תחרות מס': 39


תשע"ח (2017-2018)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) נתונים 5 מספרים שכולם שונים מ-0. לכל זוג מספרים מחשבים את סכומם ואת מכפלתם. מסתבר כי חמישה מהסכומים חיוביים, וחמישה – שליליים. כמה מהמכפלות חיוביות וכמה מהן שליליות?
פתרון

2. (4 נקודות) האם קיימים 99 מספרים שלמים חיוביים עוקבים בעלי התכונה הבאה: המספר הקטן ביותר מתחלק ב-100, המספר הבא לפי גודל מתחלק ב-99, המספר השלישי מתחלק ב-98, ..., המספר האחרון (הגדול ביותר) מתחלק ב-2?
פתרון

3. (4 נקודות) מאה מטבעות זהים למראה מונחים בשורה. מתוכם בדיוק 26 מזויפים, וידוע כי המטבעות המזויפים מונחים ברצף. כל המטבעות האמתיים שווי משקל. כל מטבע מזויף שוקל פחות ממטבע אמתי, אבל המשקל של המטבעות המזויפים לא בהכרח זהה. כיצד אפשר למצוא לפחות מטבע מזויף אחד באמצעות שקילה אחת במאזני כף ללא משקולות?
פתרון

4. (5 נקודות) ישנו שדה בצורת ריבוע 8×8. השדה מחולק למשבצות 1×1, ובאחת מהן טמון מטמון. ברשותך גלאי מתכות שמצפצף כאשר המטמון נמצא באותה המשבצת כמוך או במשבצת סמוכה אליך לפי צלע. בהתחלה הנך נמצא במרכזה של משבצת פינתית של השדה. בכל צעד ניתן לעבור למרכז של אחת המשבצות הסמוכות למשבצת הנוכחית לפי צלע.
האם אפשרי לעבור מרחק 26 יחידות אורך לכל היותר ולהצביע על המשבצת בה טמון המטמון?
פתרון

5. (5 נקודות) נתון לוח שחמט עם משבצות בגודל . על הלוח מצויר מעגל ברדיוס 1, שמכיל משבצת לבנה אחת במלואה. הוכיחו כי חלקי היקף המעגל שעוברים על משבצות לבנות של הלוח מהווים לא יותר משליש האורך של היקף המעגל.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) האם קיימים מספרים לא שלמים х ו-y כך ש-{x}·{y}={x+y}?
הערה: כאן {х} מסמן את החלק השברי של מספר x.
פתרון

2. (4 נקודות) במשולש מעבירים חוצה זווית . האנך האמצעי לצלע חותך את הקטע בנקודה . הוכיחו כי המעגלים החוסמים את המשולשים ו- משיקים זה לזה.
פתרון

3. (4 נקודות) נתונים 21 מספרים שכולם שונים מ-0. לכל זוג מספרים מחשבים את סכומם ואת מכפלתם. מסתבר כי חצי מהסכומים חיוביים וחצי – שליליים. מה הוא המספר המקסימלי האפשרי של מכפלות חיוביות?
פתרון

4. א. (2 נקודות) האם יתכן שחיתוך של כדור עם ארבעון משוכלל מורכב ממעגלים ברדיוסים 1, 2, 3 ו-4?
ב. (3 נקודות) האם הדבר יתכן כאשר רדיוס הכדור הוא 5?
פתרון

5. (5 נקודות) על לוח 100×100 נמצא כלי משחק. בכל צעד, הכלי צועד למשבצת סמוכה בצלע, באופן אנכי או אופקי לסירוגין, כאשר הצעד הראשון אופקי. הכלי מתחיל במשבצת השמאלית-תחתונה, ובמסעו מגיע למשבצת השמאלית-עליונה, ואז למשבצת הימנית-עליונה. הוכיחו שקיימות בלוח משבצות סמוכות A ו-B, כך שבמהלך המסע, הכלי ביצע צעד מ-A ל-B לפחות פעמיים.
פתרון


אביב

1. שישה צריחים מוקמו על לוח משבצות 6×6 כך שאף שניים לא מאיימים זה על זה. צובעים כל משבצת פנויה באחד משני צבעים לפי הכלל הבא: אם שני הצריחים שמאיימים על המשבצת נמצאים במרחקים שווים ממנה צובעים אותה באדום, ואחרת צובעים בכחול. האם ייתכן שכל המשבצות הפנויות א. (נקודה אחת) אדומות? ב. (2 נקודות) כחולות?
פתרון

2. (4 נקודות) במשולש ישר-זווית ABC סימנו נקודות K על היתר AB ו-L על הניצב AC כך ש- AK=AC, BK=LC. הקטעים BL ו-CK נחתכים בנקודה M. הוכיחו כי המשולש CLM שווה-שוקיים.
פתרון

2 ? ? 1
? 5 4 ?
? 7 6 ?
? ? ? 1
3. במשבצות הריבוע 4×4 הציבו מספרים שלמים כך שסכומי המספרים בכל שורה ובכל עמודה שווים. שבעה מבין המספרים ידועים והשאר לא ידועים (ראו ציור). האם אפשר על סמך הנתונים הללו לשחזר
א. (2 נק') לפחות מספר לא ידוע אחד?
ב. (2 נק') לפחות שני מספרים לא ידועים?
פתרון

4. (4 נקודות) נתונים שלושה מספרים שלמים חיוביים. כל אחד מבין המספרים מתחלק במחלק המשותף הגדול ביותר של השניים האחרים ומחלק את הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של השניים האחרים.
האם בהכרח שלושת המספרים שווים?
פתרון

5. (5 נקודות) במישור סימנו 30 נקודות, כך שאף 3 לא על ישר אחד. העבירו 7 ישרים אדומים שלא עוברים בנקודות המסומנות.
האם ייתכן שכל קטע המחבר בין שתי נקודות מסומנות חותך לפחות ישר אדום אחד?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) במשולש ABC מעבירים חוצה-זווית וגובה מהקודקוד A שמחלקים את הצלע BC ל-3 קטעים. האם ייתכן שמהקטעים הללו אפשר להרכיב משולש?
פתרון

2. (4 נקודות) נתונים ארבעה מספרים שלמים חיוביים. כל אחד מבין המספרים מתחלק במחלק המשותף הגדול ביותר של השלושה האחרים ומחלק את הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של השלושה האחרים. הוכיחו כי מכפלת ארבעת המספרים היא ריבוע שלם.
פתרון

3. (4 נקודות) שני מעגלים עם מרכזים ב-O1 ו-O2 משיקים מבחוץ בנקודה T. מעבירים משיק משותף חיצוני שמשיק למעגל הראשון בנקודה A ולמעגל השני בנקודה B. המשיק המשותף לשני המעגלים דרך T חותך את הישר AB בנקודה M. יהי AC קוטר במעגל הראשון. הוכיחו שהקטעים CM ו-AO2 מאונכים.
פתרון

4. (5 נקודות) בפינה של לוח שחמט 8×8 מונח כלי משחק. אסתר ואחשוורוש מזיזים את הכלי בתורות; אסתר ראשונה. אסתר מזיזה את הכלי צעד אחד של מלכה (רק המשבצת הסופית נחשבת למשבצת שהכלי ביקר בה) ואילו אחשוורוש מזיז את הכלי שני צעדים של מלך (ושתי המשבצות נחשבות למשבצות שהכלי ביקר בהן). אסור לשים את הכלי על משבצת שבה הוא כבר ביקר (כולל המשבצת ההתחלתית).
מי שלא יכול לעשות מהלך חוקי מפסיד. למי מהשחקנים יש אסטרטגיה מנצחת?
פתרון

5. (5 נקודות) בכל קודקוד של פאון קמור נפגשות 3 פאות. כל פאה נצבעה באדום, צהוב או כחול.
הוכיחו שמספר הקודקודים שבהם נפגשות 3 פאות בצבעים שונים – זוגי.
פתרון