תחרות מס': 16


שנת לימוד: 1993-1994



סתיו


כיתות ט'-י'


1) בזמן הנשף, ברגע מסוים כל בחור רקד וואלס עם בחורה יותר יפה מאשר בריקוד הקודם, או עם בחורה יותר חכמה מאשר שבריקוד הקודם. בחור אחד- רקד עם מישהי שגם יותר יפה וגם יותר חכמה מאשר בריקוד הקודם. האם זה יכול לקרות? (מספר הבחורים והבחורות שווה זה לזה, כולם רוקדים).
א.י.קאנל-בלוב
פתרון

2) על המישור נתונים שני מעגלים זה בתוך זה. בנה נקודה O כך שמעגל אחד יתקבל מהאחר בעזרת הומוטטיה (במילים אחרות כדי שמתיחה של המישור ביחסית לנקודה O עם מקדם כלשהו יהפוך מעגל אחד לשני).
פתרון

3) מצאו 5 מיספרים טבעיים כלשהם כך שהפרש כל שניים מהם שווה למחלק המשותף הגדול ביותר שלהם.
ס.י.טוקרב
פתרון

4) בביה"ס היסודי של כפר האשל לומדים 20 ילדים. לכל שניים יש סבא משותף . הוכח שלפחות לסבא אחד יש 14 נכדים ונכדות.
א.ו.שפובלוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) בזמן הנשף כל נער רקד עם נערה שהייתה חכמה יותר או יפה יותר מזוגתו הקודמת, אך הרוב (לפחות 80%) רקדו עם נערה שהייתה חכמה יותר ויפה יותר מהקודמת. הייתכן הדבר? (כמות הנערים והנערות בנשף הייתה שווה)
א.י.קאנל-בלוב
פתרון

2) הוכח שמשישה המקצועות של כל פירמידה משולשת (טטרהדרון, לאו דבקה משוכלל) אפשר להרכיב 2 משולשים (כלומר, אפשר לחלק את הקבוצה של 6 מקלות שנוצרה מפירמידה לשתי תת-קבוצות של 3 שבכל תת-קבוצה אפשר לעשות משולש מ-3 איברים שלה).
ו.ו.פרואיזבולוב
פתרון

3) יהיו מספרים ממשיים כאלו ש: . הוכח שמתוך המספרים האלה אפשר לבחור 2 שסכומם 0.
ל.ד.קורלנדצ'יק
פתרון

4) פס 1X10 מחולק לריבועי יחידה. בריבועים אלה רושמים מספרים מ-1 עד 10. תחילה באחד הריבועים רושמים 1, אחר-כך לאחד הריבועים הסמוכים רושמים 2, אחר-כך רושמים 3 בריבוע פנוי שלידו יש ריבוע תפוס, ... . (בכל פעם אפשר לבחור מאיזה צד לוקחים את הריבוע הפנוי, ובהתחלה אפשר לבחור איפה רושמים 1). כמה דרכים שונות יש לעשות את זה?
א.שן
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1) בעת משחק המונופול-2, ליוסי היו שלושים שטרות של 10, 16 ו-20 שקל, וסה"כ היו לו 500 שקל. הוכיחו שהיו לו יותר שטרות של 20 מאשר של 10.
פתרון

2) שלוש צרצרים יושבים על קו ישר כך שכל אחד משני הצרצרים הצדדים יושב במרחק 1 מטר מהאמצאי. כל שניה אחד הצרצרים קופץ מעל אחר לנקודה סימטרית (עם צרצר קופץ מנקודה Aדרך B לנקודה A1 אז מתקיים: AB=BA1). אחרי זמן מה חוזרים הצרצרים לאותם מקומות כמו קודם אבל בסדר שונה, הוכח ששני הצרצרים הצדדים החליפו מקום).
פתרון

3) ידוע שקודקודי הריבוע T1 שייכים לישרים המכילים את צלעות הריבוע T2 והמעגל החסום ב T1 הוא אותו מעגל החוסם את T2. מצא את זוויות המתומן שקודקודיו הם קודקודי הריבוע השני ונקודות ההשקה של המעגל לריבוע הראשון ומצא את גדלי הקשתות של המעגל בין קודקודי המתומן.
ל.ד.קורלנדצ'יק
פתרון

4) הוכיחו שהמספר 40…09 הוא לא ריבוע של מספר שלם (לא משנה מה מספר האפסים, החל מאפס אחד)
ו.סנדרוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) על הקטע [1 ,0] של הישר הממשי נמצאים 4 מספרים: d ,c ,b ,a. הוכח כי קיימת נקודה x שגם שייכת לקטע [1 ,0] כך ש
(1/|x-a|)+(1/|x-b|)+(1/|x-c|)+(1/|x-d|)<40
ל.קורלנדצ'יק
פתרון

2)ארבעה חרגולים יושבים בקודקודים של ריבוע. כל שנייה אחד מהם קופץ מעל חרגול אחר לנקודה סימטרית (אם חרגול קופץ מנקודה A לנקודה C מעל חרגול שיושב בנקודה B, אז הווקטור AB שווה לווקטור BC). הוכח שלא יכול להיות שאחרי מספר שניות
(א) כל החרגולים יהיו על ישר אחד שמקביל לצלע של הריבוע.
(ב) כל החרגולים יהיו על ישר אחד.
א.קובאלדג'י
פתרון

3) משולש ABC חסום במעגל שמכזו O. הישרים AC ו- BC חותכים שוב את המעגל החסום של משולש AOB בנקודות E ו-K. הוכח כי EK מאונך ל- OC.
ס.מארקלוב
פתרון

4) הוכח כי המספר A00...09 אינו ריבוע שלם (באמצע יש כמות כלשהי של אפסים. A ספרה שונה מ-0).
ו.סנדרוב
פתרון