תחרות מס': 5


תשמ"ד (1983-1984)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) בתוך ריבוע ABCD נבחרה נקודה M . הוכח/י כי נקודות חיתוך התיכונים של המשולשים ABM, BCM, CDM, ו-DAM יוצרים ריבוע.
פתרון

2. (8 נקודות) מצא את כל המספרים השלמים החיוביים, שניתן להציגם כסכום של שני מספרים שלמים חיוביים זרים שונים מ-1.
פתרון

3. (12 נקודות) בנה מרובע לפי אורכי צלעותיו ומרחק בין אמצעי אלכסוניו.
א. ז. טיטוביץ'
פתרון

4. (12 נקודות) a3 , a2 , a1 , ... סדרה עולה של מספרים טבעיים.
נתון ש- aak= 3k . מצא/י a100 .
א. אנג'אנס
פתרון

5. על לוח שחמט N×N עומדים N2 דמקות. האם אפשר להזיז את הדמקות כך, שכל שתי דמקות, שהיו קודם מקושרות ע"י מהלך של פרש, עכשיו תהיינה מקושרות ע"י מהלך של מלך (כלומר, סמוכות)? בדוק שני מקרים:
(א) (2 נקודות) 3=N
(ב) (12 נקודות) 8=N
ס. סטפאנוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) על הצלעות BC ו- CD של ריבוע ABCD נבחרו נקודות K ו- M כך שהיקף המשולש CMK גדול פי 2 מצלע הריבוע. מצא/י את גודל הזווית MAK .
פתרון

2. נתבונן במספרים שמורכבים מ-9 ספרות מ- 1 עד 9 בסדר כלשהו (הספרות לא חוזרות על עצמן). זוג של מספרים כאלה נקרא טוב, אם סכומם שווה ל- 987654321.
א. (2 נקודות) הוכח שיש לפחות שני זוגות טובים. מבחינתנו, זוג (A, B) וזוג (B, A) זה אותו זוג.
ב. (14 נקודות) הוכח שכמות הזוגות הטובים היא מספר אי-זוגי.
ג. הלפרין
פתרון

3. (10 נקודות) משולש ABC חסום במעגל. מרכז מעגל O נמצא בתוך המשולש. K,M,P – אמצעי הקשתות AB, BC, CA בהתאמה. הוכח כי מתקיים שוויון על ווקטורים:   OM+OK+OP=OO1 כאשר O1 – מרכז המעגל החסום במשולש ABC .
ו. הלפרין
פתרון

4. (8 נקודות) a3 , a2 , a1 , ... סדרה עולה של מספרים טבעיים.
נתון ש- aak= 3k . מצא/י a1983 .
א. אנג'אנס
פתרון

5. נתון לוח שחמט, אינסופי לכל כיוון. חלק מהמשבצות מודגשות, ועל כל המשבצות האחרות עומדים מלכים. ברגע מסוים, כל אחד מהמלכים יכול לעשות מהלך. חלק מהמלכים נשארים במקום, ואחרים עושים מהלך בו-זמנית, כלומר, עוברים לאחת מ-8 משבצות הקרובות (מהלך של מלך). המלך יכול גם לעבור למשבצת שממנה יוצא מלך אחר ברגע זה. אבל אסור, ששני מלכים יהיו באותה משבצת אחרי המהלך. האם קיים מספרK כזה, שאחרי K מהלכים המלכים יכולים למלות את כל הלוח? בדוק שני מקרים:
א. (9 נקודות) קבוצת המשבצות המודגשות היא קבוצה של כל המשבצות ששני הקואורדינטות שלהן מתחלקות ב- 100.
ב. (5 נקודות) קבוצת המשבצות המודגשות היא קבוצה של כל המשבצות שמאוימים ע"י 100 מלכות, שעומדות במאה משבצות שונות על הלוח.
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (8 נקודות) נתון דף משבצות אינסופי, בו אורך ורוחב של כל משבצת הוא יחידה אחת. האורך של הדרך הקצרה ביותר של הצריח בין 2 משבצות נקרא מרחק בין שתי משבצות (הדרך נמדדת ממרכז הצריח במיקומו ההתחלתי עד למרכזו במשבצת השנייה). מהו מספר הצבעים הקטן ביותר שניתן לצבוע דף זה (כל משבצת נצבעת בצבע אחד) כך, ששתי משבצות הנמצאות במרחק 6 יהיו תמיד בצבעים שונים? הראו את אופן הצביעה והוכיחו שלא ניתן להסתדר במספר קטן יותר של צבעים.
א. ג. פצ'קובסקי, א. ב. איטנברג
פתרון

2. (8 נקודות) יצרו מ-15 בנים ו-15 בנות 15 זוגות ויצא כך שבכל זוג הפרש גבהים לא עולה על 10 ס"מ. כעת סידרו את הבנים ובנות בשתי טורים מקבילים לפי הגובה ויצרו זוגות (קטן עם קטן וגדול עם גדול). הוכח כי גם עכשיו בכל זוג הפרש הגבהים לא עולה על 10 ס"מ.
א. ג. פצ'קובסקי
פתרון

3. נתבונן ב-  4(N-1) המשבצות שמהוות "מסגרת" בטבלה N×N. צריך לרשום בתוך משבצות אלו  4(N-1) מספרים שלמים עוקבים (לא בהכרח חיוביים) כך, שסכום המספרים בקודקודי המלבנים שצלעותיהם מקבילות לאלכסונים של הטבלה (וקצוות האלכסונים עצמם) יהיו שווים זה לזה (לכל מלבן נסכם 4 מספרים שעומדים ב"קודקודיו" ולכל אלכסון נסכם 2 מספרים שנמצאים בקצוות האלכסון). האם זה אפשרי? התבוננו במקרים:
א.  N=3
(2 נקודות)
ב.  N=4
(3 נקודות)
ג.  N=5
(4 נקודות)
ו. בולטיאנסקי
פתרון

4. (12 נקודות) לחתוך משולש שווה-שוקיים ויישר-זווית למשולשים שדומים לו, אבל כל שניים שונים בגודלם.
א. סבקין
פתרון

5. (12 נקודות) הוכח/י שקיימים אינסוף זוגות של מספרים עוקבים, שבפירוק של כל אחד מהם לגורמים ראשוניים כל גורם מופיע יותר מפעם אחד. כמו למשל (8, 9) או (288, 289).
א. אנג'אנס
פתרון

כיתות יא'-יב'

1.א) (4 נקודות) בכל משבצות הריבוע 20×20 הציבו דמקות. מושיקו אומר מספר כלשהו D ושמוליק מזיז את כל הדמקות כך, שכל דמקה עוברת מרחק לא קטן מ-D ( מרחק נמדד בין מרכזי המשבצות). עבור אלו ערכים של D זה אפשרי? (יש לציין את ה-D המקסימאלי, יש להראות שניתן להזיז את כל הדמקות למרחק של לא פחות מ-D ולהוכיח שעבור D גדול יותר ביצוע הפעולה בלתי אפשרי.
ב) (4 נקודות) אותה השאלה עבור ריבוע 21×21.
ס. קרוטוב
פתרון

2. (9 נקודות) מקודקודי הבסיס של פירמידה משולשת מעבירים גבהים בתוך הפאות הצדדיות. בכל פאה צדדית, מחברים את שני בסיסי הגבהים שלה שהתקבלו, ע"י קו ישר. הוכח ששלושה ישרים אלה מקבילים למישור אחד.
א. שריגין
פתרון

3. (12 נקודות) נתון פרוזדור אינסופי. בצד אחד של הפרוזדור נמצאים חדרים, שממוספרים על ידי מספרים שלמים ממינוס אינסוף עד פלוס אינסוף.בחדרים גרים 9 פסנתרנים (בחדר אחד יכול לגור יותר מבן אדם אחד). כל יום, שני פסנתרנים שגרים בחדרים צמודים, נגיד, K ו- 1+K, מגיעים למסקנה שהם מפריעים אחד לשני ועוברים לחדרים 1–K ו- 2+K. פסנתרנים שגרים באותו חדר לא מפריעים אחד לשני. הוכח שאחרי מספר סופי של ימים, המעברים האלה יסתיימו.
ו. אילייצ'וב
פתרון

4. (12 נקודות)  F(x) היא פונקציה עולה רציפה מקטע [0,1] לעצמו. נתון מספר טבעי N. הוכח שאת גרף הפונקציה ניתן לכסות ב-N מלבנים כך שצלעות המלבנים יקבילו לצירים ושטח כל מלבן יהיה .
*הערה: המלבנים הם סגורים, כלומר מכילים את נקודות השפה שלהם.
א. אנג'אנס
פתרון

5. עבור כל מספר טבעי N נסמן ב-(P(N את מספר החלוקות של N, כלומר כמה דרכים יש לפצל N לסכום של מחוברים טבעיים חלוקות, ששונות רק בסדר של המחוברים, נחשבות זהות. למשל, P(4)=5 , הרי יש 5 חלוקות של 4, שהם 4= 1+3 = 2+2 = 1+1+2 = 1+1+1+1 = 4.
כמות של מספרים שונים החלוקה נקרא פיזור של החלוקה. (למשל, עבור החלוקה 1+1+2 של 4 , הפיזור הוא 2).
(Q(N זה סכום הפיזורים של כל החלוקות של מספר N.
א) (9 נקודות) הוכח כי (Q(N)=1+P(1)+P(2)+…+P(N–1
ב) (3 נקודות) הוכח כי Q(N) = (2N)1/2·P(N) .
א. ב. זלבינסקי
פתרון