תחרות מס': 9


תשמ"ח(1987-1988)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) הוכח שספרה אחת לפני האחרונה של כל חזקת 3 היא זוגית.
ו. פלאצ'קו
פתרון

2. (5 נקודות) בתוך המעוין ABCD מצא את המקום הגיאומטרי של הנקודות M
כאלה ש ∠AMB+∠CMD=180o .
פתרון

3. (5 נקודות) שני שחקנים מגדילים בתורות את המספר הכתוב על הלוח לפחות ב-1 אך פחות מפי 2 בכל פעם. בהתחלה כתוב על הלוח 2. מנצח מי שיגיע ל-1987. מי יוכל תמיד לנצח – השחקן הראשון או השני?
פתרון

4. (5 נקודות) נתונה צורה קמורה, שחסומה ע"י קשת AC וקו שבור ABC, כך שהקשת והקו השבור נמצאים בשני צדדים שונות של המיתר AC. יש לבנות קוו ישר שעובר דרך אמצע הקשת AC וחוצה את הצורה הזו לשני חלקים שווי שטח.
פתרון

5. נתונים 3 מספרים ממשיים לא שליליים c ,b ,a.
ידוע כי (a4+b4+c4 ≤ 2(a2b2+ c2b2+ c2a2.
א. (3 נקודות) הוכח שכל אחד מהמספרים לא עולה על סכום של שני מספרים אחרים.
ב. (2 נקודות) הוכח כי (a2+b2+c2≤2(ab+cb+ca .
ג. (2 נקודות) האם אי-שוויון ב' גורר את האי-שוויון המקורי?
ו. סנדרוב
פתרון

6. (8 נקודות) 2000 תפוחים נמצאים בסלים בחדר מסוים. אפשר להוציא כל כמות של תפוחים וסלים מהחדר. הוכח שאפשר להגיע למצב שבו בכל הסלים שנותרו יש מספר זהה של תפוחים, והכמות הכוללת של התפוחים היא לפחות 100.
א. ראזבורוב
פתרון

7. (*) לשלושה משולשים: לבן, ירוק, ואדום, יש נקודה משותפת פנימית M. הוכח שאפשר לבחור קודקוד אחד מכל משולש כך שנקודה M תהיה בפנים או על אחת הצלעות של המשולש שנוצר על ידי שלוש נקודות שנבחרו.
א. ברני
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) מהקודקוד A של ריבוע ABCD שהצלע שלו 1 נעביר שני קרניים שחותכים את הריבוע כך שהקודקוד C נמצא בין הקרניים. הזווית בין הקרניים שווה U. מהקודקודים B ו- D מעבירים אנכים לקרניים אלה. מצא את השטח של המרובע שקודקודיו הם עוקבי האנכים האלה.
פתרון

2. (5 נקודות) במרכז של בריכה ריבועית נמצא ילד, ובקודקוד הבריכה על החוף עומדת מורה. המהירות המקסימאלית של הילד בתוך המים קטנה פי 3 ממהירות מהמהירות המקסימאלית של המורה. המורה לא יודעת לשחות,, והילד מסוגל לרוץ יותר מהר מהמורה. האם הילד יכול לברוח?
פתרון

3. (5 נקודות) הוכח כי קיימים אינסוף זוגות של מספרים טבעיים a ו-b כאלה ש- a2+1 מתחלק ב-b וגם b2+1 מתחלק ב-a.
פתרון

4. (5 נקודות) במשולש ABC מנקודה פנימית M העבירו אנכים לגבהים. הסתבר, שקטעי הגבהים מהקודקודים עד לעבי האנכים מ-M שווים. הוכח, שהם בעצם שווים לקוטר של המעגל שחסום במשולש.
פתרון

5. (5 נקודות) נתבונן בכל זוגות המספרים הטבעיים (B,A) כאשר B>A. חלק מהזוגות הוכרזו כשחורים, זוגות האחרים- לבנים. האם יתכן, שמבין כל 3 זוגות מהסוג (A+D, A) , (A+2D, A) , (A+2D, A+D) יש זוגות משני הצבעים?
פתרון

6. (8 נקודות) משולש משוכלל נחתך ע"י ישרים שמקבילים לצלעותיו, למספר משולשים משוכללים שווים. אחד מהם שחור, והאחרים- לבנים. מותר לקחת את הקבוצה של כל המשולשים הקטנים, שנחתכים ע"י קוו ישר מסוים שמקביל לצלע כלשהי של המשולש, ולצבוע את כולם בצבע הפוך. האם תמיד, בעזרת מספר פעולות כאלו אפשר להגיע למצב שבו כל המשולשים הקטנים לבנים?
פתרון

7. (8 נקודות) העיר מהווה מישור אינסופי מחולק למשבצות (הקווים הם רחובות). בנקודה מסוימת בעיר נמצא פושע, וברחוב מסוים בכל צומת שמספרו מתחלק ב-100 עומד שוטר. מטרת המשטרה זה לראות את הפושע. גם השוטרים וגם הפושע מסוגלים לנוע רק לאורך הרחובות. האם יש עבור המשטרה שיטה (אלגוריתם) שמאפשרת לה להשיג את מטרתה? (המהירות המרבית של השוטרים ושל הפושע מספרים סופיים, אבל לא ידועים לנו. השוטרים מסוגלים לראות לאורך הרחובות למרחק אינסופי. )
א. אנג'אנס
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (5 נקודות) A, B, C מספרים שלמים, C=B+A.
הוכח כי A4+B4+C4 שווה לשתיים כפול ריבוע שלם.
פתרון

2. (5 נקודות) נתון משולש ABC. שני ישרים סימטריים ל-AC יחסית ל-BC ויחסית ל-AB נפגשים בנקודה K. הוכח שישר BK עובר דרך מרכז המעגל החוסם.
ו. פרוטסוב
פתרון

3. (5 נקודות) לפתור מערכת משאות:
(x3 + x4 + x5)5 = 3x1
(x4 + x5 + x1)5 = 3x2
(x5 + x1 + x2)5 = 3x3
(x1 + x2 + x3)5 = 3x4
(x2 + x3 + x4)5 = 3x5

ל. טוטסקו
פתרון

4. (5 נקודות) במאגר נמצאות משקולות 1 ג', 2 ג', 4 ג', 8 ג', 16 ג', ... (כולם חזקות של 2) אבל אותה משקולת יכולה להופיע מספר פעמים. הניחו מספר משקולות על כל כף של המאזניים כך שנוצר שווי משקל. נתון שבכף השמאלי כל המשקולות הן ממשקל שונה. הוכח, שבכף הימני יש לפחות אותה כמות של משקולות כמו בכף השמאלי.
פתרון

5. (5 נקודות) האם אפשר לכסות מישור ע"י מעגלים כך שדרך כל נקודה יעברו 1988 מעגלים? (הערה: הנקודה לא נחשבת למעגל.)
נ. וואסילייב
פתרון

6. (8 נקודות) זווית ישרה מחולקות למשבצות ריבועיות שכל צלעותיהן שוות ל-1. נתבונן בשורות של משבצות, שמקבילות לצלעות של הזווית (לשורות "אופקיות" נקרא שורות, לשורות "אנכיות" נקרא עמודות). האם אפשר לרשום בכל משבצת מספר טבעי, כך שבכל שורה ובכל עמודה כל מספר טבעי יופיע פעם אחת בדיוק?
ו. שבלב
פתרון

7. (8 נקודות) בונים סדרה של מילים שמורכבים מאותיות A ו-B. המילה הראשונה “A” המילה השנייה “B”.החל מהמילה השלישית, המילה מספר K מתקבלת כאשר רושמים מילה מספר 1–K מימין למילה מספר 2–K. למשל המלים הראשונות הם: “A” , “B” , “AB” , “BAB” , “ABBAB”. האם יכולה להופיע בסדרה זו מילה מחזורית, כלומר מילה שמורכבת ממספר חלקים זהים ורק מהם? (למשל, המילה “BABBBABB” מחזורית, והמילה “ABABBBABB” לא.)
א. אנג'אנס
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (5 נקודות) עבור איזה יחס בין בסיסי הטרפז קיים ישר, ש-6 נקודות החיתוך שלו אם השוקיים, האלכסונים, והמשכי הבסיסים חותכים את הישר לשישה קטעים שווים.
א. גוטמן
פתרון

2. (5 נקודות) זווית ישרה מחולקות למשבצות ריבועיות שכל צלעותיהן שוות ל-1. נתבונן בשורות של משבצות, שמקבילות לצלעות של הזווית (לשורות "אופקיות" נקרא שורות, לשורות "אנכיות" נקרא עמודות). האם אפשר לרשום בכל משבצת מספר טבעי, כך שבכל שורה ובכל עמודה כל מספר טבעי יופיע פעם אחת בדיוק?
ו . שבלב
פתרון

3. (5 נקודות) יהיה (P(x פולינום (רב-איבר) עם מקדמים שלמים. נתון ש-1 ו-2 הם שורשים שלו. הוכח שיש לו מקדם שקטן מ- 1– .
פתרון

4. (5 נקודות) יש מספר כרטיסים שרשומים עליהם מספרים מ-1 עד 30 (מספרים יכולים לחזור על עצמם). כל תלמיד בכיתה לוקח כרטיס בצורה אקראית. המורה יכול לעשות בדיקה כזאת: להקריא רשימה של כרטיסים ולבקש שכל מי שקיבל כרטיס אם אחד מהמספרים שהוא הקריא ירים יד. לא ידוע לנו, כמה תלמידים יש בכיתה. נתון שלמורה יש זיכרון מושלם, ושהתלמידים תמיד עושים את מה שהמורה מבקש. כמה בדיקות צריך לעשות המורה, בשביל לגלות את המספר שכל תלמיד קיבל? מצא את המספר הבדיקות שצריך לעשות, והסבר מדוע זה המספר הקטן ביותר.
פתרון

5. (8 נקודות) קוביה 20×20×20 מורכבת מלבנים 2×2×1. הוכח שאפשר להעביר מחט שיעבור מפאה אחת לפאה מנוגדת ולא יתקע בלבנה.
א. אנג'אנס
פתרון

6. נבנה סדרה אינסופית של מילים שמורכבים מאותיות "A" ו-"B". כל מילה חדשה מתקבלת מהמילה הקודמת בעזרת פעולה הבאה: במקום "A" כותבים "AAB" ובמקום "B" כותבים "A". המילה הראשונה היא "A". אז המילה השנייה היא "AAB", השלישית היא "AABAABA", ... . קל לראות שכל מילה היא התחלה של המילה הבאה, ומזה מתקבלת סדרה אינסופית של אותיות ...AABAABAAABAABAAAB .
א. (4 נקודות) באיזה מקום בסדרה נפגוש בפעם ה-1000 את האות A?
ב. (4 נקודות) הוכח שהסדרה הזאת אינה מחזורית.
ו. הלפרין
פתרון