תחרות מס': 9


תשנ"ח (1987-1988)



אביב


כיתות ט'-י'


1) דודי ובני קיבלו ציונים מ-2 עד 5 –כל אחד קיבל 20 ציונים. מספר החמישיות שקיבל דודי שווה למספר הרביעיות שקיבל בני. מספר הרביעיות שקיבל דודי שווה למספר השלשות שקיבל בני, מספר השלשות שקיבל דודי שווה למספר ציוני ה-"2" שקיבל בני, ומספר ציוני ה-"2" של דודי שווה למספר החמישיות של בני. ממוצע הציונים של דודי ובני הוא אותו הממוצע. כמה ציונים של "2" קיבל דודי?
ס.פומין
פתרון

2) נתון מרובע קמור ABCD. האלכסון AC חוצה את קטע האמצעים   M) MN הוא האמצע של הצלע BC ו-N הוא האמצע של הצלע AD) ל-2 קטעים שווים. הוכיחו שהמשולשים ABC ו-ACD שווים בשטחם.
פתרון

3)א) הקודקודים של מצולע משוכלל בעל 10 צלעות צבועים בשחור ואדום לסירוגין. שני אנשים משחקים במשחק: כל אחד מעביר קטע המחבר 2 קודקודים מאותו הצבע. אסור שלשני קטעים יהיו נקודות (או אפילו נקודה אחת) משותפות. המנצח הוא זה שעשה את המהלך האחרון. מיהו המנצח, הראשון או השני? (בעת משחק נכון והוגן).
ב) אותה השאלה עבור מצולע משוכלל בעל 12 צלעות.
ו.איוונוב
פתרון

4) בתוך משבצות לוח שחמט רשומים מספרים מ-1 עד 64 (בשורה הראשונה רשומים המספרים מ-1 עד 8 לפי הסדר משמאל לימין, בשורה השנייה מ 9 עד 16 משמאל לימין וכו'). לפני חלק מהמספרים רשום הסימן (+) ולפני חלק הסימן (-) כך, שבכל שורה ובכל טור ארבעה (+) וארבעה (-). הוכיחו שסכום כל המספרים שווה ל-0.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1) האם ניתן לבחור 2 מספרים טבעיים X ו-Y כך ש-Y יתקבל מ-X ע"י שינוי סדר הספרות וש: 99......999=Y+X (סה"כ 1111 ספרות 9)?
פתרון

2)(תרגיל זה ניתן במוסקבה) האם ניתן לבחור 4 כדורים לא נחתכים, אטומים כך שיהיה ניתן לחסום איתם מקור אור נקודתי?
בעיה מלנינגרד
פתרון

*2)(תרגיל זה ניתן בכל הערים מלבד במוסקבה) בתוך מעגל חסמו 2 טרפזים שווי שוקיים כך שכל צלע של טרפז מקבילה לצלע כלשהי של הטרפז השני. הוכיחו שהאלכסונים של הטרפז הראשון שווים לאלכסונים של הטרפז השני.
פתרון

3)(תרגיל זה ניתן במוסקבה) בתוך ריבוע שצלעו 1 נמצאים מספר מעגלים שסכום אורכיהם שווה ל-10. הוכיחו שקיים ישר המקביל לצלע הריבוע והוא חותך לא פחות מ-4 מעגלים.
ד.פומין
פתרון

*3)(תרגיל זה ניתן בכל הערים מלבד במוסקבה) מתוך כל המספרים בעלי 10 ספרות, מה יש יותר: מספרים שניתן להציגם כמכפלה של שני מספרים בעלי 5 ספרות או מספרים שלא ניתן להציגם בצורה זו?
ס.פומין
פתרון

4) על לוח שחמט אינסופי הציבו חיילי משחק במרחק של 4 (כלומר, אם מציבים חייל בנקודה כלשהי, אז 4 משבצות מימינו, משמאלו מלמטה ולמעלה יהיו גם חיילים) כך שיוצאת "רשת" של חיילים. הוכיחו שפרש של שחמט לא יכול לעבור בכל המשבצות הריקות כך שהוא יעבור פעם אחת בלבד בכל משבצת.
מהבעיות הישנות של א.טולפיגו
פתרון