תחרות מס': 8


תשמ"ז (1986-1987)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) מספרים X, Y דו-ספרתיים מקיימים: X גדול פי 2 מ-Y, אחת מספרות של Y היא סכום הספרות של X והשנייה היא הפרש. מצא את כל האפשרויות, והוכח שאין אחרות.
פתרון

2. ריבוע ABCD ומעגל O נחתכים ב-8 נקודות, כך שנוצרים 4 משולשים עם צלע עקומה: AEF, BGH, CIJ, DKL, כאשר EF, GH, IJ, KL הן קשתות של מעגל. הוכח כי :
א. (2 נקודות) סכום הקשתות EF ו- IJ שווה לסכום הקשתות GH ו- KL
ב. (2 נקודות) סכום ההיקפים של "משולשים" AEF ו- CIJ שווה לסכום ההיקפים של "משולשים" BGH ו- DKL.
ו. פרואיזוולוב
פתרון

3. (4 נקודות) שניים משחקים במשחק. נתון לוח שוקולד מלבני 10×6 (5 תעלות בכיוון אחד, 9 תעלות בכיוון השני). הראשון שובר את השוקולד לאורך תעלה מסוימת, השני שובר את אחד החלקים גם לאורך תעלה, אז שוב הראשון שובר אחד מחלקים וכן הלאה. המשחק נגמר ברגע שנוצר מלבן שאין בתוכו תעלות. מי שיצר את המלבן הזה מנצח. לאיזה מהשחקנים יש אסטרטגיה מנצחת?
ס. פומין
פתרון

4. (4 נקודות) לוקחים כל תת-קבוצות לא ריקות שונות מהקבוצה של מספרים 1, 2, 3, ... , N . עבור כל קבוצה מחשבים מספר: 1 חלקי מכפלת כל האיברים בקבוצה. מצא את סכום של כל המספרים שחישבנו עבור קבוצות אלו.
א. אנג'אנס
פתרון

5. (7 נקודות) מצא את המקום הגיאומטרי של נקודות חיתוך הגבהים של משולשים שחסומים במעגל נתון.
פתרון

6. (7 נקודות) בתחרות כדורגל השתתפו 28 קבוצות. כל קבוצה משחקת מול כל קבוצה פעם אחד בדיוק. עבור ניצחון קבוצה מקבלת 2 נקודות, עבור תיקו – נקודה אחת, עבור הפסד – 0 נקודות. לאחר התחרות התגלה, שיותר מאשר ¾ מהמשחקים נגמרו בתיקו. הוכח ששני נבחרות מסוימות קיבלו אותו מספר של נקודות.
מ. וופה
פתרון

7. (9 נקודות) כל משבצת של לוח שחמט נצבעה בכחול או באדום. הוכח, שעבור אחד משני צבעים אלה, אפשר לבצע תיול של מלכה שיעבור על כל המשבצות של הצבע הזה ולא יעבור על אף משבצת של צבע אחר. (מותר שהמסלול יעבור במשבצות מסוימות יותר מפעם אחת. המלכה בשחמט יכולה לנוע במאוזן, במאונך, ובאלכסונים, ויכולה לדלג על כל כמות של משבצות.)
א. טולפיגו
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) נתון טרפז M ,ABCD- נקודת חיתוך האלכסונים שלה. ידוע שהשוק שלו AB מאונך לבסיסיה AD ו- BC, ושאפשר לחסום מעגל בטרפז זה. מצא/י את השטח של משולש DCM, אם הרדיוס של המעגל החסום הוא r.
פתרון

2. (3 נקודות) האם קיים כזה N וכאלה 1–N סדרות חשבוניות, שהפרשיהם הם 2, 3, 4, ..., N, כך שכל מספר טבעי שייך לפחות לאחת מהסדרות.
פתרון

3. (3 נקודות) האם קיימים 100 משולשים, שאי-אפשר לכסות אף אחד מהם בעזרת 99 משולשים אחרים?
פתרון

4. (5 נקודות) דרך n!! נסמן מכפלה ...·(n·(n-2)·(n-4. עד אחת (או עד שתיים).
לדוגמה, !!8=8×6×4×2 , !!9=9×7×5×3×1.
הוכח כי !!1985+!!1986 מתחלק ב-1987.
ו. פרואיזוולוב
פתרון

5. (5 נקודות) בתחרות כדורגל השתתפו 28 קבוצות. כל קבוצה משחקת מול כל קבוצה פעם אחד בדיוק. עבור ניצחון קבוצה מקבלת 2 נקודות, עבור תיקו – נקודה אחת, עבור הפסד – 0 נקודות. לאחר התחרות התגלה, שיותר מאשר ¾ מהמשחקים נגמרו בתיקו. הוכח ששני נבחרות מסוימות קיבלו אותו מספר של נקודות.
מ. וופה
פתרון

6. (8 נקודות) משבצות של לוח שחמט 8×8 ממוספרות ע"י מספרים מ-1 עד 32, כך שכל מספר חוזר על עצמו פעמיים. הוכח, שאפשר להדגיש 32 משבצות, שממוספרות במספרים שונים, כך שבכל שורה ובכל עמודה תהיה משבצת מודגשת אחת לפחות.
א. אנג'אנס
פתרון

7. (8 נקודות) על המעגל נתונות 21 נקודות. הוכח כי יש לפחות 100 קשתות, שהקצוות שלהן בנקודות נתונות, והגודל הזוויתי שלהם אינו עולה על 120o .
א. פ. סידורנקו
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) מכונה פועלת בצורה כזאת: אם מכניסים אליה מטבע של 10 קופייקות היא מחזירה 5 מטבעות של 2 קופייקות כל אחד, ואם אם מכניסים אליה מטבע של 2 קופייקות היא מחזירה 5 מטבעות של 10 קופייקות. האם יוסי, שניגש למכונה עם מטבע של 2 קופייקות, יכול לאחר מספר פעולות כאלו להגיע למצב שיהיה לו מספר שווה של שני הסוגים של מטבעות?
פ. נזארוב, לפי רעיון מאולימפיאדת לנינגרד 1987
פתרון

2. (4 נקודות, כל סעיף 2 נקודות) נתבונן במתומן קמור. בעזת אלכסון, אפשר לחתוך ממנו מרובע, ויש 8 דרכים לעשות זאת. האם יתכן, שבין 8 מרובעים כאלה יש
א. ארבעה
ב. חמישה
מרובעים שחוסמים מעגל?
פ. סדרקיאן
פתרון

3. בפינה שמאלית תחתונה של לוח שחמט 8×8 עומדות 9 דמקות בצורה של ריבוע 3×3. לכל דמקה מותר לקפוץ על משבצת ריקה מעל דמקה אחרת שנמצאת לידה, כלומר, למשבצת סימטרית יחסית למרכז של הדמקה השנייה. (מותר לקפוץ במאוזן, במאונך או באלכסון).
האם אפשר לאחר מספר סופי של מהלכים כאלה להעביר את כל הדמקות בצורה של ריבוע 3×3, אבל בפינה אחרת:
א. (2 נקודות) בפינה שמאלית עליונה?
ב. (3 נקודות) בפינה ימנית עליונה?
י. בריסקין
פתרון

4. (5 נקודות) במשולש ABC הזווית A שווה ל- 60o . הוכח שחוצה הזווית של אחת הזוויות, שנוצרות ע"י הגבהים, שעוברים דרך הקודקודים B ו-C עובר דרך המרכז של המעגל החוסם.
ו. פוגרבניאק
פתרון

5. (5 נקודות) נתונות הרבה קוביות, שצבועים ב-6 צבעים, כל פאה – בצבע מסוים. בכל הקוביות יש את אותם 6 צבעים, ובכל קוביה כל הפאות בצבעים שונים, אבל המיקום של הצבעים על הקוביה לא חייב להיות זהה על קוביות שונות. הקוביות מסודרות בצורה מלבנית. מותר להרים שורה כלשהי, לסובב אותה מסביב לציר הארוך ולהחזיר למקום. אותה פעולה אפשר לעשות גם על עמודות. האם אפשר באמצעות פעולות כאלו להגיע למצב, שעל הפאה העליונה של כל הקוביות יהיה אותו צבע?
ד. פומין
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) יהיה (p(x פולינום (רב-איבר) עם מקדמים שלמים.
ידוע שעבור מספרים שלמים מסוימים, a ו-b
מתקיים שוויון p(a) – p(b) = 1
הוכח כי а–b|=1|.
פתרון

2. (3 נקודות) עיגול שרדיוסו 1 מכוסה ע"י 7 בעיגולים זהים. הוכח שרדיוס של העיגולים האלה הוא ½ לפחות.
פתרון

3. (5 נקודות) בעיר מסוימת מותר להחליף דירות רק בזוגות בכל יום. כלומר, אם משפחה א' עוברת לדירה של משפחה ב' אז משפחה ב' עוברת לדירה של משפחה א' ואסור להם באותו יום לעבור דירה שוב. הוכח, שכל החלפה, לא משנה כמה היא מסובכת, אפשר לעשות ביומיים בלי לעבור על החוק. הערה: בכל ההחלפות, גם בזוגות וגם מסובכות יותר, כל משפחה תופסת דירה אחת בדיוק גם לפני וגם אחרי המעבר. הרכב המשפחות נשמר במהלך ההחלפה.
א. שנירלמן, נ. קונסטנטינוב
פתרון

4. (5 נקודות) הוכח שלכל N מתקיים אי-שוויון
.
ו. פרואיזוולוב
פתרון

5. (6 נקודות) נתון משולש שווה צלעות ABC. מהנקודה הפנימית שלו M מורידים אנכים על צלעותיו, שעקביהם D, E, F. מצא את המקום הגיאומטרי של הנקודות M שעבורם משולש DEF יהיה ישר זווית.
פתרון

6. (6 נקודות) שניים משחקים במשחק הבא. הראשון עושה מהלך ראשון- מציב פרש על לוח שחמט (הלוח היה ריק מקודם). אחרי זה שני השחקנים מעבירים את הפרש בתורות, לפי חוקי שחמט. אסור להעביר פרש למשבצת שבה הוא כבר היה לפני זה. השחקן שלא מסוגל לעשות מהלך בתורו מפסיד. לאיזה מהשחקנים יש אסטרטגיה מנצחת?
ו. זודילין
פתרון