תחרות מס': 38


תשע"ז (2016-2017)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) נתונים חמישה מספרים טבעיים. לכל זוג מהמספרים הנתונים מחשבים את סכומם. נתבונן בעשרת הסכומים שמתקבלים, ובספרת היחידות של כל סכום. האם יתכן שכל ספרות היחידות שונות זו מזו?
פתרון

2. (4 נקודות) על ישר מסומנות 4 נקודות שונות, ונקודה נוספת מסומנת מחוץ לישר זה. כתוצאה התקבלו 6 משולשים שקדקודיהם בנקודות המסומנות. מהו המספר המרבי של משולשים מבין המשולשים הללו שיכולים להיות שווי שוקיים?
פתרון

3. על מעגל נתונות 100 נקודות. נקודות אלו ממוספרות מ-1 עד 100 בסדר מסוים.
א. (2 נקודות) הוכיחו כי לכל מספור ניתן לחלק את הנקודות לזוגות כך שסכום המספרים בכל זוג יהיה אי-זוגי, והקטעים המחברים את הנקודות בכל זוג לא יחתכו זה עם זה.
ב (2 נקודות) האם לכל מספור ניתן לחלק את הנקודות לזוגות כך שסכום המספרים בכל זוג יהיה זוגי, והקטעים המחברים את הנקודות בכל זוג לא יחתכו זה עם זה?
פתרון

4. (5 נקודות) נתונה מקבילית ABCD ונקודה K כך ש-AK=BD. תהי M - אמצע הקטע CK. הוכיחו כי ∠BMD=90o .
פתרון

5. (5 נקודות) מאה דובים מצאו אוכמניות ביער. הדובי הצעיר ביותר מצא רק אוכמנייה אחת, הדובי הקצת יותר מבוגר – 2 אוכמניות, הדובי הבא – 4, וכן הלאה, עד הדוב המבוגר ביותר שמצא 299 אוכמניות. השועל הציע לדובים לחלק את האוכמניות בינם "בצורה הוגנת". הוא יכול לגשת לשני דובים, לחלק את כל האוכמניות שיש להם שווה בשווה בינם, ואם יש אוכמנייה אחת מיותרת, הוא אוכל אותה בעצמו. את הפעולה הזו הוא ממשיך לבצע עד שלכל הדובים יש מספר שווה של אוכמניות.
מהו המספר הקטן ביותר של אוכמניות שהשועל יכול להשאיר לדובים?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) נתונות שתי פרבולות בעלות קדקודים שונים. פרבולות אלו מהוות גרפים של פונקציות ריבועיות בעלות מקדמים מובילים p ו- q.
ידוע כי הקדקוד של כל אחת מהפרבולות נמצא על הפרבולה השנייה. מצאו את כל האפשרויות עבור ערך הביטוי p+q.
הערה: המקדם המוביל של הפונקציה הריבועית ax2+bx+c שווה ל-а.
פתרון

2. (5 נקודות) על ישר מסומנות 100 נקודות, ונקודה נוספת מסומנת מחוץ לישר זה.
נתבונן בכל המשולשים שקדקודיהם בנקודות המסומנות.
מהו המספר המרבי של משולשים מבין המשולשים הללו שיכולים להיות שווי שוקיים?
פתרון

3. (5 נקודות) מאה דובים מצאו אוכמניות ביער. הדובי הצעיר ביותר מצא רק אוכמנייה אחת, הדובי הקצת יותר מבוגר – 2 אוכמניות, הדובי הבא – 4, וכן הלאה, עד הדוב המבוגר ביותר שמצא 299 אוכמניות. השועל הציע לדובים לחלק את האוכמניות בינם "בצורה הוגנת". הוא יכול לגשת לשני דובים, לחלק את כל האוכמניות שיש להם שווה בשווה בינם, ואם יש אוכמנייה אחת מיותרת, הוא אוכל אותה בעצמו.
את הפעולה הזו הוא ממשיך לבצע עד שלכל הדובים יש מספר שווה של אוכמניות.
מהו המספר המרבי של אוכמניות שהשועל יכול לאכול?
פתרון

4. (5 נקודות) יוסי צייר על דף משבצות מצולע ששטחו 100 משבצות וכל צלעותיו נמצאות על קווי הרשת. יוסי הבחין שניתן לחתוך את המצולע לפי קווי הרשת גם ל-2 מצולעים חופפים, וגם ל-25 מצולעים חופפים.
האם בהכרח ניתן לחתוך את המצולע ל-50 מצולעים חופפים לפי קווי הרשת?
פתרון

5. (6 נקודות) נתון משולש ישר זווית. נתבונן במשולש הנוצר על ידי נקודות ההשקה של המעגל החסום במשולש המקורי עם צלעותיו.
הוכיחו כי נקודת חיתוך הגבהים של המשולש שהתקבל נמצאת על הגובה ליתר של המשולש המקורי.
פתרון


אביב

1. (3 נקודות) מצאו את השלם החיובי הקטן ביותר שמתחלק ב-2017 ושהספרות השמאליות ביותר בייצוגו העשרוני הן "2016".
פתרון

2. (4 נקודות) הוכיחו שהגרף של כל פולינום ריבועי שיש לו שורש יחיד ומקדם מוביל 1 מכיל נקודה (p,q) כך שגם לפולינום x2+px+q יש שורש יחיד.
פתרון

3. (5 נקודות) נתון משולש חד-זוויות ABC כך ש- ∠A=60o . כדור ביליארד מתחיל בקודקוד A, נע לאורך חוצה הזווית של זווית A, פוגע בצלע BC ומוחזר ממנה לפי הכלל "זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה". לאחר מכן הכדור ממשיך לנוע לאורך קו ישר מבלי לשנות את כיוונו. הוכיחו שמסלול הכדור מכיל את מרכז המעגל החוסם של המשולש ABC.
פתרון

4. (5 נקודות) מאה ילדים בגבהים שונים עומדים בשורה. בכל שלב בוחרים קבוצה רצופה של 50 ילדים ומסדרים אותם מחדש בסדר כלשהו. הראו כי לאחר 6 שלבים ניתן להגיע למצב שהילדים מסודרים משמאל לימין מהגבוה לנמוך (ללא תלות במצב ההתחלתי).
פתרון

5. א. (2 נקודות) נתון מצולע בעל 10 צלעות (שאינו בהכרח קמור). מציירים את כל המעגלים שקוטריהם הם צלעות המצולע. האם ייתכן שכל המעגלים האלה עוברים בנקודה משותפת שאינה קודקוד של המצולע?
ב. (3 נקודות) אותה השאלה עבור מצולע בעל 11 צלעות.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) נתון מצולע משוכלל בעל 12 צלעות A1A2...A11A12.
האם ניתן לבחור 7 מבין 12 הווקטורים A1A2,A2A3,...,A11A12,A12A1 שסכומם אפס?
פתרון

2. (4 נקודות) נתונים שני מעגלים בעלי מרכז משותף ונקודה A בתוך המעגל הקטן יותר. זווית בגודל  α < 180o עם קודקוד בנקודה A חותכת קשת מכל אחד מהמעגלים. הוכיחו שאם הקשת של המעגל הגדול היא בגודל זוויתי α אז גם הקשת של המעגל הקטן היא בגודל זוויתי α.
(הגודל הזוויתי של קשת במעגל הוא גודל הזווית המרכזית הנשענת עליה.)
פתרון

3. (5 נקודות) בכל משבצת של טבלה 1000×1000 כתוב מספר כך שסכום המספרים בכל מלבן עם שטח s שמורכב ממשבצות הטבלה זהה.
עבור אילו ערכים של s כל המספרים בטבלה בהכרח שווים?
פתרון

4. (5 נקודות) 10 ילדים בגבהים שונים עומדים במעגל. מדי פעם אחד מהם עובר למקום אחר (בין שני ילדים אחרים). הילדים רוצים להגיע כמה שיותר מהר למצב בו הם מסודרים לפי כיוון השעון מהנמוך לגבוה.
מהו המספר הקטן ביותר של מעברים שבהכרח יספיק להם, ללא תלות בסדר העמידה ההתחלתי?
פתרון

5. (6 נקודות) הגרפים של שני פולינומים ריבועיים נחתכים בשתי נקודות. בשתי הנקודות המשיקים לגרפים מאונכים זה לזה.
האם בהכרח צירי הסימטריה של שני הגרפים מתלכדים?
פתרון