תחרות מס': 30


תשס"ט (2008-2009)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) ב-10 קופסאות נמצאים עפרונות. ידוע שבכל הקופסאות מספר העפרונות שונה, ובכל קופסה כל העפרונות בצבעים שונים. אף קופסה אינה ריקה.
הוכח שאפשר לקחת עפרון מכל קופסה כך שכל העפרונות שנלקחו יהיו בצבעים שונים.
פתרון

2. (3 נקודות) נתונים 50 מספרים שלמים חיוביים שונים, אשר 25 מתוכם אינם עולים על 50, והנותרים גדולים מ- 50 ואינם גדולים ממאה. בנוסף נתון שאין שני מספרים שהפרשם בדיוק 50. מצאו את סכום המספרים.
פתרון

3. (4 נקודות) במעגל שרדיוסו 2 חסום משולש חד-זווית A1A2A3 . הוכח שניתן לציין על הקשתות A1A2, A2A3, A3A1 נקודות B1, B2, B3 בהתאמה, כך ששטח המשושה A1B1A2B2A3B3 יהיה שווה להיקף המשולש A1A2A3.
פתרון

4. (4 נקודות) נתונים שלושה מספרים שלמים חיוביים שונים אשר אחד מהם שווה למחצית סכום שני האחרים. האם ייתכן שמכפלת שלושת המספרים מהווה חזקה 2008 של מספר טבעי?
פתרון

5. (4 נקודות) מספר ספורטאים התחילו לרוץ בו-זמנית מקצה אחד של מסלול מרוצים ישר. מהירויותיהם שונות אך קבועות. כאשר ספורטאי מגיע לקצה המסלול, הוא מסתובב מיד וחוזר לרוץ בכיוון ההפוך. כעבור זמן מה נמצאו כל הספורטאים באותה נקודה על המסלול.
הוכח שמפגשים כאלה יתקיימו גם בעתיד.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) לאלון יש מספר קופסאות עם עוגיות. אלון רשם כמה עוגיות יש בכל קופסה. יואב לקח מכל קופסה עוגיה והניח על מגש. אחר כך לקח עוגיה מכל קופסה שאינה ריקה והניח על מגש שני, וכך הלאה עד שנגמרו העוגיות בקופסאות. יואב רשם כמה עוגיות יש על כל מגש.
הוכיחו, שכמות המספרים השונים שרשם אלון שווה לכמות המספרים השונים שרשם יואב.
פתרון

2. (3 נקודות) פתור את מערכת המשוואות הבאה, עבור n > 2:

פתרון

3. (4 נקודות) במעגל שרדיוסו 2 חסום מצולע A1A2…A30 . הוכח שניתן לציין על הקשתות A1A2, A2A3, ..., A30A1 נקודות B1, B2, ... , B30 בהתאמה, כך ששטח המצולע A1B1A2B2…A30B30 יהיה שווה להיקף המצולע A1A2…A30 .
פתרון

4. (4 נקודות) האם קיימת סדרה חשבונית של חמישה מספרים שלמים חיוביים שונים, כך שמכפלת המספרים מהווה חזקה 2008 של מספר טבעי?
פתרון

5. (4 נקודות) על נייר משובץ משורטטים מספר מלבנים שצלעותיהם נמצאות על גבולות המשבצות. שטח כל מלבן הוא אי-זוגי, ואין שני מלבנים המכילים משבצת משותפת.
הוכיחו כי ניתן לצבוע כל מלבן באחד מארבעה צבעים כך שלא יהיה לשני מלבנים בעלי אותו צבע גבול משותף.
פתרון


אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) במצולע קמור בעל 2009 צלעות צויירו כל האלכסונים.
נתון ישר שחותך את המצולע ואינו עובר דרך אף אחד מקודקודיו.
הוכיחו כי הישר חותך מספר זוגי של אלכסונים.
פתרון

2. (4 נקודות) משמעות הסימון a^b היא ab   (a בחזקת b).
על מנת לקבוע את סדר הפעולות בביטוי 7^7^7^7^7^7^7, יש להוסיף לו סוגריים (סה"כ 5 זוגות סוגריים).
האם ניתן לעשות זאת בשתי דרכים שונות, כך שערך הביטוי יהיה זהה עבור שתיהן?
פתרון

3. (4 נקודות) שמוליק רוצה להכין אוסף של קוביות, ולכתוב על כל פאה של כל קוביה ספרה, כך שניתן יהיה להרכיב בעזרת הקוביות כל מספר 30-ספרתי.
מה מספר הקוביות המינימלי ששמוליק יזדקק לו?
(הספרות 6 ו-9 לא מתקבלות אחת מהשנייה על ידי היפוך).
פתרון

4. (4 נקודות) מספר טבעי הוגדל ב-10%, והמספר שהתקבל טבעי גם הוא.
האם ייתכן שסכום הספרות של המספר החדש קטן ב-10% בדיוק מסכום הספרות של המספר המקורי?
פתרון

5. (5 נקודות) במעוין ABCD, גודל הזווית A הוא 120o.
הנקודות N, M נמצאות על הצלעות CD, BC בהתאמה, כך ש ∠NAM = 30o .
הוכיחו כי מרכז המעגל החוסם של משולש NAM נמצא על אלכסון המעויין ABCD.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) משמעות הסימון a^b היא ab   (a בחזקת b).
על מנת לקבוע את סדר הפעולות בביטוי 7^7^7^7^7^7^7, יש להוסיף לו סוגריים (סה"כ 5 זוגות סוגריים).
האם ניתן לעשות זאת בשתי דרכים שונות, כך שערך הביטוי יהיה זהה עבור שתיהן?
פתרון

2. (4 נקודות) נתונות מספר נקודות במישור, שאף שלוש מתוכן אינן נמצאות על ישר אחד.
חלק מהנקודות מחוברות על ידי קטעים.
ידוע שכל ישר שאינו עובר דרך אף אחת מהנקודות האלו, חותך מספר זוגי של קטעים.
הוכיחו שמכל נקודה יוצא מספר זוגי של קטעים.
פתרון

3. (כל סעיף 2 נקודות) לכל מספר טבעי n, נסמן ע"י (O(n את המחלק האי-זוגי הגדול ביותר של n.
נתונים שני מספרים טבעיים x1 = a, x2 = b.
נבנה סדרה אינסופית של מספרים טבעיים לפי הנוסחה
xn = O(xn-1 + xn-2)     (n = 3, 4, ...)  
א. הוכיחו כי החל ממקום מסוים, כל האיברים בסדרה מקבלים ערך זהה.
ב. כיצד ניתן לחשב את הערך הזה, אם ידועים a ו-b?
פתרון

4. (4 נקודות) מספר כלשהו של אפסים ואחדות רשומים בשורה.
נתבונן בזוגות של ספרות מהשורה (לא רק בזוגות שכנים), בהם הספרה השמאלית היא 1, והימנית היא 0.
נסמן ב-M את מספר הזוגות כך שבין הספרה השמאלית והספרה הימנית בזוג ישנו מספר זוגי של ספרות (מותר שלא יהיו ספרות בכלל).
נסמן ב-N את מספר הזוגות כך שבין הספרה השמאלית והספרה הימנית בזוג ישנו מספר אי-זוגי של ספרות.
הוכח כי M ≥ N.
פתרון

5. (4 נקודות) נתונה פירמידה משולשת ונקודה X בתוכה.
דרך כל קודקוד של הפירמידה מעבירים ישר מקביל לקטע המחבר את X לנקודת חיתוך התיכונים של הפאה הנגדית.
הוכיחו כי ארבעת הישרים שהתקבלו נחתכים בנקודה אחת.
פתרון