תחרות מס': 25


תשס"ד (2003-2004)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) מאה מספרים שלמים חיוביים מהווים סדרה חשבונית עולה. האם יתכן שכל שנים מהם זרים ביניהם?
פתרון

2. (5 נקודות) בעיר מסוימת גרים מספר בחורים ובחורות. שתי שדכניות דיברו ביניהן, הראשונה אמרה "אני יכולה לחתן את כל הבחורים בעלי השיער השחור, כך שכל אחד יינשא לבחורה שהוא מכיר". השנייה אמרה "אני יכולה לחתן את כל הבלונדיניות, כך שכל אחת תינשא לבחור שהיא מכירה". מתמטיקאי ששמע את שיחתן אמר שאז אפשר לעשות את שני הדברים גם יחד. האם הוא צודק? (תכונת ההיכרות היא הדדית)
פתרון

3. (5 נקודות) מצאו את כל השלמים החיוביים k כך שעבורם קיימים שלמים חיוביים m ו- n כך ש (m(m+k)=n(n+1.
פתרון

4. (6 נקודות) מהו המספר הקטן ביותר של משבצות שצריך לסמן על לוח 15×15 כך שאם נציב רץ במשבצת כלשהי על הלוח הוא יאיים לפחות על שתי משבצות מסומנות.
(רץ מאיים על כל המשבצות הנמצאות על האלכסונים שעוברים דרך המשבצת עליה הוא עומד, כולל המשבצת עצמה.)
פתרון

5. (7 נקודות) נתון ריבוע ABCD ונקודה O בתוכו. הוכיחו שההפרש בין סכום הזויות OAB , OBC, OCD ו- ODA לבין 180 מעלות אינו עולה על 45 מעלות.
פתרון

6. (7 נקודות) נתונה תיבה, שעל פניה זוחלת נמלה. הנמלה יושבת בקודקוד התיבה. האם נכונה הטענה שהנקודה המרוחקת ביותר מבחינת הנמלה היא הקודקוד הנגדי? (המרחק בין שתי נקודות, מנקודת מבט של הנמלה, הוא האורך של המסלול הקצר בין שתי הנקודות, מתוך כל המסלולים שעוברים על המשטח של התיבה.)
פתרון

7. (8 נקודות) שני אנשים משחקים במשחק. לשחקן הראשון 1000 קלפים עם המספרים הזוגיים (2, 4,...,2000), ולשני 1001 קלפים עם האי-זוגיים (1, 3,...,2001). השחקן הראשון מתחיל. בכל תור, השחקן שתורו לשחק שם קלף על השולחן, ואז יריבו מסתכל על הקלף שהוא הניח ושם קלף אחר. זה שהמספר שלו גבוה יותר- רושם לעצמו נקודה, והקלפים נזרקים. (סה"כ 1000 תורים, ואחד הקלפים של השני לא ינוצל) מהו מספר הנקודות הגדול ביותר שכל שחקן יכול להבטיח לעצמו? (בלי תלות במשחק של היריב)
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) בעיר מסוימת גרים מספר בחורים ובחורות. שתי שדכניות דיברו ביניהן, הראשונה אמרה "אני יכולה לחתן את כל הבחורים בעלי השיער השחור, כך שכל אחד יינשא לבחורה שהוא מכיר". השנייה אמרה "אני יכולה לחתן את כל הבלונדיניות, כך שכל אחת תינשא לבחור שהיא מכירה". מתמטיקאי ששמע את שיחתן אמר שאז אפשר לעשות את שני הדברים גם יחד. האם הוא צודק? (תכונת ההיכרות היא הדדית)
פתרון

2. (4 נקודות) הראו שכל מספר שלם חיובי אפשר להציג בצורה   2v1·3u1+ 2v2·3u2+ ... +2vk·3uk
כאשר   u1 > u2 > ... > uk  ≥ 0 ו-   0 ≤ v1 < v2 < ... < vk  שלמים.
פתרון

3. (6 נקודות) נתונה תיבה, שעל פניה זוחלת נמלה. הנמלה יושבת בקודקוד התיבה. האם נכונה הטענה שהנקודה המרוחקת ביותר מבחינת הנמלה היא הקודקוד הנגדי? (המרחק בין שתי נקודות, מנקודת מבט של הנמלה, הוא האורך של המסלול הקצר בין שתי הנקודות, מתוך כל המסלולים שעוברים על המשטח של התיבה.)
פתרון

4. (7 נקודות) נתון משולש ABC ובו H - נקודת חיתוך הגבהים, I - מרכז המעגל החסום, O- מרכז המעגל החוסם, K – נקודת ההשקה של המעגל החסום עם הצלע BC. נתון ש- IO מקביל ל- BC. הוכיחו ש AO מקביל ל- HK.
פתרון

5. (7 נקודות) שני אנשים משחקים במשחק. לשחקן הראשון 1000 קלפים עם המספרים הזוגיים (2, 4,...,2000), ולשני 1001 קלפים עם האי-זוגיים (1, 3,...,2001). השחקן הראשון מתחיל. בכל תור, השחקן שתורו לשחק שם קלף על השולחן, ואז יריבו מסתכל על הקלף שהוא הניח ושם קלף אחר. זה שהמספר שלו גבוה יותר- רושם לעצמו נקודה, והקלפים נזרקים. (סה"כ 1000 תורים, ואחד הקלפים של השני לא ינוצל) מהו מספר הנקודות הגדול ביותר שכל שחקן יכול להבטיח לעצמו? (בלי תלות במשחק של היריב)
פתרון

6. (7 נקודות) לפירמידה משולשת ABCD סכום שטחי הפאות ABC ו- ABD שווה לסכום שטחי שתי הפאות האחרות. הראו שמרכזי הצלעות BC,AD, AC ו BD נמצאים במישור אחד, והמישור הזה מכיל את מרכז הכדור החסום בפירמידה.
פתרון

7. (א) (3 נקודות) בטבלה m×n רשומים הסימנים ‘+’ו ‘-‘ בכל תור אפשר להפוך את הסימנים בשורה או עמודה כלשהי. הראו שאם אי אפשר להביא טבלה זו למצב שבו הכל ‘+’ אז יש בה ריבוע 2×2 שגם אותו אי אפשר להביא למצב שבו הכל ‘+’.
(ב) (6 נקודות) בטבלה בגודל m×n רשומים הסימנים ‘+’ו ‘-‘ בכל תור אפשר להפוך את הסימנים בכל שורה ,עמודה או אלכסון (הפינות גם נחשבות לאלכסונים). הראו שאם אי אפשר להביא טבלה זו למצב שבו הכל ‘+’ אז יש בה ריבוע 4×4 שגם אותו אי אפשר להביא למצב שבו הכל ‘+’.
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) סדרה חשבונית סופית מורכבת ממספרים שלמים וסכומה – חזקת שלמה של 2. הוכיחו שמספר איברי הסדרה גם הוא חזקת שלמה של 2.
פתרון

2. (5 נקודות) מהו המספר הגדול ביותר של כלי דמקה שניתן להניח על לוח 8×8 כך שעל כל כלי יאיים כלי אחר? (כלי שעומד במשבצת x יכול להכות בכלי שבמשבצת y אם x, y, z הם ריבועים עוקבים על אלכסון ואין כלי ב- z.)
פתרון

3. (5 נקודות) בכל יום, מניות החברה "פרסות וקרניים בע"מ" עולות או יורדות ב- n%,
כאשר   0 < n < 100 שלם (ערך המניה מחושב עם דיוק אינסופי).
האם קיים n עבורו יוכל מחיר המניה לקבל אותו ערך פעמיים?
פתרון

4. (6 נקודות) שני מעגלים נחתכים בנקודות A, B; המשיק המשותף (הקרוב יותר ל- B) משיק למעגלים בנקודות E, F. M היא נקודת החיתוך של הישרים AB ו- EF. נקודה K נבחרת על המשך AM, אחרי M, כך ש- KM = MA. הישר KE חותך את המעגל שמכיל את E גם בנקודה C; הישר KF חותך את המעגל שמכיל את F גם בנקודה D. הוכיחו ש- A, C, D נמצאות על ישר אחד.
פתרון

5. (6 נקודות) לשולחן ביליארד צורת מצולע (לא בהכרח קמור). כל שתי צלעות צמודות מאונכות אחת לשנייה. בקדקודי המצולע כיסים (נקודתיים) לתוכם יכולים ליפול כדורים. כדור יוצא מקדקוד A (בעל זווית פנימית 90) ונע על השולחן, כשמתקיים החוק "זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה" בפגיעתו בקירות. הוכיחו שהכדור אף פעם לא יחזור ל- A.
פתרון

6. (7 נקודות) בהתחלה, רשום על הלוח המספר 2004! = 1 · 2 · ... · 2004 . . שני שחקנים משחקים בזה אחר זה; בכל צעד, מחסר אחד השחקנים מספר שמתחלק ב- 20 מספרים ראשוניים לכל היותר, מהמספר על הלוח, כך שנשאר מספר אי-שלילי. השחקן שמגיע למספר "0" מנצח. לאיזה מהשחקנים יש אסטרטגיה מנצחת; מהי?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) בכל יום, מניות החברה "פרסות וקרניים בע"מ" עולות או יורדות ב- n%,
כאשר   0 < n < 100 שלם (ערך המניה מחושב עם דיוק אינסופי).
האם קיים n עבורו יוכל מחיר המניה לקבל אותו ערך פעמיים?
פתרון

2. (6 נקודות) לשולחן ביליארד צורת מצולע (לא בהכרח קמור). גודלי כל הזוויות של המצולע הם מספרים שלמים של מעלות. בקדקודי המצולע כיסים (נקודתיים) לתוכם יכולים ליפול כדורים. כדור יוצא מקדקוד A (בעל זווית פנימית ששווה למעלה 1 בדיוק) ונע על השולחן, כשמתקיים החוק "זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה" בפגיעתו בקירות. הוכיחו שהכדור אף פעם לא יחזור ל- A.
פתרון

3. (6 נקודות) להיטל מאונך של פירמידה משולשת על מישור מסוים יש את השטח הגדול ביותר. הוכיחו שהמישור מקביל לאחת מפאותיה של הפירמידה, או לשתי מקצועות מצטלבות שלה.
פתרון

4. (6 נקודות) בהתחלה, רשום על הלוח המספר 2004! = 1 · 2 · ... · 2004 . שני שחקנים משחקים בזה אחר זה; בכל צעד, מחסר אחד השחקנים מספר שמתחלק ב- 20 ראשוניים לכל היותר מהמספר על הלוח, כך שנשאר מספר אי-שלילי. השחקן שמגיע למספר "0" מנצח. לאיזה מהשחקנים יש אסטרטגיה מנצחת; מהי?
פתרון

5. (7 נקודות) על המישור נתונים פרבולה ומעגל בעל 2 נקודות חיתוך עם הפרבולה, A ו- B. הסתבר שהמשיקים למעגל ולפרבולה בנקודה A מתלכדים. האם בהכרח גם המשיקים בנקודה B מתלכדים?
פתרון

6. לקוסם חפיסת 36 קלפים שמונחים על השולחן עם התמונה כלפי מטה. הקוסם חייב לחזות את הצורה (יהלום, לב, עלה או תלתן) של הקלף העליון בחפיסה; לאחר מכן מראים לו את הקלף, והוא חוזה את הצורה של הקלף הבא; וכך הלאה. מטרתו לחזות נכון את צורת הקלף מספר מרבי של פעמים. בפועל, הקלפים אינם סימטריים, ולפני שהוא חוזה את צורת הקלף, רואה הקוסם, באיזה משני הכוונים מכוון הקלף. משרת מושחת מניח את הקלפים על השולחן ומכוון כל קלף בחפיסה לאחד משני כיוונים, ע"פ התיאום עם הקוסם, בלי לשנות את סדרם. לפי שיטה זו, האם יוכל הקוסם להבטיח שינחש את צורתם של א . (3 נקודות) יותר ממחצית הקלפים? ב. (5 נקודות) לא פחות מ- 20 קלפים?
פתרון