תחרות מס': 3


תשמ"ב (1981-1982)


כיתות ט'-י'


1. (5 נקודות) מצא את כל המספרים המתחלקים ב30 ובעלי בדיוק 30 מחלקים שונים.
מ. לוין
פתרון

2. (5 נקודות) במרובע אורכי כל האלכסונים וכל הצלעות קטנים מ 1. הוכח כי ניתן לכסות את המרובע ע"י עיגול ברדיוס 0.9.
פתרון

3. (6 נקודות) הוכח כי בסדרה אינסופית של מספרים טבעיים גדולים ממש מ 1 קיימים 100 איברים שגדולים מהמקום בהם הם נמצאים בסדרה.
א. אנג'אנס
פתרון

4. (8 נקודות) בארץ מסוימת יש יותר מ 101 ערים. הבירה מקושרת בקווי טיסה עם 100 ערים וכל עיר פרט מהבירה מקושר בקווי טיסה בדיוק עם 10 ערים. נתון שמכל עיר ניתן להגיע לכל עיר אחרת (אולי לא בקו ישיר). הוכח כי ניתן לסגור חצי קווי טיסה שמובילים לבירה כך שהאפשרות להגיע מכל עיר לכל עיר תשמר.
פתרון

5. נתונה הסדרה 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, .... האם קיימת סדרה חשבונית שמורכבת מאיברי הסדרה הנ"ל
א. (3 נקודות) באורך 5
ב. (5 נקודות) בכל אורך
ג. הלפרין
פתרון


כיתות יא'-יב'


1.
א. (4 נקודות) הוכח כי לכל מספרים ממשיים חיוביים (k>3) מתקיים:
x1/(xk+x2) + x2/(x1+x3) + ... + xk/(xk-1+x1) > 2
ב. (3 נקודות) הוכח כי לכל k אי אפשר לעשות את אי השוויון חזק יותר (כלומר להחליף את 2 במספר גדול יותר).
א. פרוקופייב
פתרון

2. (14 נקודות) הריבוע מחולק ל K×K ריבועים שווים. מהו המספר המינימלי של קטעים שמהם מורכב קו שבור שעובר דרך מרכזים של כל הריבועים הקטנים (הקו יכול לחתוך את עצמו)
א. אנג'אנס
פתרון

3. (3 נקודות) הוכח כי בסדרה אינסופית של מספרים טבעיים, שונים בזוגות, וגדולים ממש מ 1 קיימים אינסוף איברים שגדולים מהמקום בו הם נמצאים בסדרה.
א. אנג'אנס
פתרון

4. (8 נקודות) בין הערכים של הפולינום P במספרים טבעיים יש את כל החזקות הטבעיות של 2 (החל מ 21). הוכח כי אם המקדם הראשי של הפולינום הוא 1 אז הפולינום הוא ממעלה 1. (המקדם הראשי של פולינום מדרגה n זה מקדם של xn.)
פתרון

5. נתונה הסדרה 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, .... האם קיימת סדרה חשבונית שמורכבת מאיברי הסדרה הנ"ל
א. (2 נקודות) באורך 5
ב. (3 נקודות) בכל אורך
ג. הלפרין
פתרון