80% מהשכנים שלו. הגדרה של שכנים דומה להגדרה של המשטרה – בן-אדם אומר מספר r, וכל מי שגר במרחק שקטן מ-r ... אבל R יכול להיות שונה מ-r אצל אותו בן-אדם.
האם יתכן שבמדינה הזאת 90% מהאוכלוסייה יכולים להתקבל למשטרה אבל 90% מהאוכלוסייה קיבלו פתור מהצבא? (כל איש גר בנקודה מסוימת של המישור.)
נ. קונסטנטינוב
פתרון

5. הוכח שקיימות אינסוף שלשות n-1 , n , n+1 כאלה ש:
א. (3 נקודות) את n אפשר לפרק לסכום של שני ריבועים (של מספרים שלמים חיוביים), אבל את שני המספרים האחרים – לא.
ב. (5 נקודות) כל אחד מ-3 המספרים אפשר לפרק לסכום של שני ריבועים.
ו. סנדרוב
פתרון

6. בטבלא N עמודות ו- 2^N שורות, והיו רשומות בה כל הקומבינציות האפשריות של מספרים 1- , 1.
אחרי זה מחקו מספרים מסוימים והחליפו אותם באפסים.
הוכח, שאפשר לבחור תת-קבוצה לא ריקה של שורות כך ש-
א. (4 נקודות) סכום של כל המספרים בשורות אלה – 0.
ב. (5 נקודות) סכום של השורות שנבחרו זו שורת אפסים (כאשר מסכמים בכל עמודה בנפרד, כמו ווקטורים).
ג. קונדקוב, ו. צ'רנורוצקי
פתרון