תחרות מס': 6

תשמ"ה (1984-1985)

סתיו

כיתות ט'-י'

1.(6 נקודות) חוצי זוויות BD ו- CE של משולש ABC נחתכים בנקודה O. הוכיחו שאם OD=OE אז או שהמשולש שווה שוקיים, או שזווית 60 - A מעלות.
פתרון

2.(6 נקודות) יש עיירה, הבנויה בצורת ריבוע ובה 9 שכונות (3X3 שכונות, כך שכל שכונה גם היא ריבוע שצלעו שווה ל-a). מהי הדרך הקצרה ביותר שצריך לעשות מניח האספלט אם הוא צריך להניח אספלט בכל רחובות העיירה (הרחובות הם אלו שמפרידים בין שכונה לשכונה, גבולות העיירה הם גם רחובות) אם הוא מתחיל ומסיים בנקודה הפינתית A ?
פתרון

3.(4 נקודות) לפתור במספרים שלמים: 2ⁿ + 7 = x ²
פתרון

4.(8 נקודות) בתוך מלבן חסום מרובע (על כל צלע של מלבן נמצא קודקוד אחד של המרובע). הוכח שההיקף של המרובע החסום לא קטן מסכום שני האלכסונים במלבן.
ו. פרואיזוולוב
פתרון

5.(6 נקודות) יש להוכיח שמתוך 18 מספרים תלת ספרתיים עוקבים יימצא לפחות מספר אחד שמתחלק בסכום ספרותיו.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1.(5 נקודות) במשושה קמור ABCDEF הצלע AB מקבילה ל-CD, CF מקבילה ל-BE ו-EF מקבילה ל-AD. הוכיחו ששטחי המשולשים ACE ו-BDF שווים.
פתרון

2.(5 נקודות) יש עיירה, הבנויה בצורת ריבוע ובה 9 שכונות (3×3 שכונות, כך שכל שכונה גם היא ריבוע שצלעו שווה ל-a). מהי הדרך הקצרה ביותר שצריך לעשות מניח האספלט אם הוא צריך להניח אספלט בכל רחובות העיירה (הרחובות הם אלו שמפרידים בין שכונה לשכונה, גבולות העיירה הם גם רחובות) אם הוא מתחיל ומסיים בנקודה הפינתית A ?
פתרון

3.(5 נקודות) במשולש ABC הזווית B שווה לזווית C וכל אחד מהם שווה ל-40 מעלות. BD הוא חוצה זווית.
הוכח/י כי: BD+DA=BC.
פתרון

4.(5 נקודות) יש להוכיח שמתוך 18 מספרים תלת ספרתיים עוקבים יימצא לפחות מספר אחד שמתחלק בסכום ספרותיו.
פתרון

5.(12 נקודות) באי האבוד אטלנטיס חיות 17 זיקיות אפורות, 15 זיקיות ירוקות ו-13 זיקיות חומות. כאשר שתי זיקיות מצבע שונה נפגשות, שתיהן מחליפות צבע לצבע השלישי (למשל אם זיקית אפורה וזיקית חומה נפגשו שתיהן הופכות להיות ירוקות וכו'). האם יכול לקרות שכעבור כמה זמן כל הזיקיות באי יהיו באותו צבע?
ו. אילייצ'ב
פתרון

אביב

כיתות ט'-י'

1.(3 נקודות) תיכון, חוצה זווית וגובה של משולש נפגשים בנקודה O.אורך הקטע של הגובה שנימצא בין קודקוד המשולש ל O שווה לאורך הקטע של חוצה הזווית שנימצא בין קודקוד המשולש והנקודה O. הוכח שהמשולש הוא שווה צלעות.
פתרון

2.(5 נקודות) יש 68 מטבעות וידוע שכל שתי מטבעות שונות במשקלן. צריך למצוא בעזרת 100 שקילות במאזני כף וללא משקולות את המטבעה הכבדה ביותר ואת הקלה ביותר.
ס.פומין
פתרון

3.(5 נקודות) מצא את כל פתרונות מערכת המשוואות:
.
לפי רעיון מתוך הספר של A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman
פתרון

4.(5 נקודות) על ישר יושבים שלושה צרצרים. כל שנייה אחד מהם קופץ מעל צרצר אחד (אבל לא שניים) , הוכח שלאחר 1985 שניות לא יתכן שהם יהיו במצבם התחלתי.
אולימפיאדת לנינגרד במתמטיקה 1985.
פתרון

5.(5 נקודות) ריבוע מחולק ל-5 מלבנים כך ש- 4 פינות הריבוע הן פינות של 4 מלבנים שונים שווי שטח, והמלבן החמישי לא נוגע באף צלע של ריבוע. הוכח/י שהמלבן החמישי הוא בעצם ריבוע.
ד.פומין
פתרון

כיתות יא'-יב'

1.(4 נקודות) במרובע AB=BC=1 , ∠B=100^o , ∠D=130^o : ABCD. צריך למצוא את אורך הקטע BD.
פתרון

2.(6 נקודות) מתוך המספרים השלמים מ1 עד 1985 צ"ל כמות מקסימלית של מספרים כך שההפרש של כל שניים מהם לא יהיה מספר ראשוני (מספרים ראשוניים -...2,3,5,7 , אחד הוא אינו מספר ראשוני).
פתרון

3.(6 נקודות) נתונים שלוש מספרים ממשיים a,b,c. ידוע ש: a+b+c>0 , ab + bc +ca >0 , הוכח כי: a,b,c>0 .
פתרון

4.(4 נקודות) על ישר יושבים שלושה צרצרים. כל שנייה אחד מהם קופץ מעל צרצר אחד (אבל לא שניים) , הוכח שלאחר 1985 שניות לא יתכן שהם יהיו במצבם התחלתי.
אולימפיאדת לנינגרד במתמטיקה 1985.
פתרון

5.(4 נקודות) ריבוע מחולק ל5 מלבנים כך ש4 זוויותיו הן גם זויות 4 מהמלבנים ששווים בשטחם ולצלעות המלבן החמישי אין נקודות משותפות עם צלעות הריבוע.הוכח שהמלבן החמישי הוא ריבוע.
פתרון