תחרות מס': 4


תשמ"ג (1982-1983)



אביב


כיתות ט'-י'


1. (8 נקודות) שוקי הלך במשך 3.5 שעות. בכל פרק זמן של שעה הוא עבר 5 ק"מ. האם מכך נובע שמהירותו הממוצעת של שוקי במשך הזמן שהוא הלך היא 5 ק"מ לשעה?
נ.קונסטנטינוב
פתרון

2. (13 נקודות) מצולע משוכלל בעל 4k צלעות מחולק למקביליות. הוכח שבין המקביליות האלה יש לפחות k מלבנים. מצא את סכום שטחי כל המלבנים.
ו. ו. פרואיזוולוב
פתרון

3. בארץ הפלאות יש N ערים. כל שתי ערים מחוברות בכביש אחד כך, שהכבישים נפגשים רק בערים ואין צמתים (הכבישים בנויים כך שב"צמתים" הם עוברים זה מעל זה, כמו כביש דו קומתי ולא נפגשים כך שנוצר צומת). הקוסם הרשע הפך את כל הכבישים כך שכולם יהיו חד-סטריים, בצורה כזו, שאם יוצאים מעיר אחת אי אפשר לחזור אליה.
א.(3 נקודות) הוכח/י שהקוסם הרשע יכול לעשות זאת.
ב.(נקודה 1) הוכח שקיימת עיר שניתן להגיע ממנה לכל עיר אחרת ושקיימת עיר שאי אפשר לצאת ממנה כלל.
ג.(5 נקודות) הוכח שקיימת דרך שעוברת בכל הערים ויש רק אחת כזו.
ל.מ.קוגנוב
פתרון

4. נתונים שני מספרים טבעיים, k ו- m השונים זה מזה רק בסדר ספרותיהם. (כלומר, יש להם אותם ספרות רק בסדר שונה)
א.(4 נקודות) הוכיחו שסכום הספרות של 2k שווה לסכום הספרות של 2m.
ב.(4 נקודות) הוכיחו שסכום הספרות של 2/ m שווה לסכום הספרות של 2/k (אם m ו-k הם זוגיים)
ג.(2 נקודות) הוכיחו שסכום הספרות של 5k שווה לסכום הספרות של 5m.
א.ד.ליסיצקי
פתרון

5. (6 נקודות) נתון שולחן ביליארד בעל צורה של משולש ישר זווית(עם "כיסים" בפינותיו). אחת מזוויותיו החדות בת 30 מעלות. מהפינה הזו (בת השלושים מעלות) נדחף כדור אל אמצע הצלע הנגדית של המשולש (תיכון). הוכח, שאם הכדור הוחזר יותר משמונה פעמים, (זווית פגיעה שווה לזווית החזרה) אז בסופו של דבר הכדור ייכנס לתוך ה"כיס" שנמצא בפינה בת ה-60 מעלות של המשולש.
פתרון

כיתות יא'-יב'


1. (12 נקודות) על מעגל ממוקמים מספרים מ-1 עד 1000. יש להוכיח שניתן לחבר אותם בעזרת 500 קטעים לא נחתכים כך, שההפרש בין קצוות כל קטע (לפי ערך מוחלט) לא יעלה על 749.
א.א.ראזבורוב
פתרון

2. (8 נקודות) על צלעות משולש AB,BC,CA לוקחים נקודות P,Q,R בהתאמה כך ש AQ, BR, CP נחתכים בנקודה אחת וסכום הוקטורים AQ+BR+CP שווה ל 0. הוכח כי P,Q,R הן אמצעי הצלעות.
פתרון

3. בארץ הפלאות יש N ערים. כל שתי ערים מחוברות בכביש אחד כך, שהכבישים נפגשים רק בערים ואין צמתים (הכבישים בנויים כך שב"צמתים" הם עוברים זה מעל זה, כמו כביש דו קומתי ולא נפגשים כך שנוצר צומת). הקוסם הרשע הפך את כל הכבישים כך שכולם יהיו חד-סטריים, בצורה כזו, שאם יוצאים מעיר אחת אי אפשר לחזור אליה.
א.(2 נקודות) הוכח/י שהקוסם הרשע יכול לעשות זאת.
ב.(נקודה 1) הוכח שקיימת עיר שניתן להגיע ממנה לכל עיר אחרת ושקיימת עיר שאי אפשר לצאת ממנה כלל.
ג.(4 נקודות) הוכח שקיימת דרך שעוברת בכל הערים ויש רק אחת כזו.
ל.קוגנוב
פתרון

4. (7 נקודות) מספר ילדים עומדים במעגל. לכולם יש מספר מסויים של סוכריות ובהתחלה לכולם יש מספר זוגי של סוכריות. בהינתן הפקודה כל אחד מעביר מחצית מן הסוכריות שיש לו לילד שעומד מימינו. אם אחרי זה למישהו מהם יש מספר אי-זוגי של סוכריות אז מוסיפים לו עוד סוכריות מן הסל שבצד (בסל אינסוף סוכריות). פעולה זו חוזרת על עצמה הרבה פעמים. הוכיחו שאחרי מספר כלשהו של פעמים לכולם תהיה אותה כמות סוכריות.
א.אנג'אנס
פתרון

5. (6 נקודות) בתוך מצולע משוכלל בעל צלעות נבחרה נקודה שהיטליה על כל צלע נימצאת בין קצוות הצלע. נקודות אלה מחלקות את הצלעות לחלקים, נמספר אותם לפי הסדר . הוכח שסכום אורכי החלקים הממוספרים במספרים זוגיים שווה לזה של האי-זוגיים.
א.אנג'אנס
פתרון