תחרות מס': 41


תש"ף (2019-2020)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. נגיד שהמורכבות של מספר שלם 1<n היא כמות הגורמים בפירוק שלו לגורמים ראשוניים (כך למשל המורכבות של 4 וגם של 6 שווה ל-2).
עבור אילו ערכי n המורכבות של כל מספר בין n לבין 2n (לא כולל הקצוות)
א. (2 נקודות) לא גדולה יותר מהמורכבות של n?
ב. (2 נקודות) קטנה יותר מהמורכבות של n?
פתרון

2. (7 נקודות) נתונים משולשים חדי זוויות ABC ו- A1B1C1 , כך ש- B1 ו- C1 נמצאות על BC, והנקודה A1 בתוך המשולש ABC. שטחי המשולשים הם S ו- S1 בהתאמה.
הראו כי S/(AB+AC)> S1/( A1B1 + A1C1).
פתרון

3. (7 נקודות) לרשותנו 100 מטבעות זהים למראה מ-3 סוגים: זהב, כסף ונחושת. יש לפחות מטבע אחד מכל סוג. ידוע כי כל מטבע זהב שוקל 3 גרם, כל מטבע כסף שוקל 2 גרם, וכל מטבע נחושת שוקל 1 גרם. לרשותנו גם מאזני כף ללא משקולות. כיצד ניתן לקבוע את סוגי כל המטבעות באמצעות לכל היותר 101 שקילות מאזניים?
פתרון

4. (7 נקודות) מרכז המעגל החוסם של המשולש ABC הוא O. הנקודה P היא עקב האנך מ-O לחוצה הזווית הפנימי של הזווית B. הנקודה Q היא עקב האנך מ-O לחוצה הזווית החיצוני של הזווית B. הוכיחו כי הישר PQ מחלק את הקטע שמחבר את אמצעי הצלעות AB ו BC לשני חלקים שווים.
פתרון

5. (8 נקודות) זוג מספרים שלמים חיוביים שונים (m,n) נקרא זוג טוב אם גם mn וגם (m+1)(n+1) הם ריבועים שלמים. הראו שלכל מספר שלם חיובי m קיים מספר שלם n שגדול ממנו כך שהזוג (m,n) הוא טוב.
פתרון

6. (8 נקודות) לפיני היו בהתחלה מספר שטרות של 100 שקלים, ולא היה לו כסף מעבר לזה. פיני התחיל לקנות ספרים, שמחיר כל אחד מהם הוא מספר שלם של שקלים, ולקבל עודף בשקלים בודדים. כאשר הוא קנה ספר יקר (שמחירו לפחות 100 שקלים) הוא שילם רק בשטרות של 100 (בדיוק בכמות השטרות הנדרשת), וכשקנה ספר זול (שמחירו פחות מ-100 שקלים) הוא שילם בשקלים בודדים אם היו לו מספיק מטבעות, ואם לא אז באמצעות שטר של 100. פיני הפסיק לקנות ספרים כשנגמרו לו השטרות, וגילה שהוציא על הספרים בדיוק חצי מהכסף שהיה לו בהתחלה. האם יתכן שהוא הוציא לפחות 5000 שקלים?
פתרון

7. (10 נקודות) לשלומי יש חותמת בצורת לוח משבצות ריבועי, בו 102 משבצות צבועות בדיו. הוא הצמיד את החותמת 100 פעמים לדף משבצות, ובכל פעם 102 המשבצות הצבועות בחותמת הפכו את משבצות הדף אותן כיסו לשחורות. האם יתכן שהצורה השחורה שנוצרה על הדף בסוף היא ריבוע 101×101 ללא אחת מהמשבצות הפינתיות?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (5 נקודות) הפולינום P(x,y) מקיים: לכל n≥0 שלם, כל אחד מבין הפולינומים P(n,y) ו- P(x,n) או שווה לפולינום האפס, או שמעלתו קטנה או שווה ל-n. האם יתכן שלפולינום P(x,x) יש מעלה אי זוגית?
פתרון

2. (5 נקודות) הקטעים AA', BB', CC' שקצותיהם על צלעות המשולש ABC נפגשים בנקודה P בתוך המשולש. כל אחד מהקטעים האלה הוא קוטר של מעגל, ובכל מעגל כזה מעבירים מיתר דרך P המאונך לקוטר. נניח כי שלושת המיתרים בעלי אורך זהה. הראו כי P היא נקודת מפגש הגבהים של המשולש ABC.
פתרון

3. (6 נקודות) לרשותנו 100 מטבעות זהים למראה מ-3 סוגים: זהב, כסף ונחושת. יש לפחות מטבע אחד מכל סוג. ידוע כי כל מטבע זהב שוקל 3 גרם, כל מטבע כסף שוקל 2 גרם, וכל מטבע נחושת שוקל 1 גרם. לרשותנו גם מאזני כף ללא משקולות. כיצד ניתן לקבוע את סוגי כל המטבעות באמצעות לכל היותר 101 שקילות מאזניים?
פתרון

4. (10 נקודות) נתונה סדרה עולה, אינסופית לשני הכיוונים, של מספרים חיוביים . . . a-2< a-1< a0< a1< a2< . . . לכל k שלם חיובי, bk הוא המספר השלם הכי קטן כך שלכל k איברים רצופים בסדרה, היחס בין סכומם לבין המספר הגדול מביניהם לא עולה על bk. הראו שהסדרה  b1, b2, b3, . . . היא או סדרת המספרים הטבעיים או שהיא קבועה החל ממקום מסוים.
פתרון

5. נקודה M בתוך מרובע קמור ABCD נמצאת במרחק שווה מהישרים AB ו-CD, וגם במרחק שווה מהישרים BC ו-AD. נתון בנוסף, כי שטח המרובע ABCD שווה ל-MA·MC+MB·MD. הראו כי המרובע ABCD הוא
א. (6 נקודות) חסום במעגל.
ב. (6 נקודות) חוסם מעגל.
פתרון

6. קובייה שמורכבת מ-2N3 קוביות יחידה נדקרה על ידי מספר מחטים ארוכות שמקבילות למקצועות הקובייה. כל מחט עוברת דרך N2 קוביות קטנות, וכל קובייה קטנה נדקרת על ידי מחט אחת לפחות.
א. (6 נקודות) הראו כי ניתן לבחור 2N2 מהמחטים הנתונות, שכולן מכוונות באותו כיוון או שכולן מכוונות בשני כיוונים שונים, כך שאף שתיים מהן לא דוקרות את אותה הקובייה הקטנה.
ב. (6 נקודות) מהו מספר המחטים המרבי שניתן בוודאות לבחור כך שאף שתיים מהן לא דוקרות את אותה הקובייה הקטנה, בלי הגבלה על הכיוונים?
פתרון

7. (12 נקודות) חלק מהמספרים 1,2,3,…,n נצבעו באדום כך שלכל שלישייה a,b,c של מספרים אדומים (לאו דווקא שונים), אם a(b-c) מתחלק ב-n, אז b=c.
הראו שכמות המספרים האדומים לא עולה על φ(n) (שהוא מספר המספרים הטבעיים שלא עולים על n וזרים ל-n).
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) האם קיים מספר שמתחלק ב-2020 שכל אחת מבין עשר הספרות (0, 1, ... , 9) מופיעה ברישום שלו מספר זהה של פעמים?
פתרון

2. (5 נקודות) שלושה גיבורים: יואב, אבישי ועשהאל נלחמים בדרקון. בכל מכה שלו יואב כורת לדרקון חצי מהראשים ועוד ראש, אבישי בכל מכה כורת לו שליש מהראשים ועוד שני ראשים, ועשהאל בכל מכה מוריד לו רבע מהראשים ועוד שלושה ראשים. הגיבורים מכים בזה אחר זה בסדר שהם בוחרים, כאשר בכל מכה כורתים מספר שלם של ראשים. אם אף גיבור לא יכול להכות (כי זה יצור מספר לא שלם של ראשים), הדרקון אוכל את שלושתם. האם הגיבורים יצליחו לכרות את כל ראשי הדרקון שבהתחלה יש לו !41 ראשים? (נזכיר, כי 41!=1·2·3· ··41.)
פתרון

3. האם קיים מצולע חסום במעגל, בעל N צלעות, שכל צלעותיו באורך שונה, וגודל כל זווית שלם במעלות, כאשר
א. (4 נקודות) N=19;
ב. (3 נקודות) N=20?
פתרון

4. (8 נקודות) עבור אילו ערכי N ניתן לרשום במשבצות הטבלה N×N מספרים ממשיים כך, שבסכומים המתקבלים מכל זוג משבצות בעלות צלע משותפת יופיעו כל המספרים השלמים מ-1 עד 2(N-1)N כולל (כשכל מספר יתקבל מזוג משבצות אחד בדיוק)?
פתרון

5. (9 נקודות) טרפז ABCD חסום במעגל. הבסיס AB פי 3 ארוך יותר מהבסיס CD. המשיקים למעגל החוסם בנקודות A ו-C נחתכים בנקודה K. הראו כי הזווית KDA ישרה.
פתרון

6. (9 נקודות) לאריק יש חפיסה של 36 קלפים (4 צורות, 9 קלפים מכל צורה). הוא מעביר לבנץ חצי מהקלפים לפי בחירתו, ומשאיר את החצי השני אצלו. לאחר מכן, השחקנים מניחים בתורות קלף אחד בכל פעם על השולחן לפי בחירתם עם הפנים כלפי מעלה, כאשר אריק מתחיל. אם בתגובה למהלך של אריק, בנץ מניח קלף עם אותה צורה או עם אותו ערך, הוא מקבל נקודה. מהו המספר הנקודות המרבי שבנץ יכול להבטיח לעצמו?
פתרון

7. (12 נקודות) יעל בוחרת מספרים שלמים חיוביים N ו-a כך ש-a<N. את המספר a היא רושמת על הלוח. לאחר מכן, בכל שלב יעל מבצעת את הפעולה הבאה: היא מחלקת את N עם שארית במספר האחרון שרשום על הלוח, ואת השארית שמתקבלת היא רושמת על הלוח. כאשר היא רושמת את המספר 0, היא עוצרת. האם יתכן שסכום כל המספרים שנרשמו על הלוח גדול יותר מאשר 100N?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) במישור נתונות זוג פרבולות: y = x2 , y = x2 - 1. תהי U קבוצת כל הנקודות במישור הנמצאות בין שתי הפרבולות (כולל הנקודות שעל הפרבולות עצמן). האם קיים קטע שאורכו גדול מ-106, המוכל במלואו בקבוצה U?
פתרון

2. (5 נקודות) אלון בחר שלושה מספרים שלמים חיוביים a,b,c ולאחר מכן החליט למצוא שלושה מספרים שלמים חיוביים x,y,z כך ש: a=lcm(x,y) , b=lcm(x,z) , c=lcm(y,z) . התברר שמספרים x,y,z כאלה קיימים ומוגדרים ביחידות. אלון סיפר על זה לבועז והעביר לו את המספרים a ו-b. הוכיחו שבועז יכול להבין לבד מהו c.
פתרון

3. (8 נקודות) האם יתכן שניתן לקבל שני ריבועים שונים כחתכים מישוריים של פירמידה משולשת כלשהי, כאשר אורך הצלע של הריבוע הראשון קטן או שווה ל-1, ואורך הצלע של הריבוע השני גדול או שווה ל-100?
פתרון

4. (9 נקודות) ליום הולדת של יוסי הגיעו N2 אורחים. ליוסי יש N כובעים שחורים ו-N כובעים לבנים. הוא רוצה שהאורחים ירקדו במספר מעגלים (מעגל אחד או יותר), כאשר בכל מעגל יש לפחות שני אנשים, ואנשים עם כובעים באותו צבע לא נמצאים זה ליד זה במעגל. הוכיחו שהוא יכול לארגן את זה ב-!N2 דרכים שונות בדיוק. (האורחים כולם שונים, הכובעים באותו צבע זהים.)
פתרון

5. (9 נקודות) נתון מרובע חסום ABCD. מעגלים עם קטרים AB ו-CD נחתכים בנקודות X1 ו Y1. מעגלים עם קטרים BC ו-AD נחתכים בנקודות X2 ו Y2. מעגלים עם קטרים AC ו-BD נחתכים בנקודות X3 ו Y3. הראו שהישרים X1Y1, X2Y2 ו- X3Y3 נפגשים בנקודה אחת.
פתרון

6. (10 נקודות) על לוח רשומים 2n מספרים שלמים עוקבים. בכל מהלך, מחלקים את המספרים לזוגות באופן שרירותי, וכל זוג מוחלף בסכום והפרש של שני המספרים שהיו (לא חייבים להחסיר את הקטן מהגדול, כל ההחלפות מתבצעות בו-זמנית). הראו שהלוח לעולם לא יגיע שוב למצב שבו רשומים 2n מספרים עוקבים.
פתרון

7. (12 נקודות) עבור אילו ערכי k ניתן לצבוע בשחור מספר סופי גדול מ-0 של משבצות במישור משובץ לבן, כך שבכל שורה, עמודה או אלכסון יהיו בדיוק k או בדיוק 0 משבצות שחורות?
פתרון