תחרות מס': 40


תשע"ט (2018-2019)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) במשולש ישר זווית ABC, קודקוד הזווית הישרה הוא B. מעגל עובר דרך B ודרך אמצע הצלע AC, וחותך את הניצבים בנקודות M ו-N. נתון כי AC=2MN. הראו כי הנקודות M ו-N הן אמצעי הניצבים של משולש ABC.
פתרון

2. (4 נקודות) מצאו את כל המספרים הטבעיים n, עבורם ניתן לחלק את המספרים 1,2,3,...,2n לזוגות, כך שאם נחבר את שני המספרים בכל זוג ונחשב את מכפלת n הסכומים שיתקבלו, נקבל ריבוע של מספר טבעי.
פתרון

3. לוח משבצות מלבני בגודל 7×14 חולק לאורך קווי המשבצות לריבועים 2×2 ולפינות המורכבות מ-3 משבצות (כמו בציור, מותר לסובב). האם יתכן כי כמות הריבועים:
א. (נקודה אחת) שווה לכמות הפינות?
ב. (3 נקודות) גדולה מכמות הפינות?

פתרון

4. (5 נקודות) לנטע יש 5 מטבעות זהים למראה, ששלושה מהם אמיתיים וזהים במשקל, ושניים מזויפים: אחד קל יותר ממטבע אמיתי, והשני כבד יותר ממטבע אמיתי באותה כמות. האם אפשר באמצעות שלוש שקילות במאזני כף להבין אילו שני מטבעות הם המזויפים, וגם איזה מהם קל יותר ואיזה כבד יותר?
פתרון

5. (5 נקודות) נקרא למספר תשע-ספרתי יפה, אם כל ספרותיו שונות. הראו שקיימים לפחות 1000 מספרים יפים שמתחלקים ב-37.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) האם בתוך מחומש משוכלל אפשר לצייר קטע, כך שיראו אותו באותה זווית מכל קודקוד?
הבהרה: הזווית שבה נקודה A רואה את הקטע XY היא הזווית XAY.
פתרון

2. (4 נקודות) מצאו את כל המספרים הטבעיים n, עבורם ניתן לחלק את המספרים 1,2,3,...,2n לזוגות, כך שאם נחבר את שני המספרים בכל זוג ונחשב את מכפלת n הסכומים שיתקבלו, נקבל ריבוע של מספר טבעי.
פתרון

3. (5 נקודות) במקבילית ABCD הזווית A חדה. נקודה N על הצלע AB מקיימת AB=CN. המעגל החוסם של המשולש CBN משיק לישר AD. הוכיחו כי נקודת ההשקה היא D.
פתרון

4. (5 נקודות) נקרא למספר תשע-ספרתי יפה, אם כל ספרותיו שונות. הראו שקיימים לפחות 2018 מספרים יפים שמתחלקים ב-37.
פתרון

5. (5 נקודות) עופר מציב 500 מלכים שלא מאיימים זה על זה על משבצות לוח 100×50. דב מציב 500 מלכים שלא מאיימים זה על זה על המשבצות הלבנות (לפי צביעת שחמט) של לוח 100×100.
למי מהם יש יותר אפשרויות שונות לבצע את משימתו?
פתרון


אביב

1. (3 נקודות) נתונה סדרה של שלמים חיוביים שסכומם 20. ידוע שכל המספרים בסדרה שונים מ-3, וגם סכומה של כל קבוצת מספרים רצופה בסדרה שונה מ-3.
האם יתכן שבסדרה יש יותר מעשרה מספרים?
פתרון

2. (4 נקודות) במעגל יש 2n+1 מטבעות. בהתחלה, בכל המטבעות מופיע 'עץ' למעלה. מבצעים 2n+1 היפוכי מטבע: הופכים מטבע אחד, מדלגים על מטבע אחד, הופכים מטבע נוסף, מדלגים על שני מטבעות, הופכים מטבע, מדלגים על שלושה מטבעות, וכן הלאה עד שלבסוף מדלגים על 2n מטבעות והופכים את המטבע שאחריהם (כאשר תמיד הולכים בכיוון השעון). הוכיחו שבסופו של התהליך, בדיוק מטבע אחד נמצא עם 'פלי' למעלה.
פתרון

3. (4 נקודות) נתונים m,n שלמים חיוביים, שסכומם מחלק את מכפלתם. הראו כי m+n≤n2.
פתרון

4. (5 נקודות) בתוך מלבן ABCD חוסמים משולשים שווי שוקיים שזווית הראש שלהם α, קודקוד הראש שלהם נמצא על הצלע BC, ושני הקודקודים האחרים נמצאים על הצלעות AB,CD. הוכיחו שבכל המשולשים האלה, נקודות אמצע הבסיס מתלכדות.
פתרון

5. (5 נקודות) קוסם והעוזר שלו מבצעים את הקסם הבא: בשורה יש 12 קופסאות ריקות סגורות. הקוסם עוזב את החדר, ומתנדב מהקהל מחביא מטבע בשתיים מהקופסאות לבחירתו (העוזר רואה באילו קופסאות הוכנסו מטבעות). הקוסם חוזר לחדר, והעוזר יכול לפתוח קופסא אחת שלא מכילה מטבע. לאחר מכן, הקוסם בוחר ארבע קופסאות, שכולן נפתחות בו-זמנית. מטרת הקוסם היא ששתי הקופסאות שמכילות מטבע תיפתחנה. פתחו אסטרטגיה בה הקוסם והעוזר יכולים תמיד להצליח את הקסם.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) בתוך משושה משוכלל נבחרה נקודה כלשהי. המרחקים של הנקודה משלושה קודקודים סמוכים כלשהם הם 1,1,2 בסדר הזה. מהו אורך הצלע של המשושה?
פתרון

2. (4 נקודות) נתונים שלמים חיוביים a,b כך שעבור אינסוף שלמים חיוביים n, המספר an+1+ bn+1 מתחלק במספר an+ bn. האם בהכרח a=b?
פתרון

3. (4 נקודות) הוכיחו שכל משולש ניתן לחלק ל-2019 מרובעים, שכל אחד מהם חסום במעגל וגם חוסם מעגל.
פתרון

4. (5 נקודות) קוסם והעוזר שלו מבצעים את הקסם הבא: בשורה יש 13 קופסאות ריקות סגורות. הקוסם עוזב את החדר, ומתנדב מהקהל מחביא מטבע בשתיים מהקופסאות לבחירתו (העוזר רואה באילו קופסאות הוכנסו מטבעות). הקוסם חוזר לחדר, והעוזר יכול לפתוח קופסא אחת שלא מכילה מטבע. לאחר מכן, הקוסם בוחר ארבע קופסאות, שכולן נפתחות בו-זמנית. מטרת הקוסם היא ששתי הקופסאות שמכילות מטבע תיפתחנה. פתחו אסטרטגיה בה הקוסם והעוזר יכולים תמיד להצליח את הקסם.
פתרון

5. (5 נקודות) נתונה סדרה של שלמים חיוביים שסכומם 2019. ידוע שכל המספרים בסדרה שונים מ-40, וגם סכומה של כל קבוצת מספרים רצופה בסדרה שונה מ-40. מהי הכמות הגדולה ביותר של מספרים שיכולים להיות בסדרה?
פתרון