תחרות מס': 21


תשנ"ט (1999-2000)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) סדרה של מספרים טבעיים עוקבים נרשמה בשורה בסדר מסוים (לאו דבקה בסדר עולה) משמאל לימין.
יצא שסכום של כל 3 מספרים עוקבים בשורה מתחלק במספר הראשון של השלושה הזו.
איזה מספר מרבי של מספרים עלול להיות בשורה זו, בהינתן שהמספר האחרון בשורה הוא אי-זוגי?
פתרון

2. (כל סעיף 2 נקודות) יהיה ABC משולש חד זווית,  А’, C’ נקודות כלשהם על הצלעות  BC, AB בהתאמה,  B’ – אמצע הצלע AC.
א. הוכח כי שטח של  A’B’C’ אינו עולה על מחצית שטח ABC.
ב. הוכח כי שטח של  A’B’C’ שווה לרבע משטח ABC אם ורק אם אחד הנקודות  А’, C’ נמצאת באמצע הצלע המתאימה.
פתרון

3. (5 נקודות) הניחו 100 משקולת של 1, 2, ..., 100 גרמים על שני כפות המאזניים, כך שנוצר שיווי משקל.
הוכח, שאפשר להוריד שני משקולות מכל כף, כך ששווי המשקל ישמר.
פתרון

4. א. (3 נקודות) בכל משבצת של שורה עליונה ושורה תחתונה של לוח שח 8×8 נמצאת דמקה: למעלה לבנות, למטה שחורות. במהלך אחד מותר להעביר דמקה כלשהי לכל משבצת צמודה, במאונך או במאוזן.
תוך כמה מהלכים אפשר להגיע למצב, שבו הדמקות השחורות יהיו בשורה עליונה, והדמקות השחורות בשורה התחתונה?
ב. (4 נקודות) אותה שאלה עבור לוח 7×7.
פתרון

5. (8 נקודות) ניר ואופיר יוצרים סדרה. בהתחלה בסדרה יש מספר טבעי אחד. אחרי זה הם רושמים מספרים לפי התור. ניר רושם תמיד מספר שהוא המספר הקודם ועוד אחד מהספרות שלו, ואופיר רושם בתורו מספר שהוא מספר הקודם פחות אחת הספרות שלו.
הוכח שמספר מסוים בסדרה זו יחזור על עצמו לפחות 100 פעמים, אם יש להם מספיק סבלנות.
פתרון

6. (9 נקודות) בתוך דף נייר מלבני גזרו N חורים מלבניים, שצלעותיהם מקבילים לקצוות הדף.
לאיזה מספר קטן ביותר של מלבנים אפשר בוודאות לחתוך את הדף המחורר שהתקבל?
(הוכח, שבכל מקרה אפשר לחתוך את הדף המחורר למספר מלבנים שמצאתה, וגם שלפעמים אי-אפשר לחתוך אותו למספר יותר קטן של מלבנים.)
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) עבור איזה N אפשר לרשום מספרים מ-1 עד במעגל בסדר מסוים,
כך שסכום של כל שני מספרים עוקבים מתחלק במספר הבא אחריהם עם כיוון השעון?
פתרון

2. (סעיף א – 2 נקודות, סעיף ב – 3 נקודות)
על דף נייר מלבני מסומנים
א. N נקודות על ישר אחד
ב. שלוש נקודות
מותר לקפל את הנייר מספר פעמים לאורך קווים ישרים, כך שנקודות מסומנות לא יהיו על ישר הקיפול. אחרי זה את הדף המקופל דוקרים ע"י מחט.
הוכח שאפשר לדאוג לכך, שהחורים יהיו בכל הנקודות המסומנות ורק שם.
פתרון

3. (6 נקודות) ניר ואופיר יוצרים סדרה. בהתחלה בסדרה יש מספר טבעי אחד. אחרי זה הם רושמים מספרים לפי התור. ניר רושם תמיד מספר שהוא המספר הקודם ועוד אחד מהספרות שלו, ואופיר רושם בתורו מספר שהוא מספר הקודם פחות אחת הספרות שלו.
הוכח שמספר מסוים בסדרה זו יחזור על עצמו לפחות 100 פעמים, אם יש להם מספיק סבלנות.
פתרון

4. (כל סעיף 3 נקודות) נקודות  K, L על צלעות  AC, BC של משולש ABC הן נקודות ההשקה בין מעגלים חסומים מבחוץ לצלעות המשולש. הוכח שישר שמחבר את אמצעי הקטעים KL, AB
א. מחלק את ההיקף של משולש ABC לשני חלקים שווים
ב. מקביל לחוצה הזווית של זווית ACB.
פתרון

5. (כל סעיף 4 נקודות)
א. הניחו 100 משקולת של 1, 2, ..., 100 גרמים על שני כפות המאזניים, כך שנוצר שיווי משקל.
הוכח, שאפשר להוריד שני משקולות מכל כף, כך ששווי המשקל ישמר.
ב. נתבונן ב-N כזה, שאת קבוצת המשקולות 1, 2, ..., N גרמים אפשר לפצל לשני חלקים שווי-משקל.
האם זה נכון עבור כל N גדול מ-3, שאפשר להוריד שתי משקולות מכל חלק כך ששוויון המשקלים ישמר?
פתרון

6. (8 נקודות) על לוח שח גדול סומנו 2N משבצות. נתון שצריח יכול לעבור מכל משבצת מסומנת לכל משבצת מסומנת אחרת, בלי לעבור מעל משבצות לא מסומנות.
הוכח שאת הצורה שמורכבת ממשבצות מסומנות אפשר לחתוך ל-N מלבנים.
פתרון

7. (8 נקודות) הוכח שלכל פאון בעל 10N פאות יש N פאות בעלות אותו מספר של צלעות.
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'

1. (3 נקודות) מצא את כל השורשים הממשיים של הפולינום של
(x+1)21+(x+1)20(x-1)+(x+1)19(x-1)2+...+(x-1)21 .
פתרון

2. (3 נקודות) אורכי הבסיסים של הטרפז – מספרים שלמים. הוכח שאפשר לפרק את הטרפז למשולשים שווים
.
פתרון

3. (6 נקודות) נתון מעגל ו-A נקודה בתוכו.
מצא את המקום הגיאומטרי של קודקודי C של כל המלבנים ABCD האפשריים כאלה שנקודות B, D נמצאות על המעגל.
פתרון

4. (7 נקודות) שני פושעים, נעם ועמוס, מחלקים ערמה של 100 מטבעות. נעם מוציא מהערמה צירוף של מטבעות, ועמוס מחליט מי יקבל אותו. ברגע שאחד מהם יקבל 9 צירופים, השני יקבל את כל המטבעות שנשארו בערמה. נעם יכול לקחת כמות כלשהי של מטבעות בכל צירוף.
איזו כמות של מטבעות הוא יכול להבטיח ללא תלות בהתנהגותו של עמוס?
ציין את מספר המטבעות, הראה, מדוע נעם יכול להבטיח לעצמו כמות זו של מטבעות, והראה, מדוע הוא לא תמיד יוכל לקחת יותר.
פתרון

5. (7 נקודות) איזה מספר פרשים (סוסים) מרבי אפשר להציב על לוח שח 5×5 כך, שכל פרש יאיים על בדיוק שני פרשים אחרים?
(מצא שיטה לסדר אותם, והוכח שאי-אפשר לעשות יותר פרשים תוך שמירה על התנאי.)
פתרון

6. (10 נקודות) בתחרות שחמט כל שחקן משחק אם כל שחקן אחר פעם אחד בדיוק.
במקרה של ניצחון הוא מקבל נקודה, המקרה של תיקו חצי נקודה, במקרה של הפסד 0.
המשחק נקרא משחק לא נכון אם זה שניצח במשחק צבר בסוף פחות נקודות מהיריב.
הוכח שמשחקים לא נכונים מהווים פחות מאשר 3/4 מהכמות הכוללת של משחקים.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) מספרים טבעיים M, N זרים (אין להם מחלק משותף חוץ מ-1).
את השבר (M+2000N)/(N+2000M) אפשר לצמצם ב-D.
מהוא הערך הגדול ביותר האפשרי של D ?
פתרון

2. (5 נקודות) נתון מעגל שמרכזו O. מיתריו AC ו-BD נחתכים בנקודה K.
מרכזי המעגלים החוסמים של AKB, CKD הם M, N בהתאמה.
הוכח כי OM = KN.
פתרון

3. (5 נקודות) בחפיסה חלק מהקלפים נמצאים עם התמונה כלפי מעלה. אסף מדי פעם מוציא מהחפיסה רצף של קלף אחד או יותר, שברצף הזה שני הקלפים הקיצוניים נמצאים אם התמונה כלפי מעלה, הופך את כל הרצף בלי לפרקו, ומחזיר אותו למקומו המקורי בחפיסה.
הוכח כי לבסוף כל הקלפים בחפיסה יהיו עם התמונה כלפי מטה, לא משנה כיצד אסף בוחר את הרצפים.
פתרון

4. (5 נקודות) על דף שמחולק באמצעות קווי סריג אנכיים ואופקיים למשבצות ריבועיות מצויר מצולע קמור. כל קודקודיו הם קו קודקודי משבצות, אבל אף צלע שלו לא אופקי ולא אנכי.
הוכח שסכום אורכי הקווים האופקיים של הסריג שנמצאים בתוך המצולע שווה לסכום הקווים האנכיים של הסריג שנמצאים בתוך המצולע.
פתרון

5. (7 נקודות) מצא מספר N הכי גדול, שעבורו קיימים N מספרים שלמים חיוביים עוקבים, כך שסכום הספרות של המספר הראשון מתחלק ב-1, סכום הספרות של המספר השני מתחלק ב-2, סכום הספרות של המספר השלישי מתחלק ב-3, ..., סכום הספרות של המספר ה-N מתחלק ב-N.
פתרון

6. (כל סעיף 6 נקודות) בתחרות שחמט כל שחקן משחק אם כל שחקן אחר פעם אחד בדיוק.
במקרה של ניצחון הוא מקבל נקודה, המקרה של תיקו חצי נקודה, במקרה של הפסד 0.
המשחק נקרא משחק לא נכון אם זה שניצח במשחק צבר בסוף פחות נקודות מהיריב.
א. הוכח שמשחקים לא נכונים מהווים פחות מאשר 3/4 מהכמות הכוללת של משחקים.
ב. הוכח שבסעיף הקודם לא ניתן להחליף מספר ¾ במספר קטן יותר.
פתרון