תחרות מס': 38


תשע"ז (2016-2017)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (5 נקודות) עשרה ילדים התיישבו לאכול. כל ילד קיבל צלחת בה יש בדיוק 100 אטריות. הילדים לא היו רעבים, והתחילו לשחק באטריות. בכל מהלך, אחד הילדים מעביר מהצלחת שלו אטרייה אחת לכל אחד מהילדים האחרים.
מהו המספר המינימלי של מהלכים שלאחריהם הילדים יכולים להגיע למצב בו לכל ילד כמות שונה של אטריות?
פתרון

2. (5 נקודות) ישנו לוח 8×8 ובו בכל משבצת כתוב מספר טבעי. נתון שבכל חיתוך אפשרי של הלוח לאבני דומינו, סכומי זוגות המספרים בכל אבני הדומינו שיתקבלו יהיו שונים זה מזה.
האם יתכן שהמספר הגדול ביותר שכתוב על הלוח הוא 32? (אבן דומינו היא צורה המורכבת משתי משבצות הסמוכות לפי צלע.)
פתרון

3. (6 נקודות) חותכים משולש שרירותי למשולשים חופפים באמצעות ישרים אשר מקבילים לצדדים של המשולש המקורי (ראו ציור).
הוכיחו כי נקודות מפגשי הגבהים של ששת המשולשים המושחרים נמצאות על מעגל אחד.

פתרון

4. (8 נקודות) לבונבוניירה יש צורה של ריבוע שמחולק ל-49 תאים ריבועיים זהים. בכל תא נמצא שוקולד – או שחור, או לבן. יוסי יכול לאכול שני שוקולדים אם שניהם באותו הצבע ונמצאים בתאים הסמוכים לפי צלע או לפי קדקוד. מהו מספר השוקולדים המרבי שיוסי יכול לאכול בוודאות, ללא תלות בצבעי השוקולדים?
פתרון

5. (8 נקודות) על שישה כרטיסים כתובים שישה מספרים חיוביים שונים. שלושה מהכרטיסים כחולים, ושלושה אדומים. ידוע כי קיימים שלושה מספרים קסומים, כך שהמספרים הכתובים בכרטיסים בצבע אחד הינם סכומים של זוגות מהמספרים הקסומים, והמספרים הכתובים בכרטיסים בצבע השני הינם מכפלות של זוגות מהמספרים הקסומים – אך לא ידוע באיזה צבע הסכומים ובאיזה צבע המכפלות.
האם תמיד ניתן לשחזר את המספרים הקסומים מהכרטיסים?
פתרון

6. (9 נקודות) נתון n≥5 ומצולע משוכלל A1A2...A2n שמרכזו O. האלכסונים A2An-1 ו-A3An נחתכים בנקודה F, והאלכסונים A1A3 ו- A2A2n-2 נחתכים בנקודה P. הוכיחו כי PF=PO.
פתרון

7. א. (5 נקודות) קבוצת אנשים השתתפה בסקר המורכב מ-20 שאלות אמריקאיות, עם שתי תשובות לכל שאלה. התברר כי לכל 10 שאלות שנבחר, ולכל צירוף תשובות אפשריות לשאלות אלו, קיים אדם שענה בדיוק את התשובות הללו ל-10 השאלות.
האם בהכרח קיימים שני אנשים שענו תשובות שונות אחד מהשני לכל אחת מ-20 השאלות?
ב. (6 נקודות) אותה השאלה, אבל עכשיו לכל שאלה יש 12 תשובות אפשריות.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (5 נקודות) מאה ילדים התיישבו לאכול. כל ילד קיבל צלחת בה יש בדיוק 100 אטריות. הילדים לא היו רעבים, והתחילו לשחק באטריות. בכל מהלך אחד הילדים בוחר מספר ילדים אחרים ומעביר לכל אחד מהם אטרייה אחת מתוך הצלחת שלו.
מהו המספר המינימלי של מהלכים שלאחריהם הילדים יכולים להגיע למצב בו לכל ילד כמות שונה של אטריות?
פתרון

2. (5 נקודות) ישנו לוח 8×8 ובו בכל משבצת כתוב מספר טבעי. נתון שבכל חיתוך אפשרי של הלוח לאבני דומינו, סכומי זוגות המספרים בכל אבני הדומינו שיתקבלו יהיו שונים זה מזה.
האם יתכן שהמספר הגדול ביותר שכתוב על הלוח הוא 32?
(אבן דומינו היא צורה המורכבת משתי משבצות הסמוכות לפי צלע.)
פתרון


3. (7 נקודות) המרובע ABCD חסום במעגל שמרכזו O, ונתון כי O אינו נמצא על אף אלכסון של המרובע. המעגל החוסם את המשולש AOC עובר דרך אמצע האלכסון BD.
הוכיחו כי המעגל החוסם את המשולש BOD עובר דרך אמצע האלכסון AC.
פתרון

4. (8 נקודות) על 4032 כרטיסים כתובים 4032 מספרים חיוביים שונים. 2016 מהכרטיסים כחולים, ו-2016 אדומים. ידוע כי קיימים 64 מספרים קסומים, כך שהמספרים הכתובים בכרטיסים בצבע אחד הינם סכומים של זוגות מהמספרים הקסומים, והמספרים הכתובים בכרטיסים בצבע השני הינם מכפלות של זוגות מהמספרים הקסומים.
האם תמיד ניתן לקבוע באיזה צבע נכתבו הסכומים ובאיזה המכפלות?
פתרון

5. (9 נקודות) נתון ריבוע שאורך הצלע שלו 1.
האם ניתן לחתוך את הריבוע לשני חלקים ואז לכסות איתם עיגול כלשהו שקוטרו גדול מ-1?
פתרון

6. (9 נקודות) אבי ובני משחקים במשחק הבא. ראשית, אבי ממציא פולינום P(x) בעל מקדמים שלמים. לאחר מכן בני מבצע מספר מהלכים: בכל מהלך בני בוחר מספר שלם a שלא נבחר קודם, ואבי אומר בקול כמה פתרונות במספרים שלמים יש למשוואה P(x)=a . על כל מהלך בני משלם לאבי שקל אחד. בני מנצח כאשר אבי חוזר על מספר שאמר לפני כן, לא בהכרח ברצף.
מה המספר המינימלי של שקלים שבני צריך כדי לנצח בוודאות?
פתרון

7. (12 נקודות) מספר סופי של צפרדעים יושבות בנקודות שלמות שונות על הישר הממשי. בכל מהלך צפרדע אחת בדיוק קופצת 1 ימינה, ואסור לצפרדע לקפוץ לנקודה בה יושבת צפרדע אחרת. סופרים את כמות הדרכים השונות בהן הצפרדעים יכולות לבצע את n המהלכים הראשונים (עבור סידור התחלתי מסוים).
הוכיחו כי אם בכל מהלך לצפרדעים היה מותר לקפוץ 1 שמאלה ואסור לקפוץ ימינה, מספר הדרכים לבצע את n המהלכים הראשונים מאותו סידור התחלתי לא היה משתנה.
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (5 נקודות) בתחרות שחמט השתתפו 10 אנשים. בכל סיבוב הם חולקו לזוגות וכל זוג שיחק משחק אחד. במהלך התחרות כל שחקן שיחק עם כל שחקן אחר בדיוק פעם אחת. לפחות בחצי מהמשחקים שני השחקנים היו מאותה העיר.
הוכיחו כי בכל סיבוב היה לפחות משחק אחד בין שני אנשים מאותה העיר.
פתרון

2. האם אפשרי לצייר מצולע על דף משבצות ולחלק אותו לשני חלקים חופפים
א. (נקודה אחת) באמצעות הקו מהציור העליון?
ב. (2 נקודות) באמצעות הקו מהציור האמצעי?
ג. (4 נקודות) באמצעות הקו מהציור התחתון?

שימו לב: בכל הסעיפים החתך עובר בתוך המצולע, ורק קצותיו נמצאים על הגבול. צלעות המצולעים וקו החיתוך חייבים כולם להיות לאורך קווי המשבצות. כל הקטעים הקצרים בציורים קצרים פי 2 מכל הקטעים הארוכים.
פתרון

3. בהינתן רשימה סופית של מספרים חיוביים, ניתן ליצור סדרה באופן הבא: a1 זה הסכום של המספרים הנתונים, a2 זה סכום ריבועי המספרים, a3 זה סכום החזקות השלישיות וכך הלאה.
א. (4 נקודות) האם יתכן שעד a5 הסדרה יורדת ( a1>a2>a3>a4>a5) והחל מ-a5 הסדרה עולה a5<a6<a7<a8<... ?
ב. (4 נקודות) האם יתכן שעד a5 הסדרה עולה ( a1<a2<a3<a4<a5) והחל מ- הסדרה יורדת a5>a6>a7>a8>... ?
פתרון

4. (8 נקודות) כל הצלעות של משושה קמור ABCDEF שוות. בנוסף נתון כי AD=BE=CF. הוכיחו כי ניתן לחסום במשושה זה מעגל.
פתרון

5. (8 נקודות) נתונות משקולות שכל אחת מהן שוקלת מספר לא שלם של גרמים. ניתן לאזן כל משקל שלם בגרמים מ-1 עד 40 על ידי המשקולות הנתונות (כאשר מניחים את המשקל הנמדד על כף אחת של המאזניים, ואת המשקולות על הכף השנייה).
מהי הכמות הקטנה ביותר האפשרית של המשקולות הנתונות?
פתרון

6. (10 נקודות) חרגול יכול לקפוץ לאורך פס משבצות קפיצות של 8, 9 או 10 משבצות, כל פעם באיזה כיוון שהוא רוצה. מספר טבעי n נקרא קָפיץ אם החרגול יכול להתחיל מאיזושהי משבצת של פס באורך n ולקפוץ על כל משבצת בדיוק פעם אחת. מצאו מספר גדול מ-50 שאינו קָפיץ.
פתרון

7. מניחים אבני דומינו 1×2 על פני לוח 8×8 ללא חפיפות. האבנים יכולות לחרוג מגבולות הלוח, אבל המרכז של כל אבן חייב להיות בתוך הלוח (ממש בפנים ולא על הגבול). הניחו באופן כזה:
א. (6 נקודות) לפחות 40 אבני דומינו.
ב. (3 נקודות) לפחות 41 אבני דומינו.
ג. (3 נקודות) מעל 41 אבני דומינו.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) נתון משולש ו-10 ישרים. נתון שכל אחד מהישרים הנתונים נמצא במרחק שווה משני קודקודים של המשולש. הוכיחו כי שניים מהישרים הנתונים מקבילים, או ש-3 מהם נחתכים בנקודה אחת.
פתרון

2. בהינתן רשימה של מספרים חיוביים, ניתן ליצור סדרה באופן הבא: זה הסכום של המספרים הנתונים, זה סכום ריבועי המספרים, זה סכום החזקות השלישיות וכך הלאה.
א. (3 נקודות) האם יתכן שעד a5 הסדרה יורדת ( a1>a2>a3>a4>a5) והחל מ-a5 הסדרה עולה a5<a6<a7<a8<... ?
ב. (3 נקודות) האם יתכן שעד a5 הסדרה עולה ( a1<a2<a3<a4<a5) והחל מ- הסדרה יורדת a5>a6>a7>a8>... ?

פתרון

3. (7 נקודות) בועז טוען שהוא חתך פאון קמור שפאותיו משולשים ומשושים לשני חלקים והדביק מהם קובייה. האם יתכן שבועז אומר את האמת?
פתרון

4. (8 נקודות) צביקה צבע כל משבצת של ריבוע 1000×1000 באחד מ-10 צבעים. לאחר מכן הוא המציא מצולע Ф המורכב מ-10 משבצות, כך שלכל צורה המורכבת מ-10 משבצות של הריבוע וחופפת ל-Ф, כל אחד מ-10 הצבעים יופיע בצורה פעם אחת בדיוק. האם Ф הוא בהכרח מלבן?
פתרון

5. (9 נקודות) במשולש ABC עבורו מתקיים ∠A=45o העבירו תיכון AM. הישר b סימטרי ל-AM ביחס לגובה BB1 , והישר c סימטרי ל-AM ביחס לגובה CC1. הישרים b ו-c נפגשים בנקודה X. הוכיחו כי AX=BC.
פתרון

6. (10 נקודות) עבור אילו ערכים טבעיים של n, לכל מספר שלם k שמקיים k≥n קיימת כפולה של n שסכום ספרותיה k?
פתרון

7. (12 נקודות) בשיקגו חיים 36 גנגסטרים, חלק מהם אויבים אחד של השני. כל גנגסטר הוא חבר במספר כנופיות, כאשר לכל שתי כנופיות שונות יש הרכב שונה. נתון ששני חברים באותה כנופיה הם לא אויבים, אבל אם גנגסטר כלשהו אינו חבר בכנופיה מסוימת, אז הוא אויב של לפחות אחד מחברי הכנופיה.
מצאו את המספר הגדול ביותר האפשרי של כנופיות בשיקגו.
פתרון