תחרות מס': 30


תשס"ט (2008-2009)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) על לוח שח 100×100 נמצאות 100 מלכות שלא מאימות זו על זו. הוכח שבכל ריבוע פינתי 50×50 יש מלכה אחת לפחות.
פתרון

2. (6 נקודות) נתונות 4 אבנים, שכל אחת שוקלת מספר שלם של גרמים.
נתונים מאזניים בעלי שתי כפות וחץ, שמציינים באיזו כף יש משקל גדול יותר ובכמה גרמים.
האם ניתן לברר כמה שוקלת כל אבן תוך 4 שקילות, בתנאי שבאחת השקילות המאזניים עלולים לטעות בגרם אחד?
פתרון

3. (6 נקודות) שמוליק צייר משולש ABC והעביר בו תיכון AD.
אחר כך הוא הודיע לאליהו מה הוא אורך התיכון AD ואורך הצלע AC.
אליהו, בהסתמך על הנתונים שהוא קיבל, הוכיח טענה: זווית CAB כהה, וזווית DAB חדה.
מצא את היחס AD/AC (והוכח את הטענה של אליהו במקרה זה).
פתרון

4. (6 נקודות) הברון מינכהאוזן סיפר שיש לו מפה של ארץ עוץ ובה חמש ערים.
כל שתי ערים מחוברות באמצעות כביש שלא עובר דרך ערים אחרות.
כל כביש במפה חותך לא יותר מאשר כביש אחד (ולא יותר מפעם אחת).
כל כביש במפה מסומן בצבע צהוב או אדום.
כאשר עוברים על היקף של עיר כלשהי, צבעי הכבישים שיוצאים ממנו מתחלפים.
האם יתכן שהברון אומר את האמת?
פתרון

5. (8 נקודות) נתונים מספרים חיוביים a1, a2, … , an .
נתון כי a1 + a2 + … + an ≤ 1/2 .
הוכח כי (1 + a1)(1 + a2)· … ·(1 + an) < 2   .
פתרון

6. (9 נקודות) על הצלעות של משולש ABC שהוא לא שווה שוקיים בונים קלפי חוץ משולשים שווי שוקיים CA’B ,AB’C, כאשר BC ,AC הם הבסיסים של המשולשים האלה, בהתאמה, וזוויותיהם שצמודות לבסיסים כולן שוות φ . האנך מ-C ל-  A’B’ חותך את האנך האמצעי לקטע AB בנקודה C1 . מצא את הזווית AC1B.
פתרון

7. (כל סעיף 5 נקודות) בסדרה אינסופית  a1, a2, a3, ... המספר הראשון a1 = 1 ,
ואחרי זה כל מספר an מתקבל מהמספר an-1 לפי הכלל הבא:
אם למספר n המחלק האי-זוגי הגדול ביותר נותן שארית 1 בחלוקה ל-4 אז an = an-1 + 1,
ואם שארית 3 אז an = an-1 – 1. הוכח שבסדרה זאת
א. מספר 1 מופיעה אינסוף פעמים.
ב. כל מספר טבעי מופיע אינסוף פעמים.
(האיברים הראשונים של סדרה: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, … )
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) לוח ריבועי מחולק באמצעות 7 קווים שמקבילים לשתי צלעותיו ו-7 קווים שמקבילים לשתי צלעות אחרות ל-64 משבצות.
המרחקים בין הקווים לאו דבקה שווים, לכן לא כל המשבצות באותו גודל. המשבצות נצבעו צביעת שח.
ידוע שיחס בין שטח של משבצת לבנה כלשהי לשטח של משבצת שחורה כלשהי לא עולה על 2.
מצא את הערך הגדול ביותר האפשרי עבור יחס בין השטח הכולל של משבצות לבנות
לבין השטח הכולל של משבצות שחורות.
פתרון

2. (6 נקודות) המרחב חולק לקוביות זהות.
האם בהכרח עבור כל קוביה תהיה קוביה אחרת, כזאת שיש לשתי הקוביות פאה משותפת?
פתרון

3. (6 נקודות) על השולחן יש N > 2 ערמות של אבנים, אבן אחת בכל ערמה.
שניים משחקים לפי התור. בכל מהלך אפשר לבחור שתי ערמות שכמות האבנים בהן מספרים זרים ולאחד אותן.
המנצח הוא זה שעושה את המהלך האחרון.
מצא עבור כל N לאיזה שחקן יש אסטרטגיה מנצחת.
פתרון

4. (6 נקודות) ABCD טרפז שאינו שווה שוקיים. נסמן A1 נקודת חיתוך של המעגל החוסם של BCD עם הישר AC השונה מ-C. באופן דומה נגדיר B1, C1, D1 .
הוכח כי A1B1C1D1 – גם טרפז.
פתרון

5. (8 נקודות) בסדרה אינסופית  a1, a2, a3, ... המספר הראשון a1 = 1 ,
ואחרי זה כל מספר an מתקבל מהמספר an-1 לפי הכלל הבא:
אם למספר n המחלק האי-זוגי הגדול ביותר נותן שארית 1 בחלוקה ל-4 אז an = an-1 + 1,
ואם שארית 3 אז an = an-1 – 1. הוכח שבסדרה זאת
א. מספר 1 מופיעה אינסוף פעמים.
ב. כל מספר טבעי מופיע אינסוף פעמים.
(האיברים הראשונים של סדרה: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, … )
פתרון

6. (9 נקודות) (P(x הוא פולינום בעל מקדמים ממשיים.
נתון כי למשוואה P(m) + P(n) = 0 יש אינסוף פתרונות במספרים שלמים m ,n.
הוכח שלגרף שלו (y = P(x יש מרכז סימטריה.
הערה. מרכז סימטריה של צורה גיאומטרית כלשהי זו נקודה שסיבוב ב-180 מעלות מסביב לנקודה זאת מעביר את הצורה לעצמה.
פתרון

7. (כל סעיף 5 נקודות) מבחן אמריקאי מורכב מ-30 שאלות, לכל שאלה יש שתי תשובות אפשריות (אחת נכונה, והשנייה שגויה).
כל פעם שאבישי ניגש למבחן הוא עונה על כל השאלות.
בסוף המבחן אומרים לו כמה תשובות נכונות היו לו.
בהתחלה אבישי לא יודע את התשובה הנכונה לאף שאלה.
בתנאי שהשאלון תמיד נשאר אותו דבר, האם יצליח אבישי
א. לגלות את כל התשובות הנכונות תוך 29 מבחנים (ולענות הכל נכון במבחן ה-30)?
ב. לגלות את כל התשובות הנכונות תוך 24 מבחנים (ולענות הכל נכון במבחן ה-25)?
פתרון


אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) משה ויוסי משחקים במשחק הבא. בהתחלה על הלוח רשומים שני מספרים: 1/2008, 1/2009.
בכל מהלך משה בוחר מספר ומכריז עליו, ויוסי מוסיף אותו לאחד משני המספרים הרשומים על הלוח לפי בחירתו.
משה מנצח, אם בשלב מסוים של המשחק אחד המספרים על הלוח הופך ל-1.
האם משה יוכל תמיד לנצח, ללא תלות במהלכים של יוסי?
פתרון

2. א. (2 נקודות) הוכח שקיים מצולע שאפשר לחלק אותו ע"י קטע לשני חלקים חופפים כך, שצלע אחת של המצולע תחתך ע"י הקטע לחלקים שווים, וצלע אחרת של מצולע תחתך ע"י הקטע ביחס 1:2.
ב. (3 נקודות) האם קיים מצולע קמור עם אותה תכונה?
פתרון

3. (5 נקודות) בכל משבצת, חוץ מהמשבצת המרכזית, של הלוח 101×101 נמצא תמרור של אחד משני הסוגים "ישר" או "סיבוב".
במשבצת המרכזית נמצא בית. כלי שחמט מיוחד "מכונית" מגיע למשבצת על שפת הלוח במאונך לגבול של הלוח מבחוץ.
כל פעם בתמרור "ישר" המכונית ממשיכה ישר במשבצת הזאת, ובתמרור "סיבוב" המכונית פונה במשבצת הזאת שמאלה או ימינה לפי בחירתה.
האם ניתן להציב תמרורים בצורה כזאת, שבשום מצב המכונית לא תיכנס לתוך הבית?
פתרון

4. (5 נקודות) נתונה סדרה אינסופית של מספרים טבעיים.
נתון, שכל איבר בסדרה הזאת, חוץ מהאיבר הראשון, הוא או ממוצע חשבוני, או ממוצע הנדסי של השכנים שלו בסדרה.
האם אפשר לטעון, שאחרי איבר מסוים כל איבר בסדרה הוא ממוצע חשבוני של שכניו, או שאחרי איבר מסוים כל איבר הוא ממוצע הנדסי של שכניו?
פתרון

5. (6 נקודות) מחנה צבאי מוקף בגדר מעגלי שעל היקפה יש 9 עמדות שמירה.
בעמדות שמירה נמצאים שומרים. כל שעה עגולה כל שומר עובר מהעמדה שהוא שמר בה לעמדה שליד.
כל שומר תמיד מתקדם בכיוון קבוע (עם כיוון השעון או נגד כיוון השעון), לכן במהלך הלילה כל שומר מספיק לשמור בכל עמדה.
ידוע שבמשך שעה מסוימת בכל עמדה היו לפחות 2 שומרים, ובמהלך שעה אחרת היו בדיוק 5 עמדות שבהן היה שומר אחד בלבד.
הוכח שהייתה שעה שבה הייתה עמדת שמירה ללא שומרים.
פתרון

6. (7 נקודות) זווית C של משולש שווה שוקיים ABC שווה 120o. מהקודקוד C מעבירים שני קרניים שהזווית ביניהן 60o, שהן פוגעות בצלע AB, ולאחר שיקוף (לפי הכלל – זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה) מגיעות לשתי צלעות אחרות של משולש.
כך המשולש ABC מתפרק לחמישה משולשים. נתבונן ב-3 משולשים מבין החמישה, שהם צמודים לצלע AB.
הוכח ששטח של המשולש האמצעי שווה לסכום השטחים של שני האחרים.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) מלבן נחתך למלבנים קטנים יותר.
האם יתכן שעבור כל שני מלבנים קטנים הקטע שמחבר את מרכזיהם חותך מלבן נוסף חוץ משני המלבנים האלה?
פתרון

2. (4 נקודות) נתונה סדרה אינסופית של מספרים טבעיים.
נתון, שכל איבר בסדרה הזאת, חוץ מהאיבר הראשון, הוא או ממוצע חשבוני, או ממוצע הנדסי של השכנים שלו בסדרה.
האם אפשר לטעון, שאחרי איבר מסוים כל איבר בסדרה הוא ממוצע חשבוני של שכניו, או שאחרי איבר מסוים כל איבר הוא ממוצע הנדסי של שכניו?
פתרון

3. (6 נקודות) בכל משבצת של לוח 10×10 נמצאת דמקה.
מותר לקחת אלכסון כלשהו שעליו יש מספר זוגי של דמקות ולהוריד ממנו דמקה כלשהי.
מהו מספר המרבי של דמקות שאפשר להוריד מהלוח באמצעות סדרה של פעולות כאלו?
פתרון

4. (6 נקודות) שלושה מישורים חותכים תיבה ל-8 פאונים, שלכל אחד מהם יש בדיוק 6 פאות שכולן מרובעים (עבור כל מישור יש זוג משלו של פאות מנוגדות של התיבה שאותן הוא לא חותך).
נתון שמבין 8 פאוני החלוקה יש אחד לפחות שניתן לחסום אותו בכדור.
הוכח, שאז גם כל אחד מהם אפשר לחסום בכדור.
פתרון

5. (9 נקודות) נתון מספר שלם N > 1. שניים לפי התור מסמנים נקודות על המעגל: הראשון בצבע אדום והשני בצבע כחול.
כאשר סומנו N נקודות מכל צבע, המשחק מסתיים. בסוף המשחק, כל שחקן מוצא את הקשת הארוכה ביותר שהקצוות שלה הם בצבע שלו, ועליה אין נקודות מסומנות נוספות.
זה שיש לו את הקשת הארוכה יותר מנצח (אם האורכים שווים, או שאין קשתות שקצוותיהן באותו צבע, מכריזים על תיקו).
לאיזה שחקן יש אסטרטגיית ניצחון?
פתרון

6. (9 נקודות) המחשב מקבל מספר 6 ומבצע עליו 1000000 פעולות.
בצעד מספר N המחשב מגדיל את המספר במחלק המשותף המקסימלי בין המספר שיש כרגע לבין N.
הוכח, שבכל שלב המחשב מגדיל את המספר או ב-1 או במספר ראשוני.
פתרון