תחרות מס': 37


תשע"ו (2015-2016)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) האם ניתן לכפול כל מספר טבעי באחד המספרים 1, 2, 3, 4 או 5 כך שהספרה השמאלית ביותר במכפלה היא 1?
פתרון

2. (4 נקודות) האם לכל מלבן המורכב ממספר משולשים ישרי-זווית חופפים שאינם שווי שוקיים (ללא חורים וללא חפיפות), בהכרח שניים מתוך המשולשים ממוקמים כך שהם יוצרים מלבן?
פתרון

3. (5 נקודות) שלושה שחקנים משחקים "אבן נייר ומספריים". בכל סיבוב, כל שחקן בוחר "אבן", "נייר" או "מספריים". "אבן" מנצחת "מספריים", "מספריים" מנצחים "נייר" ו"נייר" מנצח "אבן". אם בסיבוב מסוים שני שחקנים בחרו באותו סימן והשלישי בחר בסימן אחר, השחקנים (או השחקן) שבחרו את הסימן המנצח מקבלים נקודה. אחרת, אף שחקן לא מקבל נקודות. ידוע כי לאחר מספר מסוים של סיבובים כל סימן נבחר כמות שווה של פעמים. הוכח כי בשלב זה סכום הנקודות של השחקנים מתחלק ב-3.
פתרון

4. (5 נקודות) על הניצבים AC ו-BC של משולש ישר-זווית ABC נבחרו נקודות K ו L, בהתאמה, ועל היתר AB נבחרה נקודה M, כך ש-AK=BL=a, KM=LM=b , והזווית KML ישרה. הראו כי a=b.
פתרון

5. במדינה 100 ערים. כל שתי ערים מחוברות על ידי טיסות ישירות (בשני הכיוונים). כל טיסה עולה מספר חיובי (לא בהכרח שלם) של זוזים. לכל שתי ערים A ו-B מחיר הטיסה מ A ל B זהה למחיר הטיסה מ-B ל-A. מחיר הטיסה הממוצע הוא זוז אחד. תייר רוצה לצאת לטיול מעיר מולדתו (שהיא אחת מ-100 הערים). הוא בוחר m-1 ערים אחרות, ומסלול טיסה המתחיל ומסתיים בעיר מולדתו ועובר בכל אחת מהערים שבחר פעם אחת בדיוק. האם הוא תמיד יכול לבחור מסלול כזה, כך שסכום מחירי הטיסות יהיה לכל היותר m זוזים, אם:
א. m=99 (3 נקודות) ?
ב. m=100 (3 נקודות) ?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) יהי p מספר ראשוני. כמה n-ים שלמים חיוביים קיימים כך ש-pn מתחלק ב-p+n?
פתרון

2. (4 נקודות) נתונים משולש שווה-שוקיים ישר-זווית ABC ומשולש ישר-זווית ABD בעלי יתר משותף AB (הנקודות C ו-D נמצאות באותו הצד של הישר AB). נסמן ב-K את נקודת החיתוך של הצלע AB עם חוצה הזווית ∠ADB. הוכיחו כי מרכז המעגל החוסם של המשולש ACK נמצא על הישר AD.
פתרון

3. (4 נקודות) שלושה שחקנים משחקים "אבן נייר ומספריים". בכל סיבוב, כל שחקן בוחר "אבן", "נייר" או "מספריים". "אבן" מנצחת "מספריים", "מספריים" מנצחים "נייר" ו"נייר" מנצח "אבן". אם בסיבוב מסוים שני שחקנים בחרו באותו סימן והשלישי בחר בסימן אחר, השחקנים (או השחקן) שבחרו את הסימן המנצח מקבלים נקודה. אחרת, אף שחקן לא מקבל נקודות. ידוע כי לאחר מספר מסוים של סיבובים כל סימן נבחר כמות שווה של פעמים. הוכח כי בשלב זה סכום הנקודות של השחקנים מתחלק ב-3.
פתרון

4. במדינה 100 ערים. כל שתי ערים מחוברות על ידי טיסות ישירות (בשני הכיוונים). כל טיסה עולה מספר חיובי (לא בהכרח שלם) של זוזים. לכל שתי ערים A ו-B מחיר הטיסה מ A ל B זהה למחיר הטיסה מ-B ל-A. מחיר הטיסה הממוצע הוא זוז אחד. תייר רוצה לצאת לטיול מעיר מולדתו (שהיא אחת מ-100 הערים). הוא בוחר m-1 ערים אחרות, ומסלול טיסה המתחיל ומסתיים בעיר מולדתו ועובר בכל אחת מהערים שבחר פעם אחת בדיוק. האם הוא תמיד יכול לבחור מסלול כזה, כך שסכום מחירי הטיסות יהיה לכל היותר m זוזים, אם:
א. m=99 (2 נקודות) ?
ב. m=100 (2 נקודות) ?
פתרון

5. (5 נקודות) נתונה סדרה חשבונית אינסופית עולה. חילקו אותה לבלוקים רצופים, בלי חפיפות ובלי קפיצות, וסכמו את המספרים בכל בלוק, וכך נוצרה סדרה חדשה. האם יתכן כי הסדרה החדשה היא סדרה הנדסית?
פתרון


אביב

1. (3 נקודות) 20 ילדים עומדים במעגל. ביניהם גם בנים וגם בנות. ידוע שהשכנ/ה של כל בן בכיוון השעון לובש/ת חולצה כחולה, והשכנ/ה של כל בת נגד כיוון השעון לובש/ת חולצה אדומה.
האם ניתן לקבוע ביחידות כמה בנים עומדים במעגל?
פתרון

2. (4 נקודות) במשולש חד זוויות ABC הזווית C שווה 60o. תהי H נקודת מפגש הגבהים. מעגל שמרכזו H ורדיוסו HC פוגש שוב את הישרים CA ו-CB בנקודות M ו N בהתאמה. הראו כי AN ו-BM מקבילים או מתלכדים.
פתרון

3. (5 נקודות) האם קיימים 2016 מספרים שלמים, שגם סכומם וגם מכפלתם שווים ל 2016?
פתרון

4. (5 נקודות) בתוך ריבוע 10×10 כל המשבצות של הריבוע השמאלי-עליון בגודל 5×5 צבועות בשחור, ושאר המשבצות – בלבן. מהו המספר הגדול ביותר של מצולעים אליהם אפשר לחתוך את הריבוע לאורך קווי הרשת, כך שבכל מצולע מספר המשבצות השחורות יהיה קטן פי שלושה ממספר המשבצות הלבנות?
פתרון

5. (5 נקודות) על דף נייר מצויר משולש כחול, ובו תיכון, גובה וחוצה זווית אדומים (אולי לא כולם מקודקודים שונים), כך שכולם נמצאים בתוך המשולש. הקווים האדומים מחלקים את המשולש למספר חלקים.
האם ייתכן שאחד החלקים הוא משולש שווה צלעות, שכל צלעותיו אדומות?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) נקודה נמצאת בתוך מרובע קמור. מתחו קטעים ממנה לקדקודי המרובע, וכן לארבע נקודות כלשהן על צלעותיו (נקודה אחת על כל צלע). הקטעים הללו חילקו את המרובע לשמונה משולשים, שרדיוסי המעגלים החוסמים של כולם שווים.
הוכיחו כי המרובע המקורי חסום במעגל.
פתרון

2. (4 נקודות) האם קיימים 2016 מספרים שלמים, שגם סכומם וגם מכפלתם שווים ל-2016?
פתרון

3. (4 נקודות) בתוך ריבוע כל המשבצות של הריבוע השמאלי-עליון בגודל צבועות בשחור, ושאר המשבצות – בלבן. מהו המספר הגדול ביותר של מצולעים אליהם אפשר לחתוך את הריבוע לאורך קווי הרשת, כך שבכל מצולע מספר המשבצות השחורות יהיה קטן פי שלושה ממספר המשבצות הלבנות?
פתרון

4. (6 נקודות) חברה רושמת את הוצאותיה בשקלים לפי מאה סעיפי תקציב, ומקבלת רשימה של מאה מספרים – לכל מספר יש לכל היותר שתי ספרות אחרי הנקודה. כל רואה חשבון מקבל העתק של הרשימה ומוצא באופן מקורב את סכום ההוצאות כדלקמן: הוא בוחר שני מספרים מהרשימה, מחבר אותם, מוחק את הספרות שאחרי הנקודה (אם הן קיימות), ורושם את התוצאה במקום שני המספרים שהיו. על הרשימה החדשה הוא מבצע את אותה הפעולה, וכך הלאה, עד שנשאר מספר שלם יחיד. התברר כי בסוף כל רואי החשבון קיבלו תוצאות שונות.
מהו המספר המרבי של רואי חשבון שיכולים להיות מועסקים בחברה?
פתרון

5. בכל אחד משניים עשר מקצועות קובייה סימנו את האמצע. נתונה קליפה כדורית שעוברת דרך n מהנקודות המסומנות.
האם היא בהכרח עוברת דרך כל הנקודות, כאשר
א) (3 נקודות) n שווה 6.
ב) (3 נקודות) n שווה 7.
פתרון