תחרות מס': 34


תשע"ג (2012-2013)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) נתון מספר בעל 10 ספרות לפחות. ידוע שברישום העשרוני של המספר משתתפות רק שתי ספרות, וידוע גם שאין ספרות זהות סמוכות.
מהי החזקה המקסימאלית של 2 שהמספר הנתון יכול להתחלק בה?
פתרון

2. (5 נקודות) פיני ונתי משחקים משחק. בהתחלה נתי מחלק 222 אגוזים לשתי קופסאות. פיני מסתכל על החלוקה ואומר מספר N מ-1 עד 222. לאחר מכן נתי מעביר (אם צריך) מספר כלשהו של אגוזים משתי הקופסאות הראשונות לקופסה שלישית (ריקה) ומראה לפיני קופסא או שתי קופסאות שנמצאים בהן N אגוזים בדיוק. בסוף המשחק, פיני לוקח את הקופסה השלישית (שהייתה בהתחלה ריקה) עם כל האגוזים שיש בה.
מה הכמות המרבית של אגוזים פיני יכול להבטיח לעצמו, ללא תלות במשחק של נתי?
פתרון

3. (6 נקודות) בחלק מהמשבצות של טבלה 11×11 כתובים פלוסים, סך הכול מספר זוגי של פלוסים. בנוסף, ידוע גם שבכל ריבוע בתוך הטבלה יש מספר זוגי של פלוסים.
הוכח כי גם על האלכסון הראשי של הטבלה יש מספר זוגי של פלוסים.
פתרון

4. (7 נקודות) נתון משולש ABC. יהי I מרכז המעגל החסום של המשולש, ויהיו Y,X , ו-Z מרכזי המעגלים החסומים של המשולשים BAC, AIB ו-CIA בהתאמה. נתון כי מרכז המעגל החסום במשולש XYZ מתלכד עם I.
האם המשולש ABC בהכרח שווה צלעות?
פתרון

5. (8 נקודות) מכונית נוסעת בכביש מעגלי בכיוון השעון.
ב-12 בצהריים בדיוק שני משקיפים נעמדו בשתי נקודות שונות בצד הכביש.
ידוע כי המכונית עברה ליד כל אחד מהמשקיפים לפחות 30 פעמים.
המשקיף הראשון שם לב כי המכונית עברה כל סיבוב בדיוק בשנייה אחת יותר מהר מהסיבוב הקודם לו.
המשקיף השני שם לב כי המכונית עברה כל סיבוב בדיוק בשנייה אחת יותר לאט מהסיבוב הקודם לו.
הוכח כי עברו לפחות שעה וחצי מאז שהמשקיפים הגיעו.
פתרון

6. א. (4 נקודות) נתונים מעגל ונקודה A בתוכו. דרך A העבירו שני ישרים מאונכים שחותכים את המעגל בארבע נקודות. הוכח כי מרכז המסה של הנקודות האלו לא תלוי בבחירה של הישרים.
ב. (4 נקודות) בתוך מעגל נמצא מצולע משוכלל בעל 2n צלעות (n≥2) שמרכזו, A, לאו דווקא מתלכד עם מרכז המעגל. העבירו קרניים מ-A לקודקודים של המצולע והמשיכו את הקרניים עד שנחתכו עם המעגל, כך שנוצרו 2n נקודות על המעגל. לאחר מכן סובבו את המצולע סביב מרכזו והעבירו את הקרניים שוב. הוכח כי מרכז מסה של 2n הנקודות החדשות על המעגל מתלכד עם מרכז המסה של 2n נקודות שהיו על המעגל בתחילה.
פתרון

7. (10 נקודות) יוסי ודני משחקים במשחק לפי הכללים הבאים.
יוסי ממציא מספר טבעי x שסכום ספרותיו שווה ל-2012.
בכל מהלך, דני יכול לבחור מספר טבעי a ולשאול למה שווה סכום הספרות של המספר |x-a|.
מהו המספר המינימאלי של מהלכים שדני חייב לעשות כדי לגלות את המספר x בוודאות?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) נתונה סדרה אינסופית a1, a2, a3,... .
ידוע כי לכל אינדקס k קיים מספר טבעי t כך שמתקיים: ak= ak+t=ak+2t= ... .
האם הסדרה הזאת בהכרח מחזורית, כלומר האם בהכרח קיים מספר טבעי t כך ש-  ak= ak+t לכל k טבעי?
פתרון

2. (5 נקודות) פיני ונתי משחקים משחק. בהתחלה נתי מחלק 1001 אגוזים לשלוש קופסאות. פיני מסתכל על החלוקה ואומר מספר N מ-1 עד 1001. לאחר מכן נתי מעביר (אם צריך) מספר כלשהו של אגוזים משלוש הקופסאות הראשונות לקופסה רביעית (ריקה) ומראה לפיני מספר קופסאות (אחת או יותר) שנמצאים בהן N אגוזים בדיוק. בסוף המשחק, פיני לוקח את הקופסה הרביעית (שהייתה בהתחלה ריקה) עם כל האגוזים שיש בה.
מהי הכמות המרבית של אגוזים שפיני יכול להבטיח לעצמו, ללא תלות במשחק של נתי?
פתרון

3. (6 נקודות) מכונית נוסעת בכביש מעגלי בכיוון השעון.
ב-12 בצהריים בדיוק שני משקיפים נעמדו בשתי נקודות שונות בצד הכביש.
ידוע כי המכונית עברה ליד כל אחד מהמשקיפים לפחות 30 פעמים.
המשקיף הראשון שם לב כי המכונית עברה כל סיבוב בדיוק בשנייה אחת יותר מהר מהסיבוב הקודם לו.
המשקיף השני שם לב כי המכונית עברה כל סיבוב בדיוק בשנייה אחת יותר לאט מהסיבוב הקודם לו.
הוכח כי עברו לפחות שעה וחצי מאז שהמשקיפים הגיעו.
פתרון

4. (8 נקודות) על צלעות AB ו-BC של משולש ABC בחרו נקודות A1 ו-C1 בהתאמה.
הנקודות האלו שונות מקודקודי המשולש. יהי K אמצע הקטע A1C1 , ו-I מרכז המעגל החסום של המשולש ABC.
נתון שמרובע A1BC1I הינו מרובע חסום.
הוכח כי זווית AKC הינה כהה.
פתרון

5. (8 נקודות) יוסי ודני משחקים במשחק לפי הכללים הבאים.
יוסי ממציא מספר טבעי x שסכום ספרותיו שווה ל-2012.
בכל מהלך, דני יכול לבחור מספר טבעי a ולשאול למה שווה סכום הספרות של המספר |x-a|.
מהו המספר המינימאלי של מהלכים שדני חייב לעשות כדי לגלות את המספר x בוודאות?
פתרון

6. א. (5 נקודות) נתונות קליפה כדורית ונקודה A בתוכה. דרך A העבירו שלושה ישרים מאונכים בזוגות שחותכים את הקליפה הכדורית בשש נקודות.
הוכח כי מרכז המסה של הנקודות האלו לא תלוי בבחירה של הישרים.
ב. (5 נקודות) בתוך קליפה כדורית נמצא איקוסהדרון שמרכזו, A, לאו דווקא מתלכד עם מרכז הקליפה. העבירו קרניים מ- A לקודקודים של האיקוסהדרון. נתבונן ב-12 נקודות החיתוך של הקרניים עם הקליפה הכדורית.
הוכח שאם נסובב את האיקוסהדרון סביב מרכזו, נעביר שוב את הקרניים ושוב ניקח את נקודות החיתוך עם הקליפה, מרכז המסה של 12 הנקודות לא ישתנה.
פתרון

7. (10 נקודות) רצועת משבצות 1×1000000 מחולקת ל-100 קטעים. בכל משבצת כתוב מספר שלם וידוע שמשבצות שעל אותו קטע רשומים אותם המספרים. שמו על כל אחת מהמשבצות כלי משחק, ואז ביצעו את הפעולה הבאה: הזיזו כל אחד מהכלים ימינה כמספר הרשום על המשבצת שעליה עומד הכלי (אם המספר היה שלילי, מזיזים את הכלי שמאלה). נתון שאחרי הפעולה הזאת בכל משבצת היה שוב כלי אחד בדיוק. לאחר מכן חזרו על הפעולה מספר פעמים. עבור כל כלי מהקטע הראשון משמאל ספרו אחרי כמה פעמים הכלי חזר לקטע זה לראשונה.
הוכח כי בין המספרים אלה יש לא יותר מ-100 מספרים שונים.
פתרון


אביב


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) על הלוח כתובים כמה מספרים טבעיים. הסכום של כל שניים מהם הינו חזקה שלמה של 2.
מהי הכמות המקסימלית של מספרים שונים שיכולים להופיע על הלוח?
פתרון

2. (4 נקודות) 20 ילדים: 10 בנים ו-10 בנות עומדים בשורה.
כל בן אמר כמה ילדים עומדים מימינו, וכל בת אמרה כמה ילדים עומדים משמאלה.
הוכח\י כי סכום המספרים שנאמרו על ידי בנות שווה לסכום המספרים שנאמרו על ידי בנים.
פתרון

3. (5 נקודות) נתונה טבלה 19×19. האם ניתן לסמן מספר משבצות בתוך הטבלה, כך שבכל ריבוע 10×10 יהיה מספר שונה של משבצות שסומנו?
פתרון

4. (5 נקודות) 1000 מספרים ממשיים שונים מ-0 כתובים במעגל וצבועים בשחור ולבן לסירוגין.
הסתבר כי כל מספר שחור שווה לסכום של שני המספרים הלבנים שסמוכים לו ושכל מספר לבן שווה למכפלה של שני המספרים השחורים שסמוכים לו.
מצא\י את כל האפשרויות עבור הסכום של 1000 המספרים האלה. 4.
פתרון

5. (6 נקודות) נקרא לנקודה במישור צומת אם שתי הקואורדינטות שלה שלמות.
נתון משולש עם קודקודים שהם צמתים, כך שבחלק הפנימי שלו יש בדיוק שני צמתים.
הוכח\י כי ישר שעובר דרך שני הצמתים האלה חייב להיות מקביל לאחת הצלעות של המשולש או לעבור דרך אחד הקודקודים של המשולש.
פתרון

6. (8 נקודות) יהי I מרכז המעגל החסום של משולש ישר זווית ABC.
המעגל החסום משיק לניצבים AC ו-BC בנקודות B0 ו-A0 בהתאמה.
נסמן ב-P את נקודת החיתוך של האנך מהנקודה A0 לישר AI והאנך מהנקודה B0 לישר BI.
הוכח\י כי הישרים CP ו-AB מאונכים.
פתרון

7. (9 נקודות) בבית הספר החליטו לקיים תחרות טניס שולחן בין הכיתה המדעית והכיתה העיונית.
הנבחרת של הכיתה העיונית מורכבת מ-m אנשים, והנבחרת של הכיתה המדעית – מ-n אנשים.
ידוע כי m≠n, ויש רק שולחן טניס אחד בבית הספר, ולכן הוחלט שהמשחקים יתנהלו באופן הבא.
בהתחלה יש משחק בין שני אנשים מנבחרות שונות, ושאר האנשים נעמדים בתור משותף אחד.
בכל פעם שמשחק מסתיים, האיש שעומד ראשון בתור מחליף את השחקן מהקבוצה שלו, והשחקן שהוחלף הולך לסוף התור.
הוכח\י כי בסופו של דבר, כל חבר בנבחרת של הכיתה המדעית ישחק נגד כל חבר בנבחרת של הכיתה העיונית לפחות פעם אחת.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) על הלוח כתובים כמה מספרים טבעיים. הסכום של כל שניים מהם הינו חזקה שלמה של 2.
מהי הכמות המקסימלית של מספרים שונים שיכולים להופיע על הלוח?
פתרון

2. (4 נקודות) בן ובת ישבו על ספסל ארוך. אחרי זה הגיעו עוד 20 ילדים אחד-אחד וכל אחד מהם התיישב בין שני ילדים שכבר יושבים על הספסל.
נקרא לבת אמיצה אם היא התישבה בין שני בנים שהיו שכנים, ונקרא לבן אמיץ אם הוא התישב בין שתי בנות שהיו שכנות. בסוף הסתבר שבנים ובנות יושבים על הספסל לסירוגין.
האם אפשר להגיד במדוייק מהו המספר הכולל של הילדים והילדות האמיצים שיושבים על הספסל?
פתרון

3. (6 נקודות) נקרא לנקודה במישור צומת אם שתי הקואורדינטות שלה שלמות. נתון משולש עם קודקודים שהם צמתים, כך שבחלק הפנימי שלו יש לפחות שני צמתים. הוכח\י כי קיים ישר שעובר דרך איזשהם שניים מהצמתים הפנימיים שבמשולש שמקביל לאחת הצלעות של המשולש או עובר דרך אחד הקודקודים של המשולש.
פתרון

4. (6 נקודות) המספרים כתובים על מעגל בסדר כלשהו. האם יכול להיות שההפרש (בערכו המוחלט) בין כל שני מספרים סמוכים גדול או שווה ל-30 וקטן או שווה ל-50?
פתרון

5. (7 נקודות) במישור חסר צבעים נצבעו 3 נקודות: אחת באדום, השנייה בכחול והשלישית בצהוב.
בכל מהלך, בוחרים שתי נקודות צבועות מהמישור שכבר נצבעו בשניים מבין שלושת הצבעים;
ואז צובעים נקודה נוספת בצבע השלישי כך שהיא תיצור עם שתי הנקודות משולש שווה צלעות,
שצבעי הקודקודים שלו הם אדום, כחול וצהוב עם כיוון השעון בסדר זה.
מותר לצבוע נקודה שנצבעה כבר, ומותר שלנקודה יהיו מספר צבעים.
הוכח\י כי בכל שלב של המשחק, כל הנקודות הכחולות יהיו על ישר אחד.
פתרון

6. נתונים 5 מספרים חיוביים שונים שסכום ריבועיהם שווה לסכום כל 10 המכפלות של הזוגות שלהם.
א. (4 נקודות) הוכח\י שמבין 5 המספרים יש שלשה אחת לפחות של מספרים שלא יכולים להיות צלעות של משולש.
ב. (5 נקודות) הוכח\י שיש לפחות 6 שלשות כאלה (שלשות ששונות רק בסדר המספרים נחשבות זהות).
פתרון

7. על מנת לעבור את המבחן, 1000 חכמים מסתדרים בשורה.
יש כובעים הממוספרים מ-1 עד 1001. כובע אחד מוחבא, ואת האחרים מלבישים על החכמים בסדר אקראי.
כל חכם רואה רק את הכובעים של אלה שלפניו.
לאחר מכן, כל חכם לפי הסדר כאשר האחורי ראשון והקדמי אחרון, אומר בקול רם מספר שלם.
כל מספר שאומרים צריך להיות בין 1 ל-1001, אבל אסור להגיד מספר שכבר נאמר.
תוצאת המבחן היא כמות החכמים שאמרו את מספר הכובע שלהם. החכמים יודעם מראש את תנאי המבחן ויכולים לסכם איך לפעול.
א. (5 נקודות) האם הם יכולים להבטיח תוצאה גדולה ממש מ-500?
ב. (7 נקודות) האם הם יכולים להבטיח תוצאה של לפחות 999?
פתרון