תחרות מס': 41


תש"ף (2019-2020)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) קוסם מניח בשורה את 52 הקלפים של חפיסת קלפים סטנדרטית ומכריז כי 51 קלפים ירדו מהשולחן, ובסוף יישאר רק הקלף 3 תלתן. בכל שלב, משתתף מהקהל בוחר מספר שלם, והקוסם מוריד קלף שנמצא במרחק זה מקצה השורה. הקוסם יכול לבחור כל פעם אם לספור את המרחק מהקצה הימני או מהקצה השמאלי של השורה. עבור אילו מיקומים התחלתיים של הקלף 3 תלתן בשורה הקוסם בהכרח יצליח לבצע את הקסם?
פתרון

2. (4 נקודות) נתונות שתי נקודות שונות A ו-C על מעגל ω שמרכזו O. עבור נקודה נוספת כלשהי P על ω ניתן לסמן ב-X וב-Y את אמצעי הקטעים AP ו-CP, ולבנות את הנקודה H שהיא נקודת מפגש הגבהים של המשולש OXY. הראו כי מיקום הנקודה H לא תלוי בנקודה P.
פתרון

3. (4 נקודות) בשורה של 100 משבצות, בכל משבצת נמצא כלי משחק (כל הכלים שונים). במחיר של שקל אחד ניתן להחליף מקומות בין שני כלים אשר נמצאים במשבצות סמוכות. ניתן גם, ללא עלות, להחליף מקומות בין שני כלים אשר בינם נמצאים 3 כלים בדיוק. מהו המחיר המינימלי שצריך לשלם על מנת לסדר את כל הכלים בסדר ההפוך לסדר ההתחלתי?
פתרון

4. (5 נקודות) נתונים מספרים שלמים a1,a2, . . . , a1000 . ריבועיהם a12,a22, . . . , a10002 רשומים במעגל. הסכום של כל 41 ריבועים שרשומים ברצף מתחלק ב-412.
האם בהכרח כל אחד מבין המספרים a1,a2, . . . , a1000 מתחלק ב-41?
פתרון

5. (5 נקודות) ליוסי יש כמות בלתי מוגבלת של תיבות 1×1×3 ופינות שמודבקות מ-3 קוביות 1×1×1. יוסי הצליח באמצעותן למלא לחלוטין קופסה m×n×k, כאשר n,k ו-m הם מספרים שלמים גדולים מ-1. הראו שהוא היה יכול לעשות זאת באמצעות פינות בלבד. הערה: פינה היא צורה המורכבת משלוש קוביות קטנות שצמודות זו לזו ויוצרות זווית של 90 מעלות.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) קוסם מניח בשורה את 52 הקלפים של חפיסת קלפים סטנדרטית ומכריז כי 51 קלפים ירדו מהשולחן, ובסוף יישאר רק הקלף 3 תלתן. בכל שלב, משתתף מהקהל בוחר מספר שלם, והקוסם מוריד קלף שנמצא במרחק זה מקצה השורה. הקוסם יכול לבחור כל פעם אם לספור את המרחק מהקצה הימני או מהקצה השמאלי של השורה. עבור אילו מיקומים התחלתיים של הקלף 3 תלתן בשורה הקוסם בהכרח יצליח לבצע את הקסם?
פתרון

2. (4 נקודות) במחומש קמור ABCDE מתקיים: AE מקביל ל-CD, ובנוסף AB = BC. חוצי הזוויות של A ו-C נחתכים בנקודה K. הוכיחו כי BK מקביל ל-AE.
פתרון

3. (4 נקודות) מותר להחליף מספר х שכתוב על הלוח במספר 3x+1 או במספר [x/2] (כלומר המספר השלם הגדול ביותר שלא גדול מ-x/2). הראו שאם על הלוח כתוב המספר 1, אפשר להגיע לכל מספר טבעי.
פתרון

4. (5 נקודות) נתון מצולע, שכל שתי צלעות סמוכות שלו מאונכות. שני קודקודים שלו נקראים עוינים אם חוצי הזוויות של שני הקודקודים מאונכים.
הראו שלכל קודקוד יש כמות זוגית של קודקודים עוינים.
פתרון

5. (5 נקודות) בשורה של 100 משבצות, בכל משבצת נמצא כלי משחק (כל הכלים שונים). במחיר של שקל אחד ניתן להחליף מקומות בין שני כלים אשר נמצאים במשבצות סמוכות. ניתן גם, ללא עלות, להחליף מקומות בין שני כלים אשר בינם נמצאים 4 כלים בדיוק. מהו המחיר המינימלי שצריך לשלם על מנת לסדר את כל הכלים בסדר ההפוך לסדר ההתחלתי?
פתרון


אביב

1. (4 נקודות) מפת ריבועלנד היא ריבוע משבצות 6×6. כל משבצת היא ממלכה או שטח מחלוקת. יש בסה"כ 27 ממלכות, ו-9 שטחי מחלוקת. את כל משבצת שהיא שטח מחלוקת תובעות לעצמן כל הממלכות במשבצות הסמוכות (שיש להם צלע משותפת או קודקוד משותף עם שטח המחלוקת.) האם יתכן שמספר הממלכות שתובעות את משבצת המחלוקת שונה עבור כל משבצות המחלוקת.
פתרון

2. (4 נקודות) מהי הכמות הגדולה ביותר של מספרים שלמים שונים הניתנים לכתיבה בשורה כך, שסכום של כל 11 מספרים הרשומים ברצף שווה ל-100 או ל-101?
פתרון

3. (4 נקודות) על האלכסון AC של המעוין ABCD בונים מקבילית APQC כך שהנקודה B נמצאת בתוכה, והצלע AP שווה לצלע המעוין. הוכיחו כי B היא נקודת מפגש הגבהים של DPQ.
פתרון

4. (5 נקודות) נתון מספר שלם n עבורו למשוואה x2+y2+z2-xy-xz-yz=n יש פתרון במספרים שלמים x,y,z.
הראו שאז גם למשוואה x2+y2-xy=n יש פתרון במספרים
פתרון

5. (5 נקודות) על לוח במשבצות א1, ג3 מוצבים שני כלי משחק זהים. איילה ובועז משחקים לפי התור, איילה מתחילה. בכל מהלך שחקן יכול לבחור כלי ולהזיז אותו לכמה משבצות שהוא בוחר ימינה, או לכמה משבצות שהוא בוחר למעלה. מנצח מי שמצליח להזיז כלי למשבצת ח8. למי יש אסטרטגיה מנצחת? במשבצת מותר להציב רק כלי אחד, אסור לדלג מעל כלי אחר.

פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) האם ניתן למלא טבלה 40×41 במספרים שלמים כך שהמספר הרשום בכל משבצת יהיה שווה לכמות המשבצות הסמוכות לפי צלע שבהן רשום מספר זהה?
פתרון

2. (4 נקודות) לאחר נסיעה לאדיס-אבבה ליאור אמר: "עכשיו חגגתי יום הולדת בכל חצי-ספרה של כדור-הארץ חוץ מאחת!"
באיזה מספר הכי קטן של מקומות ליאור היה יכול לחגוג יום הולדת?
נקודות על הגבול של חצי-ספרה לא נחשבים לחלק מחצי-ספרה.
פתרון

3. (5 נקודות) במעגל רשומות 41 אותיות א' ו-ב'. מותר להחליף רצף א'-ב'-א' באות ב' או להפך. כמו כן ב'-א'-ב' באות א' או להפך.
האם זה נכון שמכל מצב התחלתי ניתן להגיע למצב שבו תישאר במעגל אות אחת בלבד?
פתרון

4. האם קיים פולינום לא קבוע p(x) עם מקדמים ממשיים שניתן להציגו כסכום a(x)+b(x), כאשר a(x) ו- b(x) הם ריבועים של פולינומים בעלי מקדמים ממשיים,
א. (2 נקודות) בדרך אחת בדיוק?
ב. (3 נקודות) בשתי דרכים בדיוק?
הצגות הנבדלות רק בסדר המחוברים נחשבות זהות.
פתרון

5. (5 נקודות) נתונים שני מעגלים שנחתכים בנקודות P ו-Q. ישר שרירותי l שעובר דרך Q חותך שנית את המעגלים בנקודות A ו-B. הישרים שמשיקים למעגלים בנקודות A ו-B נפגשים בנקודה C. חוצה הזווית של ∠CPQ חותך את הישר AB בנקודה D. הוכיחו שכל הנקודות D שניתן לקבל אותן באופן זה כאשר בוחרים את הישר l בדרכים שונות, נמצאות כולן על מעגל אחד.
פתרון