תחרות מס': 7


תשמ"ו (1985-1986)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) 8 קבוצות כדורגל שיחקו סיבוב אחד (כל שתיים שיחקו פעם אחד) בלי תיקו. הוכח כי יימצאו 4 קבוצות כך ש-A ניצחה את B, C,D קבוצה B ניצחה את C, D ו- C ניצחה את D
פתרון

2. (5 נקודות) המשחק של "חתול ועכבר" מתרחשת במבוכים א, ב, ג. החתול מתחיל, מהקודקוד שסומן ב-"ח". אחרי זה, העכבר מקבל את התור, והוא מתחיל מהקודקוד שסומן ב-"ע". אחרי זה שוב חתול, וכו'. בכל מהלך, חתול ועכבר זזים מקודקוד מסוים לקודקוד צמוד כלשהו (קודקודים צמודים אם הם מקושרים ע"י קטע), ואי-אפשר לוותר על מהלך. אם ברגע מסוים, חתול ועכבר מגיעים לאותו קודקוד, החתול אוכל את העכבר. האם החתול יכול לתפוס את העכבר ב-א' (נקודה) , ב' (3 נקודות), ג' (נקודה) ?
א.               ב.               ג.              
א. סוסינסקי
פתרון

3. (4 נקודות) המורה נתן משימה , שכל תלמיד צריך לעשות במחברת . הנה המשימה: "לצייר שני מעגלים בעלי מרכז משותף, שרדיוסיהם 1 ו- 10. להעביר שלושה משיקים למעגל הקטן, שנקודות החיתוך שלהם A, B, C נמצאות בתוך המעגל הגדול ומרכז המעגלים נמצא בתוך משולש ABC. למדוד שטח S של משולש ABC ושטחים S3 , S2 , S1 של "הגזרות" שנוצרו שקודקודיהן A, B, C. לחשב את S1+S2+S3–S "
הוכח/י, שלכל התלמידים (בתנאי שכולם יעשו את המשימה נכון) תצא אותה תשובה.
א. טולפיגו
פתרון

4. (4 נקודות) שני שחקני שחמט משחקים שחמט עם שעון (אחרי כל מהלך השחקן עוצר את שעונו ומפעיל את שעון של חברו). לאחר 40 מהלכים השעונים הראו 2 וחצי שעות. הוכח שהיה במהלך המשחק עת בו שעון של אחד השחקנים הראה לפחות דקה 51 שניות יותר משעון חברו. האם בהכרח זה נכון אם נחליף את דקה 51 שניות בשתי דקות?
פתרון

5. (10 נקודות) 2 אנשים מטילים מטבע הוגן: ראשון 10 פעמים והשני 11. מהו הסיכוי שלראשון יצאו יותר מנורות (ראשים) מאשר לשני? ניסוח שקול למי שלא מכיר את המושג "סיכוי": מהו החלק היחסי בין כל המספרים בעלי 21 ספרות שכולן 0 ו-1 של מספרים בעלי 21 ספרות שכולן 0 ו-1 עם כמות אחדות ב-10 מקומות ראשונים קטנה מכמות אחדות ב-11 מקומות אחרונים?
ס. פומין
פתרון

6. (10 נקודות) נתונה סדרה ... x3 , x2 , x1 , כך ש-  х1=1/2 ולכל מספר טבעי хk+1k2k .
מצא את החלק השלם של הסכום 1/(х1+1)+1/(х2+1)+...+1/(х100+1) .
א. אנג'אנס
פתרון

7. המשחק “סופר-שחמט” מתנהל על הלוח 30×30, ומשתתפים במשחק 20 כלים שונים, שכל אחד מהם משחק לפי חוקים משלו. אבל, ידוע כי
(1) מכל משבצת כל כלי מאיים על לא יותר מאשר 20 משבצות
(2) ובנוסף, אם מזיזים את הכלי למשבצת אחרת, אז המשבצות המאוימות זזות באותה צורה (אולי, מחוץ ללוח המשחק).
הוכח כי:
א. (3 נקודות) כל כלי F מאיים על משבצת נתונה מ-20 משבצות לכל היותר.
ב. (5 נקודות) אפשר להציב את כל ה-20 צורות על הלוח כך, שאף אחד לא יאיים על השני.
א. טולפיגו
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) יהי ABCD מרובע קמור ו-M נקודה בתוכו. הוכח כי MA+MB+MC+MD≤AB+BC+CD+DA+AC+BD .
פתרון

2. (3 נקודות) שני שחקני שחמט משחקים שחמט עם שעון (אחרי כל מהלך השחקן עוצר את שעונו ומפעיל את שעון של חברו). לאחר 40 מהלכים השעונים הראו 2 וחצי שעות. הוכח שהיה במהלך המשחק עת בו שעון של אחד השחקנים הראה לפחות דקה 51 שניות יותר משעון חברו. האם בהכרח זה נכון אם נחליף את דקה 51 שניות בשתי דקות?
ס. פומין
פתרון

3. (3 נקודות) 2 אנשים מטילים מטבע הוגן: ראשון 10 פעמים והשני 11. מהו הסיכוי שלראשון יצאו יותר מנורות (ראשים) מאשר לשני? ניסוח שקול למי שלא מכיר את המושג "סיכוי": מהו החלק היחסי בין כל המספרים בעלי 21 ספרות שכולן 0 ו-1 של מספרים בעלי 21 ספרות שכולן 0 ו-1 עם כמות אחדות ב-10 מקומות ראשונים קטנה מכמות אחדות ב-11 מקומות אחרונים?
ס. פומין
פתרון

4. (7 נקודות) נתונה סדרה ... x3 , x2 , x1 , כך ש-  х1=1/2 ולכל מספר טבעי хk+1k2k .
מצא את החלק השלם של הסכום 1/(х1+1)+1/(х2+1)+...+1/(х100+1) .
א. אנג'אנס
פתרון

5. א. (8 נקודות) נקודה O נמצאת בתוך מצולע קמור בעל N קודקודים A1A2A3...AN . מסתכלים בזוויות AiOAj עבור כל הזוגות האפשריים (i, j) של מספרים טבעיים, כך ש 0<i<j≤N . הוכח שבין זוויות הללו יש לפחות 1– N זוויות לא חדות (ישרות, כהות או של 180 מעלות).
ב. (4 נקודות) אותה שאלה עבור פאון, שיש לו N קודקודים.
ו. בולטיאנסקי
פתרון

6. (10 נקודות) במשולש AH, ABC הוא גובה ו-BE הוא חוצה זווית. נתון שזווית  ∠ BEA=45o מעלות. הוכח כי  ∠ EHC=45o
א. שריגין
פתרון

7. (10 נקודות) המשחק “סופר-שחמט” מתנהל על הלוח 100×100, ומשתתפים במשחק 32 כלים שונים, שכל אחד מהם משחק לפי חוקים משלו. אבל, ידוע כי מכל משבצת כל כלי מאיים על לא יותר מאשר 20 משבצות, אבל זה הדבר היחיד שידוע לנו על חוקי המשחק. הוכח כי אפשר להציב את כל ה-20 צורות על הלוח כך, שאף אחד לא יאיים על השני.
א. טולפיגו
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) דרך הקודקודים A ו- B של משולש ABC הועברו שני קווים ישרים, שחותכים את המשולש ל- 4 חלקים (3 משולשים ומרובע). נתון שלשלושה חלקים השטח זהה. הוכח/י שאחד מהם - מרובע.
ג. הלפרין, א. סאווין
פתרון

2. (6 נקודות) נתון שמספר שבהצגתו העשרונית לא מופיעה ספרה 0 מתחלק בכל ספרה שמופיעה בהצגתו העשרונית. מהו המספר המקסימלי של ספרות שונות שיכולות להופיע במספר כזה?
ס. פומין
פתרון

3. (4 נקודות) רחובות העיר הולכות ב- 3 כיוונים, וכל רובאים משולשים שווי צלעות שווים. מסדרי התנועה מרשים בכל צומת או לנסוע ישר או לפנות ימינה או שמאלה ב-120 מעלות (לרחוב הקרוב). מותר לפנות רק בצמתים. שני רכבים יצאו מנקודה מסוימת באותו כיוון, אחד אחרי השני, והם נוסעים לפי החוקים, ועם מהירות זהה. האם ייתכן, כי כעבור זמן מסוים הם יפגשו באיזשהו רחוב (לא בצומת) ?
נ. קונסטנטינוב
פתרון

4. (5 נקודות) ABCD הוא ריבוע. על צלע AB נמצאת נקודה K ועל צלע CD נמצאת נקודה L. על הקטע KL בוחרים נקודה M. הוכח שנקודת חיתוך שניה (השונה מ-M) של מעגלים החוסמים את המשולשים AKM ו-MLC נמצאת על האלכסון AC.
ו. דוברובסקי
פתרון

5. (6 נקודות) 20 קבוצות כדורגל משחקות בטורניר. ביום הראשון כל קבוצה שיחקה פעם אחת. גם ביום השני כל קבוצה שיחקה בדיוק פעם אחת. הוכח כי אחרי היום השני המארגנים יוכלו לבחור 10 קבוצות שמתוכם אף שתיים לא שיחקו עד כה.
ס. גנקין
פתרון

6. (8 נקודות) על ההר יש 1001 מדרגות, על מדרגות מסוימות נמצאות אבנים- לא יותר מאבן אחד על כל מדרגה. סיזיפוס לוקח אבן כלשהו מעביר אותה למדרגה הפנויה הראשונה שנמצאת מעליו. כלומר, אם המדרגה הקרובה מלמעלה פנויה, אז מעביר את האבן אליה, ואם לא, אז מעלה את האבן במספר מדרגות עד המדרגה הפנויה הראשונה. אחרי זה הדס מוריד אבן אחד, שמדרגה מתחתיו פנויה, במדרגה אחד למעטה. סה"כ יש 500 אבנים, ובהתחלה הם נמצאים על 500 מדרגות תחתונות. סיזיפוס והדס פועלים בתורות, סיזיפוס ראשון. המטרה של סיזיפוס היא להעלות אבן למדרגה הגבוה ביותר. הים הדס יכול למנוע ממנו להשיג את המטרה?
ס. יליסייב
פתרון

7. (12 נקודות, כל סעיף 3 נקודות) 30 תלמידים של אותה כיתה החליטו לבקר אחד את השני. ידוע כי כל אחד יכול לבקר אצל כמה חברים באותו ערב, אבל אם צריכים לבוא אליו אורכים אז הוא צריך להישאר בבית במהלך כל הערב. הוכח כי, בשביל שכולם יבקרו אצל כולם,
א. 4 ימים לא מספיק
ב. גם 5 ימים לא מספיק
ג. אבל 10 ימים מספיק
ד. ואפילו 7 ימים מספיק
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) עבור איזה ערך טבעי K המספר  K2/1.001K הוא מקסימלי?
פתרון

2. (4 נקודות) 20 קבוצות כדורגל משחקות בטורניר. ביום הראשון כל קבוצה שיחקה פעם אחת. גם ביום השני כל קבוצה שיחקה בדיוק פעם אחת. הוכח כי אחרי היום השני המארגנים יוכלו לבחור 10 קבוצות שמתוכם אף שתיים לא שיחקו עד כה.
ס. גנקין
פתרון

3. (4 נקודות) על המקצועות של פירמידה משולשת כלשהי (טטראדר) בחרו כיוונים. האם הסכום של 6 הווקטורים שהתקבלו יכול לצאת 0?
פתרון

4. (4 נקודות) פונקציה F מוגדרת על כל המספרים הממשיים ולכל x מתקיים
F(x+1)·F(x) + F(x+1) + 1 = 0 .
הוכח כי F לא רציפה.
א. פלוטקין
פתרון

5. (10 נקודות) במקבילית ABCD (שהוא לא מעוין!) העבירו חוצה זווית של זווית  K .∠BAD ו-L הן נקודות חיתוך שלו עם הישרים BC ו-CD בהתאמה. נתון ש-ABCD לא מעוין. הוכח כי מרכז המעגל שחוסם את CKL נמצא על המעגל החוסם של BCD.
א. שריגין
פתרון

6. (8 נקודות) נתונה סדרה לא עולה מונוטונית של מספרים: a1≥a2≥a3≥... ≥a2k+1 .
הוכח כי a12 - a22 + a32 - ... + a2k+12 ≥ (a1 - a2 + a3 -...+ a2k+1)2.
ל. קורלנדצ'יק
פתרון

7. 30 תלמידים של אותה כיתה החליטו לבקר אחד את השני. ידוע כי כל אחד יכול לבקר אצל כמה חברים באותו ערב, אבל אם צריכים לבוא אליו אורכים אז הוא צריך להישאר בבית במהלך כל הערב. הוכח כי, בשביל שכולם יבקרו אצל כולם,
א. 4 ימים לא מספיק (3 נקודות)
ב. גם 5 ימים לא מספיק (2 נקודות)
ג. אבל 10 ימים מספיק (2 נקודות)
ד. ואפילו 7 ימים מספיק (3 נקודות)
פתרון