תחרות מס': 19


תשנ"ח (1997-1998)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) הסדרה {xn} מוגדרת ע"י תנאים הבאים:
x1=19 ; x2 =97 ; xn+2 = xn – (1/xn+1)
הוכח, שבין איברי הסדרה יש 0. מצא את המספר של האיבר הזה בסדרה.
א. ברזינש
פתרון

2. (3 נקודות) תהי M אמצע הבסיס BC של משולש ABC.
יש לבנות ישר l שחותך את המשולש ומקביל לבסיס, כך שמנקודה M רואים בזווית ישרה את הקטע של הישר, שנמצא בתוך המשולש.
פתרון

3. (5 נקודות) בהתחלה, על כל משבצת של לוח 1×N עומדת דמקה. במהלך הראשון אפשר להעביר כל דמקה למשבצת צמודה.
אחרי זה אפשר לקחת מכל משבצת שנמצאת בה ערמה של K דמקות, ולהעביר אותה למרחק של K משבצות ימינה או שמאלה, בגבולות הלוח.
אם במשבצת שמעבירים אליה יש כבר ערמה של דמקות, אז שני הערמות מתאחדות.
הוכח שתוך 1-N מהלכים אפשר לאסוף את כל הדמקות במשבצת אחת.
א. שפובלוב
פתרון

4. (5 נקודות) שני מעגלים נחתכים בנקודות A, B. המשיק המשותף למעגלים שקרוב יותר ל-B מאשר ל-A נוגע במעגל הראשון בנקודה C ובמעגל השני בנקודה D. תהי B הנקודה הקרובה לישר CD. הישר BC חותך את המעגל השני פעם שנייה בנקודה E.
הוכח כי AD חוצה את הזווית CAE.
פ. קוז'בניקוב
פתרון

5. (8 נקודות) פאות הקוביה נצבעו בשחור ולבן. גודל הפאות זהה לגודל המשבצת של לוח שח.
את הקוביה העמידה על לוח שח וגלגלו כך, שהיא עברה על כל משבצת פעם אחד בדיוק.
האם יתכן, שבכל רגע הצבע של משבצת עליה עמדה הקוביה היה זהה לצבע של הפאה שנגעה בלוח?
א. שפובלוב
פתרון

6. (9 נקודות) כל צלע של מצולע שווה צלעות חולקה ל-10 חלקים שווים, ודרך כל נקודות החלוקה העבירו קווים ישרים, שמקבילים לצלעות.
כך המשולש חולק ל-100 משבצות משולשיות קטנות. המשבצות שנמצאות בין שני קווים מקבילים צמודים יוצרים פס.
מהי הכמות המרבית של משבצות שאפשר לסמן, כך שאף שתיים מהמשבצות המסומנות לא תהיינה באותו פס, באף אחד משלושת הכיוונים?
ר. ז'נודארוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) CM, BN הם תיכונים של משולש ABC.
P נקודה על AB כזאת שחוצה הזווית של ACB של המשולש הוא גם חוצה זווית של הזווית MCP.
Q נקודה על AC כזאת שחוצה הזווית של ABC של המשולש הוא גם חוצה זווית של הזווית NBQ.
נתון גם, ש- AP = AQ.
האם משולש ABC בהכרח שווה שוקיים?
ו. סנדרוב
פתרון

2. האם הטענות הבאות נכונות:
א. (נקודה אחת) אם אפשר לפצל מצולע באמצעות קו שבור לשני מצולעים שווים, אז אפשר לפצל אותו באמצעות קטע ישר לשני מצולעים שווים.
ב. (2 נקודות) אם אפשר לפצל מצולע קמור באמצעות קו שבור לשני מצולעים שווים, אז אפשר לפצל אותו באמצעות קטע ישר לשני מצולעים שווים.
ג. (4 נקודות) אם אפשר לפצל מצולע קמור באמצעות קו שבור לשני מצולעים כאלה, שאפשר להעביר אחת לשני באמצעות סיבובים והזזות, אז אפשר לפצל אותו באמצעות קטע ישר לשני מצולעים כאלה.
ס. מארקלוב
פתרון

3. (כל סעיף 3 נקודות) מכפילים את כל הביטויים מהסוג .
הוכח כי התוצאה היא
א. מספר שלם.
ב. ריבוע של מספר שלם.
א. קאנל-בלוב
פתרון

4. (כל סעיף – 4 נקודות)
א. על השולחן נמצאות מספר מפיות זהות, בצורה של משושה משוכלל. לכל מפית יש צלע שמקבילה לישר נתון.
האם בהכרח אפשר לדפוק מספר מסמרים בשולחן, כך שדרך כל מפית יעבור מסמר אחד בדיוק?
ב. אותה שאלה כאשר צורת המפית היא מחומש משוכלל.
א. קאנל-בלוב
פתרון

5. (8 נקודות) ציפי המציאה צופן, בו כל אות מוחלפת במילה באורך של 15 אותיות לכל היותר.
צופן נקרא טוב, אם כל מילה ניתנת לפענוח מההצפנה שלה.
בועז בדק באמצעות מחשב, שאם מצפינים כל מילה באורך של לא יותר מאשר 10000 אותיות, אז אפשר לפענח את המילה ביחידות.
האם מזה אפשר להסיק, שהצופן טוב?
(באלף-בת 22 אותיות, כשאומרים "מילה" מתכוונים לסדרת אותיות כלשהי, לא משנה אם יש לה משמעות.)
ד. פיאונטקובסקי, ס. שאלונוב
פתרון

6. (כל סעיף – 7 נקודות) כל צלע של מצולע שווה צלעות חולקה ל-N חלקים שווים, ודרך כל נקודות החלוקה העבירו קווים ישרים, שמקבילים לצלעות.
כך המשולש חולק ל- N2 משבצות משולשיות קטנות. המשבצות שנמצאות בין שני קווים מקבילים צמודים יוצרים פס.
א. מהי הכמות המרבית של משבצות שאפשר לסמן, כך שאף שתיים מהמשבצות המסומנות לא תהיינה באותו פס, באף אחד משלושת הכיוונים, עבור 10 = N ?
ב. אותה שאלה עבור 9 = N .
ר. ז'נודארוב
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) האם קיימת קבוצה של 10 מספרים טבעיים כך שאף מספר בקבוצה לא מתחלק באף מספר אחר, אבל ריבוע של כל מספר מתחלק בכל המספרים הטבעיים?
פתרון

2. (3 נקודות) על הצלע AB של מקבילית ABCD (או על המשכה) נלקחה נקודה M כזאת, ש-  ∠MAD = ∠AMO , כאשר O נקודת חיתוך אלכסוני המקבילית.
הוכח כי MD = MC.
מ. סמורוב.
פתרון

3. (4 נקודות) קדחו חור במאונך לאחת הפאות של 6 קוביות המשחק, ואז הלבישו את כולם על מקל. מסתכלים במספר שנוצר מהמספרים של פאות עליונות, כאשר כל המערכת מונחת על השולחן.
יש להוכיח שאפשר לסובב את הקוביות על המקל כך, שהמספר השש-ספרתי הזה יתחלק ב-7.
(על פאותיה של קוביית משחק רשומים מספרים מ-1 עד 6, סכום על פאות מנוגדות תמיד 7.)
ג. הלפרין
פתרון

4. (4 נקודות) טייר ביקר בכפר, שכל תושב שם או תמיד אומר אמת או תמיד משקר. תושבי הכפר נעמדו במעגל אם הפנים למרכז, וכל אחד אמר לטייר על השכן שלו מימין, האם הוא דובר אמת.
בהסתמך על ההודעות האלה הטייר הצליח לקבוע בצורה חד-משמעית מה האחוז של דוברי אמת בכפר.
תמצא\י גם את\ה את האחוז של דוברי אמת בכפר.
ב. פרנקין
פתרון

5. (7 נקודות) ריבוע חולק ל-25 משבצות ריבועיות באמצעות קווים ישרים. במשבצות מסוימות מעבירים את אחד האלכסונים, כך שלאף שני אלכסונים אין נקודה משותפת, אפילו לא קצה משותף.
מהו המספר הגדול ביותר האפשרי של האלכסונים האלה?
א. ס. רובאנוב
פתרון

6. (8 נקודות) מסביב לשולחן עגול יושבים 10 אנשים, מול כל אחד נמצאים מספר אגוזים. כמות האגוזים הכוללת – 100. בו זמנית כל אחד מעביר חלק מהאגוזים לשכן מימין: חצי ממה שיש לא אם יש לא מספר זוגי של אגוזים, או אגוז אחד ועוד חצי ממה שנשאר לו אם המספר הוא אי-זוגי. הפעולה הזאת מתבצעת הרבה פעמים.
הוכח, שאחרי זמן מה לכולם יהיה 10 אגוזים.
א. שפובלוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) הוכח אי-שוויון:
a3/(a2+ab+b2) + b3/(b2+bc+c2) + c3/(c2+ca+a2) ≤ (a+b+c)/3
כאשר a, b, c מספרים חיוביים.
ג. אליחאנוב
פתרון

2. (4 נקודות) ריבוע שאורך הצלע שלו 1 חולק למלבנים. בכל מלבן בוחרים את אחת הצלעות הקטנות (ואם זה ריבוע, בוחרים צלע כלשהי).
הוכח שסכום של כל הצלעות שנבחרו גדולה או שווה ל-1.
פתרון

3. א. (2 נקודות) על הלוח רשומים מספרים 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. מותר למחוק כל 2 מספרים ולהחליף אותם בהפרש שלהם, שהוא מספר לא שלילי.
אחרי 7 פעולות כאלה יהיה רשום על הלוח רק מספר אחד. האם המספר הזה עלול להיות 97?
ב. (3 נקודות) על הלוח רשומים 1, 2, 22, 23, ..., 210. מותר למחוק כל 2 מספרים ולהחליף אותם בהפרש שלהם, שהוא מספר לא שלילי. אחרי 10 פעולות כאלה נקבל שיהיה רשום על הלוח מספר אחד.
אילו ערכים הוא יכול לקבל?
א. שפובלוב
פתרון

4. (5 נקודות) נקודה פנימית M של מרובע קמור ABCD היא כזאת, שמשולשים AMB, CMD שווי-שוקיים (AM=MB, CM=MD) וזווית M בשני המשולשים שווה 120o .
הוכח כי קיימת נקודה N כזאת, שמשולשים BNC, DNA הם משולשים משוכללים.
א. שריגין
פתרון

5. (6 נקודות) נקרא ללוח 8×8 שבו יש מחסומים בין משבצות מסוימות "מבוך". אם הצריח יכול לעבור על כל המשבצות בלי לקפוץ מעל המחסומים, אז המבוך נקרא טוב, אחרת הוא נקרא רע.
איזה מבוכים יש יותר: טובים או רעים?
א. שפובלוב
פתרון

6. (כל סעיף 6 נקודות) א. שניים מדגימים טריק קלפים. הראשון לוקח 5 קלפים עליונים מחפיסה של 52 קלפים, שאותה ערבב בן אדם אקראי מהקהל, מסתכל בהם, ומניח אותם בשורה משמאל לימין על השולחן, כאשר קלף אחד הוא מניח עם הגב אלינו, ואחרים אם התמונה אלינו. השני מסתכל על השורה ומנחש את הקלף.
הוכח שהם יכולים להמציא מראש שיטה שתאפשר לשני לנחש תמיד נכון.
ב. הטריק השני שונה מהטריק הראשון בזה, שהראשון מניח על השולחן משמאל לימין 4 קלפים, ואת הקלף החמישי הוא לא מניח על השולחן.
האם גם אז הם יוכלו לסכם מראש, כך שיהיה אפשר לנחש קלף?
ג. הלפרין לפי רעיון מספרו של מ. גארדנר
פתרון