תחרות מס': 32


תשע"א (2010-2011)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) במישור מצויר ישר. לרשותך מטבע עגול. צריך לבנות שתי נקודות, כך שהישר שמחבר אותן מאונך לישר המקורי.
מותר לבצע את הפעולות הבאות: להניח את המטבע בצמוד לנקודה מסוימת, ולהעביר מסביבו מעגל, או להניח את המטבע כך שהוא צמוד לשתי נקודות מסוימות ולהעביר מסביבו מעגל (בתנאי שהמרחק בין שתי הנקודות קטן מקוטר המטבע).
אי-אפשר להצמיד מטבע לישר כך שהוא ישיק לו.
פתרון

2. (5 נקודות) שלומי יכול לסמן על כל קטע נקודה שחוצה אותו, או נקודה שמחלקת אותו ביחס (N : (N+1, לכל מספר טבעי N.
שלומי טוען שבאמצעות היכולות הללו הוא מסוגל למצוא על קטע נתון נקודה שמחלקת אותו בכל יחס רציונלי נתון מראש.
האם שלומי צודק?
פתרון

3. (8 נקודות) 10 רוכבי אופניים יצאו בבוקר לרכיבה במסלול מעגלי מאותה נקודה. הם רכבו באותו כיוון, במהירויות קבועות אך שונות.
נאמר ששני רוכבים נפגשו אם הם היו בו-זמנית באותה נקודה של המסלול אחרי התחלת הנסיעה.
עד הצהריים כל שני רוכבי אופניים נפגשו לפחות פעם אחת, אבל באף מפגש לא השתתפו שלושה רוכבים או יותר.
הוכח שעד הצהריים לכל אחד מהם היו לפחות 25 מפגשים.
פתרון

4. (8 נקודות) לוח משבצות חולק למלבנים, שכל אחד מהם מורכב משתי משבצות. בכל אחד מהמלבנים האלה העבירו אלכסון.
התברר שלאף שני אלכסונים אין קצה משותף.
הוכח כי מבין פינות הלוח בדיוק שתיים הן קצוות של האלכסונים האלה.
פתרון

5. (8 נקודות) נתון מחומש. עבור כל צלע נחלק את אורכה בסכום אורכי הצלעות האחרות, ונחבר את חמשת השברים שקיבלנו.
הוכח שסכום השברים תמיד קטן מ-2.
פתרון

6. (8 נקודות) על הגובה BH של משולש חד-זווית ABC נבחרה נקודה P. נסמן ב-'A את האמצע של הצלע BC, וב-'C את האמצע של הצלע AB. האנך מ- 'A על CP חותך את האנך מ-'C על AP בנקודה K.
הוכח כי K נמצאת במרחקים שווים מ-A ומ-C.
פתרון

7. (12 נקודות) מסביב לשולחן עגול N אבירים מקיימים ישיבות. בכל בוקר הקוסם מרלין מושיב אותם בסדר כלשהו לפי בחירתו (כל יום בסדר אחר).
החל מהיום השני הוא מרשה להם לבצע כל כמות של תמורות מהסוג הבא: שני אבירים שיושבים זה ליד זה מתחלפים במקומות, בתנאי שהם לא ישבו אחד ליד השני ביום הראשון. האבירים מנסים להחליף מקומות כך שהסדר שלהם יהיה זהה לסדר הישיבה שלהם באחד הימים הקודמים.
כאשר הם יצליחו לעשות זאת, הישיבות יגמרו. מהו מספר הישיבות המקסימלי שמרלין מסוגל לארגן?
(סדר ישיבה ששונה מסדר ישיבה אחר בסיבוב בלבד נחשב אותו סדר. מרלין לא יושב ליד השולחן.)
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. במדינה 100 ערים (שהן מבחינתנו נקודות במישור).
בספר מסוים כתוב מהו המרחק בין כל שתי ערים (לכן סה"כ יש בספר זה 4950 רישומים של מרחקים).
א. (2 נקודות) רישום אחד נמחק. האם בכל מקרה ניתן לשחזר אותו לפי המרחקים האחרים בספר?
ב. (3 נקודות) נניח שנמחקו K רישומים, אבל נתון בנוסף שאף שלוש ערים לא נמצאות על ישר אחד.
מהו ה-K המקסימלי עבורו ניתן בכל מקרה לשחזר את המרחקים שנמחקו?
פתרון

2. (6 נקודות) 2N רוכבי אופניים יצאו בבוקר לרכיבה במסלול מעגלי מאותה נקודה.
הם רכבו באותו כיוון, במהירויות קבועות אך שונות. נאמר ששני רוכבים נפגשו אם הם היו בו-זמנית באותה נקודה של המסלול אחרי התחלת הנסיעה. עד הצהריים כל שני רוכבי אופניים נפגשו לפחות פעם אחת, אבל באף מפגש לא השתתפו שלושה רוכבים או יותר.
הוכח שעד הצהריים לכל אחד מהם היו לפחות N2 מפגשים.
פתרון

3. (6 נקודות) נתון מצולע. עבור כל צלע נחלק את אורכה בסכום אורכי הצלעות האחרות, ונחבר את כל השברים שקיבלנו.
הוכח שסכום השברים תמיד קטן מ-2.
פתרון

4. שני קוסמים נלחמים אחד בשני. בהתחלה שניהם מרחפים מעל הים בגובה של 100 מטרים.
אחרי זה הם מטילים לפי התור קללות מהסוג "להנמיך את גובה הריחוף שלי ב-A ואת גובה הריחוף של היריב ב-B"
כאשר A, B מספרים ממשיים, B > A > 0. לשני הקוסמים יש את אותם הסוגים של קללות, והם יכולים להשתמש בהן בכל סדר וכמה פעמים שהם רוצים.
קוסם מנצח בדו-קרב אם אחרי מהלכו הוא נמצא מעל פני הים, ויריבו כבר לא מעל פני הים.
האם קיים אוסף קללות שבעזרתו הקוסם השני יוכל לנצח בוודאות, אם:
א. (2 נקודות) קבוצת סוגי הקללות היא סופית.
ב. (5 נקודות) קבוצת סוגי הקללות היא אינסופית.
פתרון

5. (8 נקודות) מרובע ABCD חסום במעגל שמרכזו O, כאשר נקודה O לא נמצאת על אף אלכסון שלו.
נתון כי מרכז המעגל החוסם של AOC נמצא על הישר BD.
הוכח כי מרכז המעגל החוסם של BOD נמצא על הישר AC.
פתרון

6. (12 נקודות) נתונה טבלה 1000×1000 שבכל משבצת שלה רשום 0 או 1.
הוכח שאפשר למחוק 990 שורות כך שבכל עמודה תישאר הספרה 1 לפחות פעם אחת, או שאפשר למחוק 990 עמודות כך שבכל שורה תישאר הספרה 0 לפחות פעם אחת.
פתרון

7. (14 נקודות) ריבוע ABCD נחתך למלבנים חופפים שצלעותיהם שלמות.
F היא צורה שמורכבת מהמלבנים שיש להם נקודות משותפות עם האלכסון AC (מספיקה נקודה אחת).
הוכח כי הקטע AC מחלק את F לשני חלקים שווי שטח.
פתרון


אביב


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) האם קיים משושה שניתן לחלק אותו לארבעה משולשים חופפים על ידי קו ישר אחד?
הערה: צלעותיו של משושה לא יכולות לחתוך אחת את השנייה.
פתרון

2. (4 נקודות) דרך ראשית הצירים העבירו ישרים, ובכללם ציר ה-x וציר ה-y, כך שהמישור הקרטזי חולק לזוויות של מעלה אחת.
כמו כן, העבירו את הישר y = 100 – x . מצא את סכום קואורדינאטות ה-x של כל נקודות חיתוך.
פתרון

3. (5 נקודות) לברון מינכהאוזן יש 50 משקולות. משקליהן של המשקולות הללו הינם מספרים טבעיים שונים בין 1 ל-100, וסכומם – מספר זוגי. מינכהאוזן טוען כי לא ניתן לשים חלק מהמשקולות על כף אחת של מאזניים, ואת השאר על הכף השנייה, כך שהמאזניים יהיו בשיווי משקל.
האם יתכן שדבריו של הברון מינכהאוזן הם אמת?
פתרון

4. (6 נקודות) הוכח כי לכל N טבעי קיימים שני זוגות מספרים טבעיים, כך שסכום המספרים בשני הזוגות זהה, בעוד מכפלת המספרים בזוג הראשון גדולה פי N ממכפלת המספרים בזוג השני.
פתרון

5. (7 נקודות) נתון משולש חד-זווית ABC.
AA1 ו- BB1 – גבהים שלו.
מנקודה A1 הורידו אנכים על הישרים AC ו-AB, ומנקודה B1 הורידו אנכים על הישרים BC ו-BA.
הוכח כי העקבים של האנכים יוצרים טרפז שווה שוקיים.
פתרון

6. (10 נקודות) שתי נמלים טיילו על צלעות המשבצות של לוח 7×7.
כל אחת מהן עשתה מסלול סגור בו עברה בכל אחד מ-64 הצמתים פעם אחת בדיוק.
מהו המספר המינימלי האפשרי של צלעות בהן עברו גם הנמלה הראשונה וגם השנייה?
פתרון

7. (10 נקודות) נתונה טבלה ריבועית שבכל משבצת שלה כתוב מספר. ידוע שבכל שורה של הטבלה סכום שני המספרים הגדולים ביותר שווה ל-a, ובכל עמודה של הטבלה סכום שני המספרים הגדולים ביותר שווה ל-b.
הוכח כי a = b.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) לברון מינכהאוזן יש 50 משקולות. משקליהן של המשקולות הללו הינם מספרים טבעיים שונים בין 1 ל-100, וסכומם – מספר זוגי. מינכהאוזן טוען כי לא ניתן לשים חלק מהמשקולות על כף אחת של מאזניים, ואת השאר על הכף השנייה, כך שהמאזניים יהיו בשיווי משקל.
האם יתכן שדבריו של הברון מינכהאוזן הם אמת?
פתרון

2. (6 נקודות) נתונה תיבה עם קודקודים בנקודות שלמות (כלומר, נקודות שהקואורדינטות הקרטזיות שלהן שלמות) שנפחה שווה ל-2011.
הוכח כי צלעותיה מקבילות לצירים.
פתרון

3. קרש בצורת מנסרה משולשת נחתך פעמיים על ידי מסור שטוח (החתכים מישוריים). החתכים לא נגעו בבסיסים של המנסרה, ולא זה בזה.
א. (3 נקודות) האם החתכים יכולים להיות משולשים דומים, אבל לא חופפים?
ב. (4 נקודות) האם חתך אחד יכול להיות משולש שווה צלעות עם צלע 1, וחתך שני – שווה צלעות עם צלע 2?
פתרון

4. נתונים N מקלות כחולים ו-N אדומים. סכום אורכי המקלות הכחולים שווה לסכום אורכי המקלות האדומים. ידוע שניתן להרכיב מצולע בעל N צלעות מהמקלות הכחולים, וכן גם מהמקלות האדומים.
האם תמיד ניתן לבחור מקל אחד כחול ומקל אחד אדום, כך שלאחר שנחליף את צבעיהם (האדום יהפוך להיות כחול, והכחול יהפוך להיות אדום) עדיין יהיה ניתן להרכיב מצולע בעל N צלעות גם מהמקלות הכחולים וגם מהמקלות האדומים?
פתרו את השאלה עבור
א. (4 נקודות) 3 = N
ב. (4 נקודות) N טבעי גדול מ-3.
פתרון

5. (8 נקודות) השוקיים AB ו-CD של טרפז ABCD הן מיתרים של המעגלים w1 ו- w2 בהתאמה, שמשיקים זה לזה מבחוץ. הזוויות של הקשתות (המשיקות) AB ו-CD שוות בהתאמה ל-α ו-β. כמו כן AB ו-CD הן מיתרים של המעגלים w3 ו- w4 בהתאמה. הזוויות של הקשתות AB ו-CD של המעגלים החדשים (שנמצאים באותו צד של AB ו-CD כמו הקשתות המתאימות של שני המעגלים הראשונים) שוות בהתאמה ל-β ו-α.
הוכח כי w3 ו- w4 משיקים.
פתרון

6. (8 נקודות) נתונה טבלה ריבועית שבכל משבצת שלה כתוב מספר. ידוע שבכל שורה של הטבלה סכום שני המספרים הכי גדולים שווה ל-a, ובכל עמודה של הטבלה סכום שני המספרים הכי גדולים שווה ל-b.
הוכח כי a = b.
פתרון

7. (11 נקודות) שתי חברות מגייסות מתכנתים, לפי התור. בתורה הראשון כל חברה מגייסת מתכנת כרצונה. בתורות הבאים, כל חברה מגייסת מתכנת אחד כלשהו שטרם גויס, ומכיר לפחות אחד מהמתכנתים שכבר גויסו על ידי אותה החברה. במידה ואין מועמדים כאלה, החברה מפסיקה לגייס, והחברה השנייה ממשיכה לבד. בין המתכנתים ישנם 11 גאונים. רשימת המתכנתים, קשרי ההיכרות ביניהם ומיהם הגאונים ידועים מראש לשתי החברות.
האם קיים סידור של היכרויות, כך שהחברה השנייה תוכל לגייס לפחות 10 גאונים, ללא תלות באסטרטגית החברה הראשונה?
פתרון