תחרות מס': 36


תשע"ה (2014-2015)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) נתונים 99 מקלות שאורכיהם 1, 2, 3, ..., 99. האם אפשר לסדר את המקלות כך שהם יצרו היקף של מלבן?
פתרון

2. האם קיימים עשרה מספרים שלמים חיוביים שונים בזוגות שהממוצע שלהם גדול יותר מהמחלק המשותף המקסימלי שלהם א. (2 נקודות) בדיוק פי שישה? ב. (2 נקודות) בדיוק פי חמישה?
פתרון

3. (5 נקודות) על הצלע AB של הריבוע ABCD מסומנת נקודה K, ועל הצלע BC מסומנת נקודה L, כך ש- KB=LC. הקטעים AL ו-CK נחתכים בנקודה P. הוכיחו כי הקטעים DP ו-KL מאונכים זה לזה.
פתרון

4. (5 נקודות) אבי לומד בבית ספר בו יש ארבע אפשרויות לציון: A, B, C ו-D. מתחילת שנת הלימודים אבי רושם את הציונים שלו במתמטיקה. כאשר אבי מקבל ציון מסוים, הוא קורא לו מפתיע אם עד לאותו הרגע הציון הזה התקבל פחות פעמים מכל ציון אחר. למשל, אם מתחילת השנה אבי קיבל את הציונים B, C, A, D, D, D, A, B, C, B בסדר הזה (מימין לשמאל), אז הציונים המפתיעים היו ה-D הראשון וה-C השני. במהלך שנת הלימודים הוענקו לאבי בסך הכל 40 ציונים, 10 מכל סוג, בסדר לא ידוע. האם ניתן לדעת בוודאות כמה מהציונים היו מפתיעים?
פתרון

5. נתונים N משולשים ישרי זווית. בוחרים ניצב אחד בכל משולש ומחשבים את סכום אורכי הניצבים שנבחרו. לאחר מכן מחשבים את סכום אורכי כל הניצבים האחרים, ולבסוף מחשבים את סכום אורכי כל היתרים. התברר ששלושת המספרים שהתקבלו מהווים אורכי צלעות של משולש ישר זווית. הוכיחו כי בכל המשולשים המקוריים יש את אותו היחס בין הניצב הגדול לניצב הקטן, כאשר א. (2 נקודות) N=2, ב. (3 נקודות) N הינו מספר טבעי כלשהו גדול מ-1.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. האם קיימים עשרה מספרים שלמים חיוביים שונים בזוגות שהממוצע שלהם גדול יותר מהמחלק המשותף המקסימלי שלהם
א. (1 נקודות) בדיוק פי שישה?
ב. (2 נקודות) בדיוק פי חמישה?
פתרון

2. (4 נקודות) נתון משולש שקודקודיו מסומנים A, B, C לפי כיוון השעון. מסובבים את המשולש לפי כיוון השעון: ראשית סביב קדקוד A בזווית , לאחר מכן סביב קדקוד B בזווית , וכן הלאה: בכל פעם מסובבים סביב הקדקוד הנוכחי בזווית המתאימה, ולאחר מכן עוברים לקדקוד הבא לפי כיוון השעון.
הוכיחו כי לאחר שישה סיבובים המשולש יחזור למיקומו המקורי.
פתרון

3. (5 נקודות) נתונים 15 מספרים שלמים שונים בזוגות. יוסי כותב על הלוח את כל הסכומים האפשריים של שבעה מבין המספרים הנתונים, ודני כותב את כל הסכומים האפשריים של שמונה מבין המספרים הנתונים. האם ייתכן ששניהם כתבו על הלוח אוספים זהים של מספרים, כולל חזרות? (כלומר, אם יוסי כתב מספר מסוים כמה פעמים, אז דני כתב את המספר הזה אותה כמות פעמים).
פתרון

4. (5 נקודות) נתונים N משולשים ישרי זווית. בוחרים ניצב אחד בכל משולש ומחשבים את סכום אורכי הניצבים שנבחרו. לאחר מכן מחשבים את סכום אורכי כל הניצבים האחרים, ולבסוף מחשבים את סכום אורכי כל היתרים. התברר ששלושת המספרים שהתקבלו מהווים אורכי צלעות של משולש ישר זווית.
הוכיחו כי כל המשולשים המקוריים דומים.
פתרון

5. (5 נקודות) על השולחן מונחים שני דפים וערימת מטבעות כסף. בכל צעד מבצעים את אחת משתי הפעולות הבאות:
- מוסיפים לערימה מטבע זהב אחד וכותבים את מספר מטבעות הכסף בדף הראשון
- מסירים מהערימה מטבע כסף אחד וכותבים את מספר מטבעות הזהב בדף השני.
בסופו של דבר על השולחן נותרו רק מטבעות זהב. הוכיחו כי ברגע זה סכום כל המספרים בדף הראשון שווה לסכום כל המספרים בדף השני.
פתרון


אביב

1. (3 נקודות) האם ניתן לצבוע את פאות הקובייה בשלושה צבעים, כך שכל צבע משתתף בצביעה, ובנוסף, לא משנה מאיזה כיוון נסתכל על הקובייה, לא נוכל לראות פאות בכל שלושת הצבעים? (ניתן לראות בו-זמנית שלוש פאות בעלות קודקוד משותף.)
פתרון

2. (4 נקודות) על הצלע AB של משולש ABC מסומנות נקודות K ו-L כך ש-KL=BC ו-AK=LB. נסמן את אמצע הצלע AC ב-M. הוכיחו כי הזווית KML ישרה.
פתרון

3. (4 נקודות) יוסי סכם עשר חזקות עוקבות של 2 החל ממקום מסוים.
דני סכם כמה מספרים טבעיים עוקבים החל מ-1.
האם יתכן שהם קיבלו סכומים שווים?
פתרון

4. (4 נקודות) נתונה צורת ה"מדרגות" המתוארת בציור. מה הכמות המינימלית של ריבועים אליהם ניתן לחתוך את הצורה? מותר לחתוך רק לאורך קווי המשבצות.

פתרון

5. (5 נקודות) נתון מספר טבעי n, ונתונים 2n+1 מספרים, שמתוכם מספר אחד שווה ל-0, שני מספרים שווים ל-1, שני מספרים שווים ל-2, ..., שני מספרים שווים ל-n. רוצים לרשום את כל המספרים הנתונים בשורה, כך שלכל מספר טבעי 1≤m<n, בין שני המספרים ששווים ל-m יהיו בדיוק m מספרים אחרים. עבור אילו ערכי n זה אפשרי?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) יוסי סכם 100 חזקות עוקבות של 2 החל ממקום מסוים. דני סכם כמה מספרים טבעיים עוקבים החל מ-1.
האם יתכן שהם קיבלו סכומים שווים?
פתרון

2. (4 נקודות) לשטיח יש צורה של ריבוע בעל צלע באורך 275 סנטימטר. עש ניקב בשטיח ארבעה חורים נקודתיים.
האם בהכרח אפשר לגזור מהשטיח חתיכה שאין בה חורים, וצורתה ריבוע בעל צלע באורך מטר אחד?
פתרון

3. (4 נקודות) נתון מספר טבעי n, ונתונים 2n+1 מספרים, שמתוכם מספר אחד שווה ל-0, שני מספרים שווים ל-1, שני מספרים שווים ל-2, ..., שני מספרים שווים ל-n. רוצים לרשום את כל המספרים הנתונים בשורה, כך שלכל מספר טבעי 1≤m<n, בין שני המספרים ששווים ל-m יהיו בדיוק m מספרים אחרים. עבור אילו ערכי n זה אפשרי?
פתרון

4. (5 נקודות) הנקודות K ו-L מחלקות את התיכון AM של משולש ABC לשלושה חלקים שווים, והנקודה K נמצאת בין הנקודות L ו-A.
נסמן נקודה P כך שהמשולשים KPL ו-ABC דומים (KP:AB=PL:BC=KL:AC), ובנוסף הנקודות P ו-C נמצאות באותו צד של הישר AM.
הוכיחו כי הנקודה P נמצאת על הישר AC.
פתרון

5. (5 נקודות) במעגל כתובים 2015 מספרים טבעיים כך שההפרש בין כל שני מספרים סמוכים שווה למחלק המשותף המקסימלי שלהם.
מצאו את המספר הטבעי הגדול ביותר N, כך שמכפלת 2015 המספרים הנתונים מתחלקת בו בהכרח.
פתרון