תחרות מס': 34


תשע"ג (2012-2013)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) נתונה קבוצה של חמישה אנשים. שמותיהם אריאל, בני, גבי, דרור והארי.
שמות המשפחה שלהם הם: אריאלי, בנימיני, גבאי, דרורי והררי, אך לא בהכרח בסדר זה. ידוע כי מתקיים:
אריאל יותר מבוגר מאריאלי בשנה אחת,
בני יותר מבוגר מבנימיני בשנתיים,
גבי יותר מבוגר מגבאי בשלוש שנים
ודרור יותר מבוגר מדרורי בארבע שנים.
מי יותר מבוגר, הארי או הררי, ובכמה שנים?
פתרון

2. (4 נקודות) נסמן ב- C(n) את מספר המחלקים הראשוניים השונים של מספר n.
למשל, .C(10)=2 ,C(11)=1 ,C(12)=2
נתבונן בזוגות (a,b) של מספרים טבעיים שמקיימים: C(A+B)=C(A)+C(B).
האם מספר הזוגות מסוג זה הינו סופי או אינסופי?
פתרון

3. (5 נקודות) נתון לוח 10×10 של משחק "שולה המוקשים". בחלק ממשבצות הלוח יש מוקשים ובכל משבצת ללא מוקש רשום מספר המשבצות הסמוכות אליה (לפי צלע או קודקוד) שיש בהן מוקש. לאחר מכן, הורידו מהלוח את כל המוקשים שהיו ושמו מוקשים בכל המשבצות בהן קודם לא היו מוקשים. לבסוף, רשמו את המספרים מחדש במשבצות הריקות לפי אותם הכללים.
האם סכום ייתכן שסכום המספרים החדשים שרשומים על הלוח גדול מסכום המספרים שהיו רשומים עליו בהתחלה?
פתרון

4. (5 נקודות) מעגל משיק לצלעות BC ,AB ו-CD של מקבילית ABCD בנקודות L ,K ו-M בהתאמה.
נתבונן בגובה של המקבילית שיוצא מקודקוד C ומאונך לצלע AB.
הוכח כי הישר KL חוצה את הגובה הזה.
פתרון

5. (5 נקודות) בכיתה יש 20 תלמידים. תלמידי הכיתה השתתפו במספר טיולים, כך שבכל אחד מהטיולים היה לפחות תלמיד אחד מהכיתה.
הוכח כי קיים טיול כך שכל תלמיד שהשתתף בטיול הזה השתתף לפחות ב-1/20 מכל הטיולים.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) נתון לוח m×n של משחק "שולה המוקשים". בחלק ממשבצות הלוח יש מוקשים ובכל משבצת ללא מוקש רשום מספר המשבצות הסמוכות אליה (לפי צלע או קודקוד) שיש בהן מוקש. לאחר מכן, הורידו מהלוח את כל המוקשים שהיו ושמו מוקשים בכל המשבצות בהן קודם לא היו מוקשים. לבסוף, רשמו את המספרים מחדש במשבצות הריקות לפי אותם הכללים.
האם סכום ייתכן שסכום המספרים החדשים שרשומים על הלוח גדול מסכום המספרים שהיו רשומים עליו בהתחלה?
פתרון

2. נתון פאון קמור וקליפה כדורית שחותכת כל מקצוע של הפאון פעמיים בדיוק.
כל מקצוע מחולק על ידי נקודות החיתוך עם הקליפה הכדורית לשלושה חלקים שווים. האם בהכרח כל הפאות של הפאון הן:
א. (2 נקודות) מצולעים חופפים?
ב. (3 נקודות) מצולעים משוכללים?
פתרון

3. (5 נקודות) בכיתה יש 20 תלמידים. תלמידי הכיתה השתתפו במספר טיולים, כך שבכל אחד מהטיולים היו לפחות ארבעה תלמידים מהכיתה.
הוכח כי קיים טיול כך שכל תלמיד שהשתתף בטיול הזה השתתף לפחות ב-1/17 מכל הטיולים.
פתרון

4. נסמן ב- C(n) את מספר המחלקים הראשוניים השונים של מספר n.
למשל, .C(10)=2 ,C(11)=1 ,C(12)=2
א. (2 נקודות) נתבונן בזוגות (a,b) של מספרים טבעיים שמקיימים: C(A+B)=C(A)+C(B).
ב. (3 נקודות) האם מספר הזוגות יהיה סופי או אינסופי אם נדרוש בנוסף C(A+B)>1000?
פתרון

5. (5 נקודות) נתונים 239 מטבעות זהים למראה. מבין המטבעות ישנם שני מטבעות מזויפים וכל שאר המטבעות אמיתיים. משקל של מטבע מזויף שונה ממשקל של מטבע אמיתי, אבל כל המטבעות האמיתיים הם בעלי משקל זהה, וגם שני המטבעות המזויפים הם בעלי משקל זהה.
כיצד ניתן באמצעות שלוש שקילות במאזני כף לקבוע איזה מטבע יותר כבד – אמיתי או מזויף? אין צורך למצוא את המטבעות המזויפים עצמם.
פתרון


אביב

1. (3 נקודות) נתונות 6 נקודות במישור. ידוע כי אפשר לחלק את הנקודות לשתי שלישיות כך שיתקבלו שני משולשים.
האם תמיד אפשר לחלק את הנקודות לשתי שלישיות כך שיתקבלו שני משולשים שאין להם נקודות משותפות (לא בפנים, ולא על השפה)?
פתרון

2. (4 נקודות) על הלוח כתוב מספר A. בכל פעולה מותר להוסיף למספר שכתוב על הלוח את המספר 9 או למחוק ממנו את הספרה 1 ממקום כלשהו. האם תמיד בעזרת פעולות אלו אפשר לקבל את המספר A+1? הערה: אם הספרה הראשונה של המספר היא 1 ומוחקים אותה, אז האפסים שאחריה נמחקים גם.
פתרון

3. (4 נקודות) נתונות 11 משקולות בעלות משקלים שלמים בגרמים. כל המשקלים שונים. ידוע כי אם נניח את כל המשקולות או את חלקן על מאזני כף כך שבאחת הכפות יש יותר משקולות, הכף הזאת תמיד תשקול יותר.
הוכח\י כי יש משקולת ששוקלת יותר מ-35 גרם.
פתרון

4. (5 נקודות) על לוח 8×8 עומדים 8 צריחים שלא מאיימים זה על זה. כל המשבצות בלוח נמצאות בשליטה של הצריחים לפי העקרון הבא.
המשבצת עליה עומד הצריח נמצאת בשליטתו. משבצת שמאויימת על ידי שני צריחים משוייכת לצריח שנמצא יותר קרוב.
במידה ושני הצריחים נמצאים במרחקים שווים מהמשבצת עליה הם מאיימים, כל אחד מהם מקבל חצי מהמשבצת.
הוכח\י כי שטחי השליטה של כל הצריחים שווים בגודלם.
פתרון

5. (5 נקודות) במרובע ABCD הזווית B שווה 150o, הזווית C ישרה, והצלעות AB ו-CD שוות.
מצא\י את הזווית בין הצלע BC והישר העובר דרך אמצעי הצלעות BC ו-AD.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) על הלוח כתוב מספר A. בכל פעולה מותר להוסיף למספר שכתוב על הלוח את המספר 9 או למחוק ממנו את הספרה 1 ממקום כלשהו.
האם תמיד בעזרת פעולות אלו אפשר לקבל את המספר A+1?
הערה: אם הספרה הראשונה של המספר היא 1 ומוחקים אותה, אז האפסים שאחריה נמחקים גם.
פתרון

2. (4 נקודות) נתון משולש ישר זווית ABC עם זווית ישרה C.
על ניצבי המשולש בנו כלפי חוץ ריבועים ACKL ו-BCMN.
יהי CE הגובה ליתר AB. הוכח\י כי הזווית LEM ישרה.
פתרון

3. (4 נקודות) על לוח 8×8 עומדים 8 צריחים שלא מאיימים זה על זה. כל המשבצות בלוח נמצאות בשליטה של הצריחים לפי העקרון הבא.
המשבצת עליה עומד הצריח נמצאת בשליטתו. משבצת שמאויימת על ידי שני צריחים משוייכת לצריח שנמצא יותר קרוב.
במידה ושני הצריחים נמצאים במרחקים שווים מהמשבצת עליה הם מאיימים, כל אחד מהם מקבל חצי מהמשבצת.
הוכח\י כי שטחי השליטה של כל הצריחים שווים בגודלם.
פתרון

4. (4 נקודות) נתונות 100 אבנים עם משקלים שונים בזוגות. לכל אחת מהאבנים הדביקו מדבקה עם המשקל שלה.
גרגמל רוצה להחליף בין המדבקות כך שהמשקל הכולל בכל קבוצה בגודל 1, 2, ... ,99 אבנים יהיה שונה מסכום המספרים שעל המדבקות של האבנים בקבוצה זו. האם
הוא תמיד יכול להצליח במזימתו?
פתרון

5. (5 נקודות) פולינום ייקרא סביר אם הוא מהצורה x2+ax+b, שורשיו הם מספרים שלמים, ובנוסף |a|,|b|≤2013.
יוסי חיבר את כל הפולינומים הסבירים. הוכח\י שהוא קיבל פולינום שאין לו שורשים ממשיים.
פתרון