תחרות מס': 5


שנת לימוד: 1983-1984



סתיו


כיתות ט'-י'


1.(3 נקודות) 175 ק"ג דובדבנים עולים יותר מ- 125 ק"ג אוכמניות אבל פחות מ-126 ק"ג אוכמניות.(כל ק"ג של אוכמניות או דובדבנים עולה מספר שלם של שקלים). יש להוכיח שעל מנת לקנות ק"ג אחד של אוכמניות ו-3 ק"ג של דובדבנים 80 ₪ לא יספיקו.
ס.פומין
פתרון

2.(3 נקודות) במחומש הקמור ABCDE מתקיים: AB=AC, AE=AD וגם ש: ∠CAD = ∠AEB + ∠ABE. יש להוכיח שהתיכון AM במשולש ABE קטן פי 2 מהקטע CD.
פתרון

3. נתבונן ב- 4(N-1)   המשבצות שמהוות "מסגרת" בטבלה N×N. צריך לרשום בתוך משבצות אלו 4(N-1)   מספרים עוקבים (לא בהכרח חיוביים) כך, שסכום המספרים בקודקודי המלבנים שצלעותיהם מקבילות לאלכסונים של הטבלה (וקצוות האלכסונים עצמם) יהיו שווים זה לזה (לכל מלבן נסכם 4 מספרים שעומדים ב"קודקודיו" ולכל אלכסון נסכם 2 מספרים שנמצאים בקצוות האלכסון). האם זה אפשרי? התבוננו במקרים:
א.(2 נקודות) 3 = N
ב.(3 נקודות) 4 = N
ג.(4 נקודות) 5 = N
ו.בולטיאנסקי
פתרון

4. (P(x הוא מכפלת כל הספרות של המספר הטבעי x ו- (S(x הוא סכום כל הספרות של המספר x. כמה פתרונות קיימים עבור המשוואה הבאה: P(P(x))+P(S(x))+S(P(x))+S(S(x))=1984 ?
פתרון

5.(8 נקודות) נתון דף משבצות אינסופי, בו אורך ורוחב של כל משבצת הוא יחידה אחת. האורך של הדרך הקצרה ביותר של הצריח בין 2 משבצות נקרא מרחק בין שתי משבצות (הדרך נמדדת ממרכז הצריח במיקומו ההתחלתי עד למרכזו במשבצת השנייה). מהו מספר הצבעים הקטן ביותר שניתן לצבוע דף זה (כל משבצת נצבעת בצבע אחד) כך, ששתי משבצות הנמצאות במרחק 6 יהיו תמיד בצבעים שונים? הראו את אופן הצביעה והוכיחו שלא ניתן להסתדר במספר קטן יותר של צבעים.
א.פצ'קובסקי , א. איטנברג
פתרון

כיתות יא'-יב'


1. 175 ק"ג דובדבנים עולים יותר מ- 125 ק"ג אוכמניות אבל פחות מ-126 ק"ג אוכמניות. (כל ק"ג של אוכמניות או דובדבנים עלה מספר שלם של שקלים). יש להוכיח שעל מנת לקנות ק"ג אחד של אוכמניות ו-3 ק"ג של דובדבנים:
א.(2 נקודות) 80 ₪ לא יספיקו.
ב.(3 נקודות) 100 ₪ לא יספיקו.
ס.פומין
פתרון

2.(9 נקודות) מקודקודי הבסיס של פירמידה משולשת מעבירים גבהים בתוך הפאות הצדדיות. בכל פאה צדדית, מחברים את שני בסיסי הגבהים שלה שהתקבלו, ע"י קו ישר. הוכח ששלושה ישרים אלה מקבילים למישור אחד.
י.שאריגין
פתרון

3.(4 נקודות) מדף נייר משבצות בגודל 29×29 משבצות, חתכו 99 ריבועים של 2×2 (חותכים לפי הגבולות של המשבצות). יש להוכיח שמשארית הנייר אפשר לגזור לפחות עוד ריבוע אחד כזה.
ס.פומין
פתרון

4.(8 נקודות) F(x) היא פונקציה עולה רציפה מקטע [1, 0] לעצמו. נתון מספר טבעי N. הוכח שאת גרף הפונקציה ניתן לכסות ב-N מלבנים כך שצלעות המלבנים יהיו מקבילים לצירים ושטח כל מלבן יהיה  1/N2.
*הערה: המלבנים הם סגורים, כלומר מכילים את נקודות השפה שלהם.
א.אנג'אנס
פתרון

5. א.(4 נקודות) בכל משבצות הריבוע 20×20 הציבו דמקות. מושיקו אומר מספר כלשהו D ושמוליק מזיז את כל הדמקות כך, שכל דמקה עוברת מרחק לא קטן מ-D ( מרחק נמדד בין מרכזי המשבצות). עבור אלו ערכים של D זה אפשרי? (יש לציין את ה-D המקסימאלי, יש להראות שניתן להזיז את כל הדמקות למרחק של לא פחות מ-D ולהוכיח שעבור D גדול יותר ביצוע הפעולה בלתי אפשרי.
ב.(4 נקודות) אותה השאלה עבור ריבוע 21×21
ס.ס.קרוטוב
פתרון