תחרות מס': 6


תשמ"ה (1984-1985)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (6 נקודות) חוצי זוויות BD ו- CE של משולש ABC נחתכים בנקודה O. הוכיחו שאם OD=OE אז או שהמשולש שווה שוקיים, או שזווית A - 60 מעלות.
פתרון

2. (6 נקודות) עיירה בנויה בצורת ריבוע ובה 9 שכונות (3×3 שכונות, כך שכל שכונה גם היא ריבוע שצלעו שווה ל-a). מהי הדרך הקצרה ביותר שצריך לעשות מניח האספלט אם הוא צריך להניח אספלט בכל רחובות העיירה (הרחובות הם אלו שמפרידים בין שכונה לשכונה, גבולות העיירה הם גם רחובות) אם הוא מתחיל ומסיים בנקודה הפינתית A ?
פתרון

3. (6 נקודות) נתונה קבוצה סופית של נקודות במישור, שאף שלוש לא נמצאות על ישר אחד. נקודות מסוימות מחוברות ע"י קטעים, כך שמכל נקודה יוצא קטע אחד לכל היותר. אפשר להחליף זוג קטעים נחתכיםAB ו- CD בזוג צלעות מנוגדות AC ו- BD של מרובע ACBD. בקבוצת הקטעים שמתקבלת מותר לעשות עוד החלפה כזאת וכו'. האם יכולה להיות סדרה אינסופית של החלפות כאלו?
ו. קולוסוב
פתרון

4. (12 נקודות) בפסטיבל משתתפים 6 זמרים. בכל הופעה חלק מהזמרים שרים, והאחרים מקשיבים מתוך האולם. כמה הופעות צריך כדי שכל זמר יקשיב לכל הזמרים האחרים?
פתרון

5. (12 נקודות) באי אדומירוקכחול גרות 13 זיקיות אדומות, 15 ירוקות, ו- 17 כחולות. ברגע ששני זיקיות בשני צבעים שונים נפגשות, הן מחליפות את הצבע שלהן לצבע השלישי. האם יכול לקרות שכעבור זמן מסוים כל הזיקיות יהיו באותו צבע?
ו. אילייצ'וב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (5 נקודות) במשושה קמור ABCDEF הצלע AB מקבילה ל-CF, CD מקבילה ל-BE ו-EF מקבילה ל-AD. הוכיחו ששטח המשולשים ACE ו-BDF שווים.
פתרון

2. (10 נקודות) המספרים A1, A2, . . . , A100 הם תמורה של מספרים מ-1 עד 100.
מגדירים Bk = Bk-1+Ak , B1 = A1 , לכל 2≤k≤100 .
הוכח כי בין מספרים Bk קיימים לפחות 11 שנותנים שארית שונה לאחר חילוק ב- 100.
ל. קורלנדצ'יק
פתרון

3. (10 נקודות) במצולע משוכלל בעל 10 צלעות העבירו את כל האלכסונים. ליד כל קודקוד וכל נקודת חיתוך של אלכסונים כתבו מספר 1+ (מדובר רק באלכסונים עצמם ולא בהמשכיהם). מותר להחליף את סימני כל המספרים, שנמצאים על צלע מסוימת או של כל המספרים הנמצאים על אלכסון מסוים. האם אפשר בעזרת מספר פעולות כאלה להפוך את כל המספרים ל- 1– ?
פתרון

4. (10 נקודות) בפסטיבל משתתפים 6 זמרים. בכל הופעה חלק מהזמרים שרים, והאחרים מקשיבים מתוך האולם. כמה הופעות צריך כדי שכל זמר יקשיב לכל הזמרים האחרים?
פתרון

5. (10 נקודות) ריבוע 7×7 מרוצף ע"י 16 בלטות 1×3 ובלטה אחת 1×1. הוכח/י שהבלטה הקטנה נמצאת במרכז או צמודה לגבול של הריבוע.
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (5 נקודות) יהיו a, b, c צלעות המשולש γ גודל הזווית מול c .
הוכח/י ש (c ≥ (a + b)·sin(γ/2
פתרון

2. החלק השלם של מספר A הוא מספר שלם הכי גדול שלא עולה על A, סימון [A].
החלק השבור של מספר A הוא [A - [A, סימון {A}.
א. (3 נקודות) מצא/י מספר חיובי A כזה ש 1={A/1}+{A}
ב. (5 נקודות) האם מספרA כזה יכול להיות רציונאלי?
א. וארגה
פתרון

3. (8 נקודות) בכיתה 32 תלמידים. אורגנו 33 חוגים כאשר כל חוג מורכב מ-3 תלמידים ואין שני חוגים עם אותו הרכב. הוכח/י שקיימים שני חוגים שיש להם תלמיד משותף אחד בדיוק.
פתרון

4. (4 נקודות) ריבוע מחולק ל-5 מלבנים כך ש- 4 פינות הריבוע הן פינות של 4 מלבנים שונים שווי שטח, והמלבן החמישי לא נוגע באף צלע של ריבוע. הוכח/י שהמלבן החמישי הוא בעצם ריבוע.
ו. פרואיזוולוב
פתרון

5. בטבלה 10×10 רשומות ספרות 0, 1, 2, ..., 9 כך שבכל משבצת יש ספרה וכל ספרה מופיעה 10 פעמים.
א. (6 נקודות) האם אפשר לעשות את זה בצורה כזאת, שבכל שורה ובכל עמודה יהיו 4 ספרות לכל היותר?
ב. (16 נקודות) הוכח, שקיימת שורה או עמודה, שיש בה לפחות 4 ספרות.
ל. קורלנדצ'יק
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (6 נקודות) הוכח כי שטח של ההיטל של קובייה 1×1×1 על מישור מסוים שווה לאורך ההיטל שלו על ישר שמאונך לאותו מישור.
פתרון

2. רדיוס של העיגול OM מסתובב במהירות קבועה, הוא עובר בכל שנייה זווית  360o/N כאשר N הוא מספר טבעי הגדול מ-3. בהתחלה הרדיוס היה במצב OM0 , כעבור שנייה OM1 , כעבור שני שניות נוספות (כלומר, שלוש שניות אחרי ההתחלה) OM2 , אחרי עוד שלוש שניות נוספות OM3 , וכך הלאה, N-1 שניות אחרי OMN-2 הרדיוס הגיע למצב OMN-1 . עבור אילו N המצבים האלה של הרדיוס מחלקים את העיגול ל- N חלקים שווים?
א. (4 נקודות) האם זה נכון, שזה תמיד מתקיים כאשר N היא חזקה של 2?
ב. (4 נקודות) האם יש N, שהוא לא חזקה של 2, שעבורו זה נכון?
ו. פרואיזוולוב
פתרון

3. (6 נקודות) בכיתה 32 תלמידים. אורגנו 33 חוגים כאשר כל חוג מורכב מ-3 תלמידים ואין שני חוגים עם אותו הרכב. הוכח/י שקיימים שני חוגים שיש להם תלמיד משותף אחד בדיוק.
פתרון

4. (8 נקודות) צורה קמורה מסוימת F לא יכולה לכסות חצי עיגול בעל רדיוס R.
האם יתכן, שעל ידי שני צורות זהות ל- F אפשר לכסות עיגול בעל רדיוס R?
כיצד תשתנה התשובה כאשר נרשה להשתמש בקבוצה לא קמורה?
(צורה גיאומטרית נקראת "קמורה" אם כל קטע שמחבר שני נקודות שלה נמצא בה כולו.)
נ. ואסילייב, א. סאמוסוואט
פתרון

5. א. (12 נקודות) הריבוע מחולק למלבנים. שרשרת זאת תת-קבוצה של מלבנים, שהיטלים שלהם על צלע מסוימת של ריבוע מכסים אותה, כאשר אין נקודה שמוטלים עליה שתי נקודות פנימיות של מלבנים מהתת-קבוצה. הוכח, שכל שני מלבנים יש שרשרת שמכילה את שניהם.
ב. (12 נקודות) אותה שאלה בתלת מימד: קוביה מחולקת לתיבות. בהגדרה של שרשרת מחליפים את היטלים על צלע מסוימת בהיטלים על מקצוע מסוים.
א. גולברג, ו. גורביץ'
פתרון