תחרות מס': 40


תשע"ט (2018-2019)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) במשולש ישר זווית ABC, קודקוד הזווית הישרה הוא B. מעגל עובר דרך B ודרך אמצע הצלע AC, וחותך את הניצבים בנקודות M ו-N. נתון כי AC=2MN. הראו כי הנקודות M ו-N הן אמצעי הניצבים של משולש ABC.
פתרון

2. (4 נקודות) מצאו את כל המספרים הטבעיים n, עבורם ניתן לחלק את המספרים 1,2,3,...,2n לזוגות, כך שאם נחבר את שני המספרים בכל זוג ונחשב את מכפלת n הסכומים שיתקבלו, נקבל ריבוע של מספר טבעי.
פתרון

3. לוח משבצות מלבני בגודל 7×14 חולק לאורך קווי המשבצות לריבועים 2×2 ולפינות המורכבות מ-3 משבצות (כמו בציור, מותר לסובב). האם יתכן כי כמות הריבועים:
א. (נקודה אחת) שווה לכמות הפינות?
ב. (3 נקודות) גדולה מכמות הפינות?

פתרון

4. (5 נקודות) לנטע יש 5 מטבעות זהים למראה, ששלושה מהם אמיתיים וזהים במשקל, ושניים מזויפים: אחד קל יותר ממטבע אמיתי, והשני כבד יותר ממטבע אמיתי באותה כמות. האם אפשר באמצעות שלוש שקילות במאזני כף להבין אילו שני מטבעות הם המזויפים, וגם איזה מהם קל יותר ואיזה כבד יותר?
פתרון

5. (5 נקודות) נקרא למספר תשע-ספרתי יפה, אם כל ספרותיו שונות. הראו שקיימים לפחות 1000 מספרים יפים שמתחלקים ב-37.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) האם בתוך מחומש משוכלל אפשר לצייר קטע, כך שיראו אותו באותה זווית מכל קודקוד?
הבהרה: הזווית שבה נקודה A רואה את הקטע XY היא הזווית XAY.
פתרון

2. (4 נקודות) מצאו את כל המספרים הטבעיים n, עבורם ניתן לחלק את המספרים 1,2,3,...,2n לזוגות, כך שאם נחבר את שני המספרים בכל זוג ונחשב את מכפלת n הסכומים שיתקבלו, נקבל ריבוע של מספר טבעי.
פתרון

3. (5 נקודות) במקבילית ABCD הזווית A חדה. נקודה N על הצלע AB מקיימת AB=CN. המעגל החוסם של המשולש CBN משיק לישר AD. הוכיחו כי נקודת ההשקה היא D.
פתרון

4. (5 נקודות) נקרא למספר תשע-ספרתי יפה, אם כל ספרותיו שונות. הראו שקיימים לפחות 2018 מספרים יפים שמתחלקים ב-37.
פתרון

5. (5 נקודות) עופר מציב 500 מלכים שלא מאיימים זה על זה על משבצות לוח 100×50. דב מציב 500 מלכים שלא מאיימים זה על זה על המשבצות הלבנות (לפי צביעת שחמט) של לוח 100×100.
למי מהם יש יותר אפשרויות שונות לבצע את משימתו?
פתרון