1. (3 נקודות) 100 מתאגרפים משתתפים בתחרות. ידוע, שמכל שני מתאגרפים יש אחד שיותר חזק מהשני. המתאגרף החזק יותר תמיד מנצח את המתאגרף החלש יותר. המתאגרפים התחלקו לזוגות וכל זוג קיים קרב. לאחר מכן הם התחלקו לזוגות בצורה אחרת ושוב קיימו את הקרבות. המתאגרפים שזכו בשני הקרבות שלהם, זכו בפרס. מה המספר המינימלי האפשרי של מתאגרפים שקיבלו פרס?
פתרון
2. (4 נקודות) האם קיים מספר עשר-ספרתי שכל ספרותיו שונות, כך שלא משנה אילו שש ספרות נמחק ממנו, נקבל מספר ארבע-ספרתי פריק?
הערה: מספר טבעי נקרא פריק אם יש לו מחלקים טבעיים חוץ מ-1 ומהמספר עצמו.
פתרון
3. (4 נקודות) נסמן ב-gcd(a,b)
את המחלק המשותף המקסימלי של המספרים הטבעיים a ו-b.
יהי n מספר טבעי המקיים:
gcd(n,n+1) < gcd(n,n+2) < ... < gcd(n,n+35) .
הוכח כי
gcd(n,n+35) < gcd(n,n+36) .
פתרון
4. (5 נקודות) נתון משולש ABC בו AB=AC. תהיינה K ו-L נקודות על השוקיים AB ו-AC בהתאמה, כך ש-AK=CL ו-
∠ALK+∠LKB=60° .
הוכח כי KL=BC.
פתרון
5. (6 נקודות) על לוח שחמט עומדים 8 צריחים שלא מאיימים זה על זה. הוכח כי אפשר להזיז את כל אחד מהצריחים במהלך של פרש, כך שהצריחים עדיין לא יאיימו זה על זה (כל הצריחים זזים בו-זמנית; כך, למשל, אם שני צריחים מאיימים זה על זה על ידי מהלך של פרש, אפשר להחליף אותם זה בזה).
פתרון
1. (3 נקודות) האם קיים מספר עשר-ספרתי שכל ספרותיו שונות, כך שלא משנה אילו שש ספרות נמחק ממנו, נקבל מספר ארבע-ספרתי פריק?
הערה: מספר טבעי נקרא פריק אם יש לו מחלקים טבעיים חוץ מ-1 ומהמספר עצמו.
פתרון
2. (4 נקודות) על צלעותיו של המשולש ABC בונים שלושה משולשים דומים: YBA ו-ZAC כלפי חוץ, ו-XBC כלפי פנים (הקודקודים המתאימים כתובים בסדר זהה).
הוכח כי AYXZ מקבילית.
פתרון
3. (4 נקודות) נסמן ב-lcm(a,b)
את הכפולה המשותפת המינימלית של המספרים הטבעיים a ו-b.
יהי n מספר טבעי המקיים:
lcm(n,n+1) > lcm(n,n+2) > ... > lcm(n,n+35) .
הוכח כי
lcm(n,n+35) > lcm(n,n+36) .
פתרון
4. (5 נקודות) על לוח שחמט עומדים 8 צריחים שלא מאיימים זה על זה. הוכח כי אפשר להזיז את כל אחד מהצריחים במהלך של פרש, כך שהצריחים עדיין לא יאיימו זה על זה (כל הצריחים זזים בו-זמנית; כך, למשל, אם שני צריחים מאיימים זה על זה על ידי מהלך של פרש, אפשר להחליף אותם זה בזה).
פתרון
5. (6 נקודות) ספינת חלל נחתה על אסטרואיד. ידוע שלאסטרואיד יש צורה של כדור או של קובייה, וידוע שהוא לא זז. אחרי הנחיתה הספינה נסעה על פני האסטרואיד לנקודה נגדית ביחס לנקודת הנחיתה. תוך כדי הנסיעה הספינה שידרה כל הזמן את הקואורדינאטות שלה לתחנת החלל, ובתחנת החלל חישבו את המסלול (התלת-מימדי) המדויק של הספינה.
האם יתכן שזה לא יספיק כדי לקבוע האם לאסטרואיד יש צורה של כדור או של קובייה?
פתרון
1. (3 נקודות) נתונים 100 מספרים. מוסיפים 1 לכל מספר.
סכום הריבועים שלהם לא משתנה כתוצאה מכך.
לאחר מכן שוב מוסיפים 1 לכל מספר.
האם הפעם סכום הריבועים משתנה, ואם כן, בכמה?
פתרון
2. (4 נקודות) אמה של חנה אפתה 15 מאפים זהים למראה: 7 ממולאים בכרוב, 7 ממולאים בבשר ואחד בדובדבנים. לאחר
מכן היא סדרה אותם במעגל על צלחת בסדר הזה עם כיוון השעון, וחיממה את הצלחת במיקרוגל.
חנה יודעת את הסדר בו אמה סדרה את המאפים על גבי הצלחת, אבל היא לא יודעת כמה הצלחת הסתובבה.
חנה רוצה לאכול את המאפה עם הדובדבנים, כי שאר המאפים לא לטעמה.
כיצד יכולה חנה למצוא את מאפה הדובדבנים בלי לנגוס ביותר מ-3 מאפים לא טעימים?
פתרון
3. (4 נקודות) נתונה טבלת מספרים בגודל
5×7
. ידוע שבכל מלבן
2×3
(אופקי או אנכי) סכום המספרים שווה לאפס.
תמורת 100 לירות אפשר לבחור משבצת ולגלות איזה מספר כתוב בה.
כמה כסף נחוץ כדי לגלות את סכום כל המספרים בטבלה?
פתרון
4. (5 נקודות) נתון משולש CM ,ABC תיכון של המשולש. על הצלע BC בוחרים נקודה L כך ש-AL גדול פי שניים מהתיכון CM. נתון שהזווית ALC שווה ל-45°.
הוכח כי AL ו-CM מאונכים.
פתרון
5. (6 נקודות) עלי-באבא ו-40 השודדים רוצים לחצות את תעלת סואץ. הם עומדים בתור, כך שעלי-באבא עומד ראשון, ואחריו עומדים 40 השודדים. כל שני שודדים עוקבים בתור הם חברים, ועלי-באבא הוא חבר של שני השודדים שעומדים מאחוריו.
לעלי-באבא ו-40 השודדים יש סירה אחת. בתוך הסירה יכולים לשוט 2 או 3 אנשים (אי אפשר לשוט לבד). כל האנשים ששטים יחדיו בסירה חייבים להיות חברים זה של זה. האם הם יצליחו לחצות את התעלה?
פתרון
1. (4 נקודות) לפיתה יש אוסף של 36 אבנים עם משקלים של 1, 2, …, 36 גרם. לשועלי יש דבק מגע שבעזרתו אפשר להדביק שתי אבנים להיות אבן אחת (בהתאם, תוך שתי הדבקות אפשר להדביק ביחד גם 3 אבנים, וכן הלאה). שועלי רוצה להדביק את האבנים כך שפיתה לא יוכל לבחור מתוך האבנים שיהיו לו אף אבן או קבוצת אבנים עם משקל כולל של 37 גרם. מה המספר המינימלי של הדבקות ששועלי צריך לעשות כדי להשיג זאת?
פתרון
2. (4 נקודות) נתון מרובע קמור ABCD שאלכסוניו מאונכים זה לזה. הנקודות M ו-N נמצאות על הצלעות AD ו-CD בהתאמה, וידוע שהזוויות ABN ו-CBM ישרות. הוכח כי הישרים AC ו-MN מקבילים.
פתרון
3. (5 נקודות) עלי-באבא ו-40 השודדים רוצים לחצות את תעלת סואץ. הם עומדים בתור, כך שעלי-באבא עומד ראשון, ואחריו עומדים 40 השודדים. כל שני שודדים עוקבים בתור הם חברים, ועלי-באבא הוא חבר של שני השודדים שעומדים מאחוריו.
לעלי-באבא ו-40 השודדים יש סירה אחת. בתוך הסירה יכולים לשוט 2 או 3 אנשים (אי אפשר לשוט לבד). כל האנשים ששטים יחדיו בסירה חייבים להיות חברים זה של זה. האם הם יצליחו לחצות את התעלה?
פתרון
4. (5 נקודות) המספרים הטבעיים а, b, c ו-d הם זרים בזוגות ומקיימים:
ab+cd=ac-10bd
.
הוכח כי בהכרח ניתן לבחור מתוך а, b, c ו-d שלשת מספרים בה אחד מהם שווה לסכום השניים האחרים.
פתרון
5. (5 נקודות) נתון מרובע קמור ABCD. יוסי יצא ברגל מקדקוד A, והלך לאורך היקף המרובע אל B, משם ל-C ולבסוף ל-D. דני יצא ברגל מקודקוד A עם יוסי, הלך לאורך האלכסון AC, והגיע ל-C יחד עם יוסי. שלמה יצא ברגל מ-B כשיוסי עבר בקדקוד זה, הלך לאורך האלכסון BD והגיע לקודקוד D יחד עם יוסי. כולם הלכו במהירויות קבועות (אך אולי שונות). האם יכול להיות שדני ושלמה נפגשו בנקודת חיתוך האלכסונים O באותו הזמן?
פתרון