תחרות מס': 8


תשמ"ז (1986-1987)



אביב

כיתות ט'-י'

1.(2 נקודות) הוכיחו שלכל a מתקיים: 3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2
פתרון

2.(2 נקודות) במשולש חד זווית הורידו 3 גבהים. שלושת נקודות החיתוך של הגבהים עם הצלעות חיברו ביחד יוצרים משולש קטן יותר. ידוע ש-2 מצלעות המשולש הקטן מקבילות ל-2 מצלעות המשולש המקורי (הגדול). הוכיחו שגם הצלע השלישית של המשולש הקטן מקבילה לצלע השלישית של המשולש הגדול.
פתרון

3.(3 נקודות) נתונים 2 מיכלים של 3 ליטרים כל אחד. במיכל אחד יש ליטר אחד של מים. במיכל השני יש ליטר מים ובו 2% מלח (מומס במים). מותר לשפוך כל כמות מים ממיכל אחד לשני ואחר-כך לערבב. האם ניתן לאחר מס' העברות לקבל תמיסה בעלת ריכוז של 1.5% מלח במיכל שבהתחלה היו בו מים נקיים?
ס.פומין
פתרון

4.(3 נקודות) נתונה מרצפה בצורת משולש ישר זווית בעל בסיסים בגודל 1 דצ"מר ו-2 דצ"מר.האם ניתן מ-20 מרצפות כאלו לקבל ריבוע?
(דצימטר = 10 סנטימטרים)
ס.פומין
פתרון

כיתות יא'-יב'

1.(2 נקודות) האם ניתן להציג את המספר 1986 כסכום של 6 ריבועים של מספרים אי זוגיים?
פתרון

2.(2 נקודות) במרחב נתונים המקבילית ABCD והמישור M. המרחקים בין A, B ו-C למישור M שווים ל- a , b, c בהתאמה. מצאו את המרחק d מהקודקוד D למישור M.
פתרון

3.(2 נקודות) נתונים 2 מיכלים של 3 ליטרים כל אחד. במיכל אחד יש ליטר אחד של מים. במיכל השני יש ליטר מים ובו 2% מלח (מומס במים). מותר לשפוך כל כמות מים ממיכל אחד לשני ואחר-כך לערבב. האם ניתן לאחר מס' העברות לקבל תמיסה בעלת ריכוז של 1.5% מלח במיכל שבהתחלה היו בו מים נקיים?
ס.פומין
פתרון

4.(3 נקודות) על לוח שחמט נבחרה משבצת. סכום ריבועי המרחקים ממרכז המשבצת עד למרכזי כל המשבצות השחורות מסומן ב-A ועד לכל המשבצות הלבנות ב-B. הוכיחו ש: A=B.
א.אנג'אנס
פתרון