תחרות מס': 31


תש"ע (2009-2010)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נק) כל אחת מ10 צנצנות זהות מכילה חלב. כמות החלב בכל צנצנת לא עולה על עשירית הקיבולת שלה.
מותר לבצע את הפעולה הבאה: לבחור צנצנת ולפזר חלק מתכולתה באופן שווה בין שאר הצנצנות.
הוכח שבאמצעות לכל היותר 10 פעולות כאלה ניתן להגיע למצב בו כל צנצנת מכילה את אותה כמות של חלב.
פתרון

2. (6 נק) למיקי יש 1000 קוביות זהות. לכל קובייה יש שתי פאות מנוגדות שצבועות באדום, שתי פאות מנוגדות שצבועות בכחול, ושתי פאות מנוגדות שצבועות בלבן.
מתוכן, מיקי הרכיב קובייה גדולה של 10×10×10, כך שפאותיהן הצמודות של כל זוג קוביות סמוכות הן באותו הצבע.
הוכח כי לקובייה הגדולה יש פאה שצבועה בצבע יחיד.
פתרון

3. (6 נק) מצא את כל זוגות השלמים החיוביים a ,b כך ש (a + b2)·(b + a2) הוא חזקה של 2.
פתרון

4. (6 נק) יהי ABCD מעויין. נקודות P , Q נבחרו על הצלעות BC , CD בהתאמה, כך ש BP = CQ.
הוכח שנקודת חיתוך התיכונים של משולש APQ נמצאת על אלכסון BD.
פתרון

5. נתונות N משקולות, עם משקלים 1 גרם, 2 גרם, ..., N גרם. המשימה היא לבחור שתי משקולות או יותר, כך שמשקלן הכולל שווה למשקל הממוצע של שאר המשקולות. הוכח כי
א. (2 נק) אם 1+N הוא ריבוע שלם, אז המשימה אפשרית.
ב. (7 נק) אם המשימה אפשרית, אז 1+N הוא ריבוע שלם.
פתרון

6. (10 נק) על דף משובץ ציירו 2009 ריבועים זהים שצלעותיהם נמצאות על קווי הרשת, וכל אחד מהם מכיל N משבצות.
הריבועים עלולים להיחתך. לאחר מכן מסמנים את כל המשבצות שמכוסות ע"י מספר אי-זוגי של ריבועים.
הוכח כי מספר המשבצות המסומנות הוא לפחות N.
פתרון

7. (14 נק) איה ובני יוצאים לטיול בארכיפלג 2009 האיים (אזור בתוך הים שמורכב מ-2009 איים). זוגות מסוימים של איים מחוברים במסלולי סירות דו-כיווניים. איה ובני משחקים משחק בזמן הטיול: איה בוחרת את האי הראשון בו יעגנו. כל אחד בתורו בוחר מהו האי הבא אליו הם מפליגים, מבין האיים בהם עוד לא ביקרו. בני בוחר ראשון. השחקן שאין לו מהלך חוקי, מפסיד.
הוכח כי איה תמיד יכולה לנצח.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נק) 100 פיראטים משחקים קלפים. כשהמשחק נגמר, עליהם לשלם אחד לשני באבקת זהב.
לכל אחד יש מספיק אבקה בשביל לשלם את החוב שלו. כל פיראט יכול לחלק חלק מהאבקה באופן שווה בין האחרים, או לגבות אבקה באופן שווה מהאחרים.
הוכח כי הם מסוגלים לבצע מספר פעולות כאלה, כך שכל מנצח יגבה בדיוק את החלק שלו, וכל מפסיד ישלם בדיוק את החלק שלו.
פתרון

2. (6 נק) מלבן שהוא לא ריבוע חולק ל N מלבנים קטנים (לא בהכרח חופפים).
הוכח כי אפשר לחתוך כל אחד מהחלקים לשניים, ולאחר מכן, באמצעות N חתיכות מבין אלה שהתקבלו, להרכיב ריבוע, ומ-N החתיכות הנוספות להרכיב מלבן.
פתרון

3. (7 נק) כדור משיק לכל אחד מהמקצועות (צלעות) של פירמידה משולשת.
מחברים בקו ישר את נקודות ההשקה של כל שני מקצועות נגדיים.
הוכח ששלושת הקוים הישרים המתקבלים נפגשים בנקודה אחת.
פתרון

4. (9 נק) מסמנים את  1·11·111·...·11...1 בתור ![n]
(במכפלה ישנם n גורמים, גורם מסספר k הוא מספר שנוצר כשרושמים k פעמים 1) .
הוכח כי  [n+m]! מתחלק ב-  [n]!·[m]! .
פתרון

5. (9 נק) נתונים משולש XYZ ומשושה קמור ABCDEF.
הקטעים AB, CD, EF מקבילים ושווים באורכם ל-XY, YZ, ZX בהתאמה.
הוכח ששטח המשולש שקודקודיו הן האמצעים של BC, DE, FA אינו קטן משטח המשולש XYZ.
פתרון

6. (12 נק) איה ובני יוצאים לטיול בארכיפלג 2009 האיים (אזור בתוך הים שמורכב מ-2009 איים). איים מסויימים מחוברים במסלולי סירות דו-כיווניים. איה ובני משחקים משחק בזמן הטיול: איה בוחרת את האי הראשון בו יעגנו. כל אחד בתורו בוחר מהו האי הבא אליו הם מפליגים, מבין האיים בהם עוד לא ביקרו. בני בוחר ראשון. השחקן שאין לו מהלך חוקי, מפסיד.
הוכח כי איה תמיד יכולה לנצח.
פתרון

7. (14 נק) הכניסה למערה חסומה ע"י שולחן עגול שמסתובב.
על השולחן נמצאות במעגל ובמרחקים שווים N חביות סגורות, זהות לחלוטין למראה.
בכל חבית נמצא דג מלוח, שראשו מכוון כלפי מטה או כלפי מעלה. בכל מהלך, עלי באבא בוחר מספר חביות והופך אותן בו-זמנית. לאחר מכן, השולחן מסתובב.
כאשר השולחן מפסיק להסתובב, כבר אי-אפשר לזהות אילו חביות נהפכו בפעם הקודמת.
המערה נפתחת רק כאשר כל הדגים מסתכלים באותו כיוון.
עבור אילו ערכים של N יוכל עלי באבא לפתוח את המערה במספר סופי של מהלכים?
פתרון


אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) נתונה חתיכת גבינה. מותר לבחור כל מספר חיובי a≠1 (לאו דווקא שלם),
ולחתוך את הגבינה לשתי חתיכות ביחס 1:a (לפי משקל).
לאחר מכן, מותר לבחור אחת מכל החתיכות שהתקבלו עד עתה, ולחתוך אותה לשתיים באותו יחס 1:a, וכן הלאה.
האם ניתן לפעול כך שלאחר מספר סופי של חיתוכים, אפשר יהיה לקבץ את חתיכות הגבינה לשתי קבוצות במשקל זהה?
פתרון

2. (4 נקודות) נתון משולש ABC. נסמן ב-M את אמצע הצלע AC, P נקודה כלשהי על BC.
הקטעים AP ו-BM נחתכים בנקודה O, כך ש- BO=BP . מצאו את היחס OM : PC.
פתרון

3. על מעגל מסודרים 999 מספרים, שכל אחד מהם הוא 1 או 1-, כך שלא כל המספרים שווים.
ניקח את כל המכפלות של 10 מספרים שמופיעים ברצף, ונחשב את סכום המכפלות האלו.
א. (3 נקודות) מהו הסכום המינימלי שיכול להתקבל?
ב. (3 נקודות) מהו הסכום המקסימלי שיכול להתקבל?
פתרון

4. (6 נקודות) סכום הספרות של מספר טבעיn שווה ל-100.
האם יתכן שסכום הספרות של n3 שווה ל-1003?
פתרון

5. א. (3 נקודות) שלושה אבירים רוכבים לאורך שביל מעגלי נגד כיוון השעון.
האם ייתכן שהם רוכבים במשך זמן בלתי מוגבל עם מהירויות שונות אך קבועות, אם על השביל יש רק נקודה אחת שבה הם יכולים לעקוף זה את זה?
ב. (5 נקודות) מה אם יש 10 אבירים?
פתרון

6. (8 נקודות) במישור נתון קו שבור פתוח שאינו חותך את עצמו, המורכב מ-31 קטעים ישרים (שני קטעים עוקבים לא נמצאים על אותו ישר).
דרך כל קטע העבירו את הישר המכיל את הקטע. התקבלו 31 ישרים, שחלקם אולי מתלכדים.
מהו המספר המינימלי של ישרים שונים שאפשר לקבל?
פתרון

7. (11 נקודות) על חלק מהמשבצות של לוח 10×10 יושבים פרעושים.
כל דקה, הפרעושים קופצים בו זמנית, כל פרעוש – למשבצת שכנה (לפי צלע).
כל פרעוש שומר על כיוון הקפיצה שלו (שיכול להיות אחד מארבעת הכיוונים המקבילים לצלעות הלוח) עד שזה לא אפשרי יותר, ואז הוא הופך כיוון.
ידוע, שבמשך שעה שלמה לא הייתה אף דקה בה ישבו שני פרעושים באותה משבצת.
מהו מספר הפרעושים הגדול ביותר שיכול להיות על הלוח?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) האם ניתן לחלק את קבוצת כל הישרים במישור לזוגות של ישרים מאונכים, כך שכל ישר יופיע בזוג אחד בדיוק?
פתרון

2. א. (2 נקודות) נתונה חתיכת גבינה. מותר לבחור מספר אי-רציונלי a > 0, ולחתוך את הגבינה לשתי חתיכות ביחס 1 : a (לפי משקל).
לאחר מכן, מותר לבחור אחת מכל החתיכות שהתקבלו עד עתה, ולחתוך אותה לשתיים באותו יחס 1 : a, וכן הלאה.
האם ניתן לפעול כך שלאחר מספר סופי של חיתוכים, אפשר יהיה לקבץ את חתיכות הגבינה לשתי קבוצות במשקל זהה?
ב. (2 נקודות) אותה שאלה, כאשר 1 ≠a מספר רציונלי.
פתרון

3. (6 נקודות) האם ניתן להפעיל את הפונקציות sin, cos, tan, cot, arcsin, arccos, arctan, arccot (בסדר כלשהו)
על המספר 1 ולקבל 2010?
מותר להשתמש בכל אחת מהפונקציות כל מספר של פעמים.
פתרון

4. (6 נקודות) לכנס חובבי קולנוע הגיעו 5000 חובבים, שכל אחד מהם ראה סרט אחד לפחות.
מחלקים אותם לצוותים משני סוגים: בצוות מהסוג הראשון יש סרט שכולם בצוות ראו (ואז הם מקיימים דיון על הסרט),
בצוות מהסוג השני לכל חבר צוות יש סרט שאף אחד אחר בצוות לא ראה (ואז הוא מספר עליו לצוות).
הוכיחו שאפשר לחלק את חובבי הקולנוע ל-100 צוותים בדיוק (כך שכל צוות הוא מאחד הסוגים).
מותר שבצוות יהיה חובב יחיד – ואז הוא כותב דו"ח על סרט שראה.
פתרון

5. (7 נקודות) שלושים ושלושה אבירים רוכבים לאורך שביל מעגלי נגד כיוון השעון.
האם ייתכן שהם רוכבים במשך זמן בלתי מוגבל עם מהירויות שונות (אך קבועות), אם על השביל יש רק נקודה אחת שבה הם יכולים לעקוף זה את זה?
פתרון

6. (8 נקודות) המרובע ABCD חוסם מעגל שמרכזו בנקודה I. הנקודות M ו-N הן אמצעי הצלעות AB ו-CD בהתאמה.
נתון ש- IM / AB = IN / CD. הוכיחו כי ABCD הוא טרפז או מקבילית.
פתרון

7. (9 נקודות) נתון מספר טבעי. מותר לרשום בין ספרותיו סימני "+" במיקומים כלשהם, ולחשב את הסכום (לדוגמא, מהמספר 123456789 ניתן לקבל את המספר 12345+6+789=13140).
על המספר שהתקבל ניתן לבצע שוב את אותה פעולה.
הוכיחו שמכל מספר טבעי ניתן לקבל מספר חד-ספרתי לאחר 10 פעולות כאלו לכל היותר.
פתרון