תחרות מס': 4


תשמ"ג (1982-1983)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (12 נקודות) בחפיסת קלפים מ-36 קלפים הקלפים מסודרים באופן הבא: קלף אדום, קלף ירוק, קלף צהוב, קלף כחול, קלף אדום, קלף ירוק, קלף צהוב, קלף כחול וכך הלאה. כעת לוקחים חלק תחתון של חפיסה, הופכים אותו ומכניסים לחלק עליון. הוכח כי אם כעת ניקח 4 קלפים סמוכים מחפיסה החל מהארבע הכי עליונים, אז בכל אחת מ-9 הרביעיות יהיו כל הצבעים.
א. מרקוב
פתרון

2. (7 נקודות) כמה אבנים אדומים וירוקים נמצאים בשורה (יש אבנים משני הסוגים). נתון שאבנים שביניהם יש 10 או 15 אבנים צבועים באותו צבע. מהו המספר המקסימלי של אבנים שיכולים להיות בשורה?
פתרון

3.(7 נקודות) הוכח שלמשוואה   m! · n! = k! יש אינסוף פתרונות במספרים טבעיים גדולים מ 1.
פתרון

4.
א. (5 נקודות) 10 נקודות על מעגל מחלקות את המעגל ל10 חלקים שווים. הנקודות מחוברות בזוגות ב5 קווים. האם תמיד יהיו 2 קווים באותו אורך?
ב. (12 נקודות) 20 נקודות על מעגל מחלקות את המעגל ל20 חלקים שווים. הנקודות מחוברות בזוגות ב10 קווים. הוכח כי תמיד יהיו קווים באותו אורך.
ו. פרואיזוולוב
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (15 נקודות) הוכח את השוויון לכל n טבעי:
[n1/2] + [n1/3] + ... + [n1/n] = [log2n] + [log3n] + ... + [lognn]
ו. ו. קיסיל
פתרון

2. (8 נקודות) האם קיים מצולע תלת ממדי (פאון) שבו כל הצלעות הן AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH. על הציור מובא תרשים חיבור הצלעות:

פתרון

3. על פס נייר רשומים 60 סימנים x ו-o. את הפס הזה גוזרים לחלקים סימטריים, למשל: o, x x , o x x x x o , x o x וכו'.
א. (12 נקודות) הוכח כי ניתן לבצע זאת ולקבל פחות מ 24 חלקים.
ב. (12 נקודות) הבא דוגמא לסדרה שאי אפשר לקבל פחות מ 15 חלקים.
ג. (***) נסה לשפר את ההערכות.
פתרון

4. א. (14 נקודות) מתוך נקודה מסוימת M בתוך מצולע משוכלל מורידים אנכים MK1, MK2, ..., MKn על צלעות המצולע או על המשכיהן. הוכח שסכום הוקטורים MK1+MK2+...+MKn שווה ל  (n/2)·MO כאשר O זה מרכז המצולע (מרכז מעגל חוסם מצולע)
ב. (14 נקודות) הוכח כי סכום הוקטורים מנקודה מסוימת בטטראדר לעקבי האנכים מנקודה הזו על פאות הטטראדר שווה  (4/3)·MO כאשר O זוהי נקודת מרכז של הטטראדר.
ו. פראסולוב
פתרון

5. (נקודה אחת) המעבר התת קרקעי במאדים על שירטוט בעל צורה של קו עקום סגור חותך את עצמו (בכל נקודת חיתוך רק 2 קווים נפגשים). הוכח כי אפשר לבנות את הדרכים כך שהרכבת תעבור פעם אחד מעל השרטוט ופעם אחד מתחת.
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1.(8 נקודות) שוקי הלך במשך 3.5 שעות. בכל פרק זמן של שעה הוא עבר 5 ק"מ. האם מכך נובע שמהירותו הממוצעת של שוקי במשך הזמן שהוא הלך היא 5 ק"מ לשעה?
נ.קונסטנטינוב
פתרון

2. (13 נקודות) מצולע משוכלל בעל 4k צלעות מחולק למקביליות. הוכח שבין המקביליות האלה יש לפחות k מלבנים. מצא את סכום שטחי כל המלבנים.
ו. ו. פרואיזוולוב
פתרון

3. בארץ הפלאות יש N ערים. כל שתי ערים מחוברות בכביש אחד כך, שהכבישים נפגשים רק בערים ואין צמתים (הכבישים בנויים כך שב"צמתים" הם עוברים זה מעל זה, כמו כביש דו קומתי ולא נפגשים כך שנוצר צומת). הקוסם הרשע הפך את כל הכבישים כך שכולם יהיו חד-סטריים, בצורה כזו, שאם יוצאים מעיר אחת אי אפשר לחזור אליה.
א.(3 נקודות) הוכח/י שהקוסם הרשע יכול לעשות זאת.
ב.(נקודה 1) הוכח שקיימת עיר שניתן להגיע ממנה לכל עיר אחרת ושקיימת עיר שאי אפשר לצאת ממנה כלל.
ג.(5 נקודות) הוכח שקיימת דרך שעוברת בכל הערים ויש רק אחת כזו.
ל.מ.קוגנוב
פתרון

4. (18 נקודות) על נייר משבצות אינסופי שני שחקנים משחקים במשחק הבא: הראשון צובע באדום ריבוע שלא נצבע קודם לכן, אחר כך השחקן השני צובע בכחול ריבוע שלא נצבע קודם, אחר כך שוב השחקן הראשון צובע ריבוע לא צבוע באדום וכך הלאה. השחקן הראשון רוצה שמרכזי 4 ריבועים צבועים באדום ייצרו ריבוע שצלעותיו מקבילות לקווי המשבצות והשחקן השני רוצה להפריע לשחקן הראשון לבצע זאת. האם השחקן הראשון יוכל לנצח?
פתרון

5. (18 נקודות) הוכח שמתוך 17 מספרים טבעיים שונים יימצאו או 5 מספרים שלא מתחלקים זה בזה או 5 מספרים כך שהשני מתחלק בראשון, שלישי – השני, רביעי – בשלישי, חמישי- ברביעי.
משפט ידוע בקומבינטוריקה (הלמה של דילוורת).
פתרון

כיתות יא'-יב'


1. (12 נקודות) על מעגל ממוקמים מספרים מ-1 עד 1000. יש להוכיח שניתן לחבר אותם בעזרת 500 קטעים לא נחתכים כך, שההפרש בין קצוות כל קטע (לפי ערך מוחלט) לא יעלה על 749.
א.א.ראזבורוב
פתרון

2. (8 נקודות) על צלעות משולש AB,BC,CA לוקחים נקודות P,Q,R בהתאמה כך ש AQ, BR, CP נחתכים בנקודה אחת וסכום הוקטורים AQ+BR+CP שווה ל 0. הוכח כי P,Q,R הן אמצעי הצלעות.
פתרון

3. בארץ הפלאות יש N ערים. כל שתי ערים מחוברות בכביש אחד כך, שהכבישים נפגשים רק בערים ואין צמתים (הכבישים בנויים כך שב"צמתים" הם עוברים זה מעל זה, כמו כביש דו קומתי ולא נפגשים כך שנוצר צומת). הקוסם הרשע הפך את כל הכבישים כך שכולם יהיו חד-סטריים, בצורה כזו, שאם יוצאים מעיר אחת אי אפשר לחזור אליה.
א.(2 נקודות) הוכח/י שהקוסם הרשע יכול לעשות זאת.
ב.(נקודה 1) הוכח שקיימת עיר שניתן להגיע ממנה לכל עיר אחרת ושקיימת עיר שאי אפשר לצאת ממנה כלל.
ג.(4 נקודות) הוכח שקיימת דרך שעוברת בכל הערים ויש רק אחת כזו.
ל.קוגנוב
פתרון

4. על נייר משבצות אינסופי שני שחקנים משחקים במשחק הבא: הראשון צובע באדום ריבוע שלא נצבע קודם לכן, אחר כך השחקן השני צובע בכחול ריבוע שלא נצבע קודם, אחר כך שוב השחקן הראשון צובע ריבוע לא צבוע באדום וכך הלאה. השחקן הראשון רוצה שמרכזי 4 ריבועים צבועים באדום ייצרו ריבוע שצלעותיו מקבילות לקווי המשבצות והשחקן השני רוצה להפריע לשחקן הראשון לבצע זאת.
א. (12 נקודות) האם השחקן הראשון יוכל לנצח?
ב. (30 נקודות) האם תשובתך תשתנה אם השחקן השני צובע 2 ריבועים במהלך אחד?
ד. ג. אזוב
פתרון

5. (30 נקודות) k קודקודים של מצולע בעל n צלעות צבועות. הצביעה נקראת אחידה, כאשר לכל m טבעי מתקיים התנאי: אם P, Q קבוצות שונות של m קודקודים רצופים, אז הפרש בין כמות הקודקודים הצבועים ב-P לכמות הקודקודים הצבועים ב- Q אינו עולה על 1. הוכח כי לכל k<n קיימת צביעה אחידה, והיא יחידה עד כדי סיבוב.
מ. קונצוויץ'
פתרון