תחרות מס': 33


תשע"ב (2011-2012)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) יהי משולש ABC, ונניח כי AB היא הצלע הארוכה ביותר שלו. נסמן על הצלע AB נקודות P ו-Q , כך שמתקיים: BP = PC , AQ = AC . הוכח כי מרכז המעגל החוסם של משולש PQC מתלכד עם מרכז המעגל החסום של משולש ABC.
פתרון

2. (4 נקודות) סביב שולחן עגול ישבו אורחים ואכלו צימוקים מתוך סל, שהיו בו בהתחלה 2011 צימוקים. הסתבר כי כל אחד אכל או פי 2 יותר או ב-6 צימוקים פחות מאשר שכנו מימין. הוכח כי האורחים לא אכלו את כל הצימוקים שהיו בסל.
פתרון

3. (4 נקודות) מתוך דף משבצות בצורת ריבוע 9×9 גזרו את 16 המשבצות שנמצאות גם בשורה זוגית וגם בעמודה זוגית. מצאו דרך לחתוך את הצורה שנשארה, לאורך קווי המשבצות, למלבנים, כך שיהיו כמה שפחות ריבועים 1×1.
פתרון

4. (4 נקודות) על קודקודיו של מצולע בעל 33 צלעות רשמו את כל המספרים השלמים מ-1 עד 33 בסדר מסוים. אחרי זה רשמו על כל אחת מהצלעות את סכום המספרים שבשני קצותיה. האם יתכן שהמספרים הרשומים על הצלעות מהווים 33 מספרים עוקבים (בסדר כלשהו)?
פתרון

5. (5 נקודות) על הכביש ישנם הולך רגל, רוכב אופניים, עגלה ומכונית, וכל אחד נע במהירות קבועה. הולך הרגל ורוכב האופניים נעים בכיוון אחד, והעגלה והמכונית – בכיוון ההפוך. רוכב האופניים עקף את הולך הרגל, אחרי זמן מה פגש את העגלה, וכעבור אותו פרק זמן – פגש את המכונית. המכונית קודם פגשה את רוכב האופניים, אחרי זמן מה פגשה את הולך הרגל, וכעבור אותו פרק זמן עקפה את העגלה. רוכב האופניים עקף את הולך הרגל בשעה 10, והולך הרגל פגש את המכונית בשעה 11. מתי פגש הולך הרגל את העגלה?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) סביב שולחן עגול ישבו אורחים ואכלו צימוקים מתוך סל, שהיו בו בהתחלה 2011 צימוקים. הסתבר כי כל אחד אכל או פי 2 יותר או ב-6 צימוקים פחות מאשר שכנו מימין. הוכח כי האורחים לא אכלו את כל הצימוקים שהיו בסל.
פתרון

2. (4 נקודות) בכל תא של טבלה סודית בגודל n×n כתובה ספרה מ-1 עד 9. יוסי רוצה לרשום רצף של n ספרות כאלה, שאינו מופיע באף שורה ובאף עמודה (כשמותר להתחיל לקרוא משני הקצוות). מהו המספר המינימלי של משבצות שיוסי צריך לדעת כדי להבטיח הצלחה?
פתרון

3. (4 נקודות) במרובע קמור ABCD אורכי הצלעות הם: AB = 10 , BC = 14 , CD = 11 , AD = 5 .
מצא את הזווית בין אלכסוני המרובע.
פתרון

4. (4 נקודות) עבור מספרים טבעיים  a < b <c מתקיים: b+a מתחלק ב-b-a , ו-c+b מתחלק ב- c-b. ידוע כי בייצוג העשרוני של a מופיעות 2011 ספרות, ובייצוג העשרוני של b מופיעות 2012 ספרות. כמה ספרות מופיעות בייצוג העשרוני של c?
פתרון

5. (5 נקודות) במישור נתונים 10 ישרים במצב כללי (אין ישרים מקבילים ואף שלושה ישרים לא עוברים דרך נקודה אחת). עבור כל נקודת חיתוך נבחר את הזווית החדה (או ישרה) בין הישרים העוברים דרכה. מצא את הסכום המקסימלי האפשרי של הזוויות האלה.
פתרון


אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) נתון לוח 8×8, ומתחת לאחת המשבצות שלו טמון מטמון. מתחת לכל משבצת אחרת של הלוח יש פתק בו כתוב המספר המינימלי של צעדים שדרושים כדי להגיע מהמשבצת הנתונה עד המשבצת עם המטמון, כאשר צעד אחד – זהו מעבר למשבצת שסמוכה לפי צלע. מהו המספר המינימלי של משבצות שצריך לפתוח כדי להגיע למטמון בוודאות?
פתרון

2. (4 נקודות) האם קיים מספר טבעי שיש לו מספר אי-זוגי של מחלקים טבעיים זוגיים ומספר זוגי של מחלקים טבעיים אי-זוגיים?
פתרון

3. (4 נקודות) נתונה מקבילית ABCD. המעגלים החסומים במשולשים ABC ו-ADC משיקים לאלכסון AC בנקודות X ו-Y. המעגלים החסומים במשולשים BCD ו-BAD משיקים לאלכסון BD בנקודות Z ו-T. הוכח כי אם הנקודות X, Y, Z, T שונות בזוגות, אז הנקודות האלו מהוות קודקודים של מלבן.
פתרון

4. בביטוי 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 הציבו סוגריים כך שבתוצאה יצא מספר שלם. למה שווה :
א. (2 נקודות) הערך המקסימלי האפשרי של המספר הזה?
ב. (3 נקודות) הערך המינימלי האפשרי של המספר הזה?
פתרון

5. (5 נקודות) לקרנף יש קמטי עור אופקיים ואנכיים, חלקם בצד ימין וחלקם בצד שמאל, סך הכל 17 קמטים. אם הקרנף מגרד את אחד הצדדים שלו על עץ, אז שני קמטים אופקיים או שני קמטים אנכיים על הצד הזה נעלמים, ועל הצד השני מופיעים קמט אחד אופקי וקמט אחד אנכי. אם אין שני קמטים באותו כיוון, אז שום דבר לא קורה. הקרנף גירד את עצמו מספר פעמים.
האם יכול להיות שעכשיו בכל צד מספר הקמטים האנכיים זהה למספר הקמטים האופקיים שהיו לפני זה, ומספר הקמטים האופקיים זהה למספר הקמטים האנכיים שהיו לפני זה?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) נתון פאון קמור. מכל קודקוד של הפאון יוצאים שלושה מקצועות בדיוק, שלפחות שניים מהם שווים באורכם. הוכח כי לפאון יש לפחות שלושה מקצועות שווים.
פתרון

2. (4 נקודות) נתונה רצועה שמורכבת מ-2n משבצות. המשבצות האלו ממוספרות משמאל לימין באופן הבא:  1,2,3,...,n,-n,...,-2,-1 . על הרצועה עומד כלי, ובכל צעד מזיזים את הכלי באותו מספר משבצות שכתוב על המשבצת עליה הוא עומד (ימינה, אם המספר חיובי ושמאלה אם המספר שלילי). ידוע כי לא משנה באיזו משבצת נתחיל, הכלי יעבור בכל משבצות הלוח. הוכח כי המספר 2n+1 הינו מספר ראשוני.
פתרון

3. (5 נקודות) על המישור מצוירים העקומים  y=cos(x) ו- x = 100cos(100y) ומסומנות כל נקודות החיתוך שלהם ששתי הקואורדינטות שלהן חיוביות. יהי a הסכום של קואורדינטות ה-x של כל הנקודות הללו, ו-b הסכום של קואורדינטות ה-y של כל הנקודות הללו. למה שווה a/b?
פתרון

4. (5 נקודות) מרובע ABCD שאין לו צלעות מקבילות חסום במעגל. נתבונן בכל הזוגות של מעגלים שמשיקים זה לזה, כך שבאחד מהם AB הוא מיתר, ובשני CD הוא מיתר. נסמן את נקודת ההשקה של שני מעגלים כאלה ב-X. הוכח כי כל הנקודות X מסוג זה נמצאות על מעגל אחד.
פתרון

5. (5 נקודות) על המשבצת ב2 של לוח שחמט 8×8 עומד צריח לבן, ועל ג4 – צריח שחור. שני שחקנים מבצעים מהלכים לפי התור, הראשון עם הצריח הלבן, השני עם הצריח השחור. הלבן מתחיל. בכל מהלך, אסור לשים את הצריח תחת איום הצריח של האויב, ואסור לשים את הצריח על המשבצת בה כבר ביקר אחד מהצריחים. מפסיד מי שלא יכול לעשות מהלך בתורו. איזה מהשחקנים יכול להבטיח לעצמו ניצחון? הערה: בכל מהלך צריח שחמט זז מספר כלשהו של משבצות שמאלה, ימינה, למעלה או למטה. במהלך כזה הצריח מבקר רק במשבצת ההתחלתית והסופית של המסלול.
פתרון