תחרות מס': 35


תשע"ד (2013-2014)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (5 נקודות) נתונים מקלות בשלושה צבעים: 100 אדומים, 100 צהובים ו-100 ירוקים. ידוע כי מכל שלושה מקלות מצבעים שונים אפשר להרכיב משולש.
הוכח כי קיים צבע כך שמכל שלושה מקלות בצבע זה אפשר להרכיב משולש.
פתרון

2. (5 נקודות) המורה בחר 10 מספרים טבעיים עוקבים והציג אותם ליוסי ולדני. כל אחד מהילדים אמור לחלק את המספרים לזוגות, להכפיל את המספרים בכל זוג ולחבר את 5 המכפלות האלו. הוכח כי הילדים יכולים לבחור את הזוגות כך שהחלוקות לזוגות יהיו שונות, אך התוצאות הסופיות יהיו זהות.
פתרון

3. (6 נקודות) במשולש ABC הזווית C ישרה. על הניצב CB בונים חצי מעגל כלפי חוץ, כך שהניצב CB הוא הקוטר שלו. נסמן ב-N את אמצע הקשת של חצי-המעגל הזה. הוכח כי AN מחלק את חוצה הזווית של C לשני חלקים שווים.
פתרון

4. (7 נקודות) יוסי צייר במישור ריבוע, וחילק אותו ל-64 ריבועים זהים וצבע אותם בשחור ולבן בצביעת שחמט. אחרי זה הוא בחר נקודה שנמצאת בחלק הפנימי של אחד הריבועים הקטנים. דני רוצה לנחש מה הצבע של הריבוע שהנקודה נמצאת בתוכו. לשם כך הוא יכול לצייר קו שבור סגור שלא חותך את עצמו ויוסי יגלה לו, האם הנקודה נמצאת בשטח התחום על ידי הקו (לא כולל הקו) או לא. מהו המספר הקטן ביותר של שאלות, שבוודאות יספיקו לדני על מנת לנחש את הצבע?
פתרון

5. (9 נקודות) מצולע בעל 101 צלעות חסום במעגל. מכל אחד מקודקודי המצולע מורידים אנך אל הישר שמכיל את הצלע הנגדית. הוכח כי קיים אנך שחותך את אחת הצלעות של המצולע, ולא את המשך הצלע.
פתרון

6. (10 נקודות) את המספר  1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/(2n) רשמו כשבר מצומצם. הוכח כי אם 3n+1 הוא מספר ראשוני, אז המונה של השבר שהתקבל מתחלק ב-3n+1.
פתרון

7. (12 נקודות) יוסי ודני משחקים במשחק הבא. בהתחלה על השולחן מונחות 11 ערימות של 10 אבנים כל אחת. כל שחקן בתורו לוקח 1, 2 או 3 אבנים, אבל יוסי במהלך שלו לוקח את כל האבנים מאותה ערימה (כלשהי), ודני לוקח כל אבן מערימה שונה (במקרה שהוא לוקח יותר מאבן אחת). יוסי מתחיל. מפסיד מי שלא יכול לבצע מהלך. למי מהשחקנים יש אסטרטגיה מנצחת?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (5 נקודות) יוסי צייר במישור ריבוע, וחילק אותו ל-64 ריבועים זהים וצבע אותם בשחור ולבן בצביעת שחמט. אחרי זה הוא בחר נקודה שנמצאת בחלק הפנימי של אחד הריבועים הקטנים. דני רוצה לנחש מה הצבע של הריבוע שהנקודה נמצאת בתוכו. לשם כך הוא יכול לצייר קו שבור סגור שלא חותך את עצמו ויוסי יגלה לו, האם הנקודה נמצאת בשטח התחום על ידי הקו (לא כולל הקו) או לא. מהו המספר הקטן ביותר של שאלות, שבוודאות יספיקו לדני על מנת לנחש את הצבע?
פתרון

2. (6 נקודות) מצא את כל הערכים האפשריים ל-n עבורם מתקיימת הטענה הבאה: לכל שני פולינומים  P(x) ו- Q(x) מדרגה n קיימים מונומים  axk ו- bxl , כאשר  0≤k,l≤n כך שלגרפים של הפולינומים  P(x)+axk ו- Q(x)+bxl אין נקודות משותפות.
פתרון

3. (6 נקודות) נתון משולש משוכלל ABC עם מרכז O. מעבירים ישר דרך הקודקוד C. הישר חותך את המעגל החוסם של המשולש AOB בנקודות D ו-E. הוכח כי הנקודות A, O והאמצעים של הקטעים BD ו-BE נמצאים על מעגל אחד.
פתרון

4. (7 נקודות) האם כל מספר שלם אפשר להציג כסכום של כמות כלשהי של חזקות שלישיות של מספרים שלמים, שאין בינם שניים זהים?
פתרון

5. האם קיימות שתי פונקציות f ו-g בעלות ערכים שלמים בלבד, כך שלכל x שלם מתקיים:
א. (3 נקודות) g(f(x))>x , f(g(x))>x , g(g(x))=x , f(f(x))=x ?
ב. (5 נקודות) g(f(x))>x , f(g(x))>x , g(g(x))<x , f(f(x))<x ?
פתרון

6. (9 נקודות) יוסי ודני משחקים במשחק הבא. בהתחלה על השולחן מונחות 11 ערימות של 10 אבנים כל אחת. כל שחקן בתורו לוקח 1, 2 או 3 אבנים, אבל יוסי במהלך שלו לוקח את כל האבנים מאותה ערימה (כלשהי), ודני לוקח כל אבן מערימה שונה (במקרה שהוא לוקח יותר מאבן אחת). יוסי מתחיל. מפסיד מי שלא יכול לבצע מהלך.
למי מהשחקנים יש אסטרטגיה מנצחת?
פתרון

7. (14 נקודות) במישור מצויר קו שבור סגור שחותך את עצמו. הוא חותך את כל צלע של עצמו בדיוק פעם אחת, ודרך כל נקודת חיתוך עוברות בדיוק שתי צלעות. האם יכול להיות שכל נקודת חיתוך מחלקת כל אחת מבין שתי הצלעות שעוברות דרכה לשני חלקים שווים? (הקו השבור לא חותך את עצמו בקודקודים ואין צלעות עם קטעים משותפים).
פתרון


אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) סנטה קלאוס חילק לילדים 47 חפיסות שוקולד כך שכל בת קיבלה חפיסה אחת יותר מכל בן. לאחר מכן סנטה קלאוס חילק לילדים 74 סוכריות, והפעם כל בן קיבל סוכרייה אחת יותר מכל בת.
כמה ילדים היו סך הכל?
פתרון

2. (5 נקודות) נתון לוח משבצות 5×5 . יוסי מסמן מספר משבצות בתוך הלוח. דני רוצה לכסות את כל המשבצות המסומנות באמצעות פינות בנות 3 משבצות כל אחת, שמשבצותיהן מתלכדות עם משבצות הלוח. אסור לפינות לחרוג מהלוח או לעלות אחת על השנייה.
מהו המספר המינימלי של משבצות שיוסי צריך לסמן כך שדני לא יוכל לנצח?
פתרון

3. (6 נקודות) על שולחן ריבועי מונחת מפת שולחן ריבועית. אף פינה של השולחן לא מכוסה על ידי המפה, ומכל אחד מארבעת הצדדים של השולחן משתלשלת פינה של המפה בצורת משולש. ידוע שקיימות שתי פינות סמוכות שהן חופפות.
הוכח כי שתי הפינות האחרות חופפות גם הן.
(המפה לא עולה על עצמה בשום מקום, וגודלה לא חייב להיות שווה לגודל השולחן)
פתרון

4. (7 נקודות) המלך זימן שני חכמים. הוא נתן לחכם הראשון 100 כרטיסי נייר ריקים, וציווה עליו לכתוב על כל כרטיס מספר טבעי (המספרים לא חייבים להיות שונים), בלי להראות את הכרטיסים לחכם השני. לאחר מכן החכם הראשון יכול להגיד לחכם השני כמה מספרים שונים, שכל אחד מהם כתוב על אחד הכרטיסים, או שווה לסכום המספרים על חלק מהכרטיסים, אבל בלי להגיד איך הוא יצר כל מספר. החכם השני צריך לגלות את 100 המספרים אשר כתובים על הכרטיסים, ולהוכיח למלך שזאת האופציה היחידה. אם הוא לא יצליח, יערפו לשני החכמים את הראש. אם הוא יצליח לספק את ההוכחה, המלך יתלוש מהזקן של כל אחד מהחכמים מספר שערות ככמות המספרים שהחכם הראשון אמר לחכם השני. כיצד החכמים יכולים להישאר בחיים ולאבד מספר מינימלי של שערות, אם הם לא יכולים לתאם מראש?
פתרון

5. (7 נקודות) נתונות מספר נקודות לבנות ומספר נקודות שחורות. כל נקודה לבנה מחוברת בקטע לכל נקודה שחורה, ועל כל קטע כתוב מספר טבעי. ידוע שאם נלך לאורך מסלול סגור אשר מורכב מקטעים אלה, מכפלת המספרים על המעברים מנקודות לבנות לשחורות תהיה שווה למכפלת המספרים על המעברים מנקודות שחורות ללבנות.
האם בהכרח אפשר לרשום בכל נקודה מספר טבעי, כך שהמספר שכתוב על כל קטע יהיה שווה למכפלת המספרים בקצותיו?
פתרון

6. (9 נקודות) קובייה 3×3×3 מורכבת מקוביות 1×1×1.
מה המספר המקסימלי של קוביות שאפשר להסיר מהקובייה הגדולה כך שיישאר מבנה בעל התכונות הבאות:
- במבט צד (מכל פאה) המבנה יראה כמו ריבוע 3×3 (כלומר, אם נסתכל במאונך לפאה הנתונה, לא נראה רווחים, אלא 9 קוביות של המבנה)
- מכל קובייה במבנה ניתן להגיע לכל קובייה אחרת על ידי מעברים בין קוביות בעלות פאות משותפות.
פתרון

7. (9 נקודות) על מעגל נתונות 10 נקודות, שממוספרות בכיוון השעון: A1, A2, ... A10,. ידוע שאפשר לחלק את הנקודות לזוגות של נקודות שסימטריות ביחס למרכז המעגל. בהתחלה בכל אחת מהנקודות האלו יושב חרגול. כל דקה אחד מהחרגולים קופץ לאורך המעגל מעל ראש של שכן שלו כך שהמרחק ביניהם לא ישתנה. תוך כדי הקפיצה אסור לו לעבור מעל ראש של חרגולים אחרים או להגיע לנקודה בה כבר יושב חרגול אחר. כעבור זמן מה הסתבר ש-9 חרגולים כלשהם יושבים בנקודות A1, A2, ... A9, , והחרגול העשירי יושב על הקשת A9A10A1, .
האם ניתן לטעון שהוא יושב דיוק בנקודה A10?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) יובל טוען שהוא כתב בשורה מספר אחדים, בין כל שני אחדים סמוכים כתב "+" או "×", הוסיף כמה סוגריים וקיבל ביטוי שערכו שווה ל-2014. בנוסף, הוא טוען שאם נחליף בביטוי הזה בו-זמנית את כל סימני ה-"+" בסימני ה-"×", ואת כל סימני ה-"×" בסימני ה-"+", ערך הביטוי עדיין יהיה 2014.
האם ייתכן שיובל צודק?
פתרון

2. האם ניתן לחתוך כל מצולע קמור על ידי קו ישר לשני מצולעים קטנים יותר עם היקפים שווים ו-
א. (4 נקודות) צלעות מקסימליות שוות?
ב. (4 נקודות) צלעות מינימליות שוות?
פתרון

3. (6 נקודות) המלך זימן שני חכמים. הוא נתן לחכם הראשון 100 כרטיסי נייר ריקים, וציווה עליו לכתוב על כל כרטיס מספר חיובי (המספרים לא חייבים להיות שונים), בלי להראות את הכרטיסים לחכם השני. לאחר מכן החכם הראשון יכול להגיד לחכם השני כמה מספרים שונים, שכל אחד מהם כתוב על אחד הכרטיסים, או שווה לסכום המספרים על חלק מהכרטיסים, אבל בלי להגיד איך הוא יצר כל מספר. החכם השני צריך לגלות את 100 המספרים אשר כתובים על הכרטיסים, ולהוכיח למלך שזאת האופציה היחידה. אם הוא לא יצליח, יערפו לשני החכמים את הראש. אם הוא יצליח לספק את ההוכחה, המלך יתלוש מהזקן של כל אחד מהחכמים מספר שערות ככמות המספרים שהחכם הראשון אמר לחכם השני.
כיצד החכמים יכולים להישאר בחיים ולאבד מספר מינימלי של שערות, אם הם לא יכולים לתאם מראש?
פתרון

4. (7 נקודות) נתון פולינום ממעלה 20 בדיוק עם מקדמים שלמים. על המישור סימנו את כל הנקודות השלמות כך שקואורדינאטת ה-y שלהם נמצאת בתחום מ-0 עד 10 כולל.
מהו המספר המקסימלי של נקודות מסומנות שיכולות להיות שייכות לגרף של הפולינום?
פתרון

5. (8 נקודות) נתון משולש שכל זוויותיו שונות. יוסי ודני משחקים במשחק הבא. בכל מהלך יוסי מסמן נקודה אחת במישור, ודני צובע את הנקודה באדום או בכחול לפי בחירתו. יוסי מנצח אם קיימות שלוש נקודות שהוא סימן ודני צבע, שיוצרות משולש שדומה למשולש המקורי וכולו בצבע אחיד.
מה המספר המינימלי של מהלכים שיוסי צריך כדי לנצח בוודאות (לכל משולש מקורי)?
פתרון

6. (9 נקודות) במדינה מסוימת לכל עיר יש מספר מזהה. במשרד התחבורה יש רשימה בה לכל זוג מספרים מזהים מצוין האם שתי הערים האלה מחוברות על ידי מסילת ברזל (באופן ישיר). מסתבר שלכל זוג מספרים מזהים M ו-N, אפשר למספר את כל הערים מחדש כך שהעיר M תהיה כעת עם מספר N, אבל הרשימה עדיין תישאר נכונה.
האם בהכרח לכל זוג מספרים מזהים M ו-N, אפשר למספר את כל הערים מחדש כך שהעיר עם מספר M תהיה עם מספר N, והעיר עם מספר N תהיה עם מספר M, והרשימה עדיין תישאר נכונה?
פתרון

7. (10 נקודות) פולינום P(x) מקיים:
(P(x))2=1 + x + x100Q(x) ; P(0)=1, כאשר Q(x) הינו פולינום כלשהו.
הוכח כי המקדם של x99 בפולינום (P(x)+1)100 שווה לאפס.
פתרון