תחרות מס': 29


תשס"ח (2007-2008)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (5 נקודות) על הצלע CD של מעוין ABCD נמצאת נקודה K כך שמתקיים AD = BK.
תהי F נקודת חיתוך של אלכסון BD ושל האנך האמצעי לצלע BC.
הוכח שהנקודות A, F, K נמצאות על ישר אחד.
פתרון

2. א. (3 נקודות) מוטי ויוסי בחרו 3 מספרים טבעיים כל אחד.
מוטי רשם על הלוח עבור כל שני מספרים מאלה שהוא בחר את המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם.
יוסי רשם על הלוח עבור כל שני מספרים מאלה שהוא בחר את הכפולה המשותפת הקטנה ביותר.
התברר, שיוסי רשם על הלוח את אותם המספרים שמוטי רשם. הוכח שכל המספרים שנרשמו על הלוח שווים.
ב. (3 נקודות) האם הטענה תישאר נכונה, אם מוטי ויוסי יבחרו בהתחלה 4 מספרים כל אחד?
פתרון

3. (6 נקודות) משה עומד במרכז שדה עגול שרדיוסו 100 מטר. כל דקה הוא עושה צעד באורך מטר. לפני כל צעד הוא אומר לאיזה כיוון הוא מתכוון לצעוד. לרונית יש זכות להכריח אותו לשנות את הכיוון שהוא בחר לכיוון ההפוך.
האם משה יכול לצאת מהשדה או שרונית תוכל למנוע את זה?
פתרון

4. (7 נקודות) נתון פס משובץ N×1. שני אנשים משחקים במשחק הבא לפי התור:
השחקן הראשון מצייר בכל מהלך X במשבצת פנויה, והשני בכל מהלך מצייר O במשבצת ריקה.
אסור שיהיה פעמיים X ברצף או פעמיים O ברצף. מי שלא מסוגל לבצע מהלך בתורו – מפסיד.
לאיזה שחקן יש אסטרטגיה מנצחת?
פתרון

5. (8 נקודות) נתון אוסף משקולות, ועל כל משקולת יש תווית שאמורה לציין את משקלה. ידוע שאוסף המשקלים ואוסף המספרים הרשומים על התוויות זהים, אבל יתכן שיש אי-התאמה בין משקלי המשקולות לבין המספרים על התוויות (עקב בלבול בהדבקת התוויות).
מאזניים מהווים קטע אופקי שנתמך באמצע. בזמן השקילה מניחים את המשקולות בנקודות שרירותיות על הקטע, וכתוצאה מכך המאזניים נשארים בשווי משקל או נוטים לאחד הצדדים. צריך לבדוק האם כל התוויות הודבקו נכון. האם תמיד ניתן לעשות זאת בשקילה אחת?
(מאזניים נמצאים בשווי משקל כאשר סכום המומנטים של המשקולות בצד ימין שווה לסכום המומנטים של המשקולות בצד שמאל, אחרת המאזניים נוטים לצד שבו סכום המומנטים גדול יותר. מומנט זה משקל המשקולת כפול המרחק לאמצע הקטע).
פתרון

6. קוסם מדגים טריק של ניחוש מספרים. בהתחלה עיניו עצומות. צופה מניח על השולחן N מטבעות בשורה כאשר הצופה מחליט לבד באיזה צד הוא שם כל מטבע – עץ או פלי. לאחר מכן, הצופה רושם על דף נייר מספר מ-1 עד N ומראה אותו לעוזר של הקוסם.
העוזר בוחר מטבע אחד מהשורה ומבקש מהצופה להפוך אותו.
אחרי זה הקוסם פוקח את עיניו, מסתכל על המטבעות, ומנחש את המספר שהצופה רשם.
א. (4 נקודות) הוכח שאם עבור N = а יש שיטת ניחוש לקוסם ולעוזר שלו (כך שהטריק יעבוד תמיד) אז גם עבור N = 2а יש שיטה.
ב. (5 נקודות) מצא את כל ערכי N שעבורם יש שיטה.
פתרון

7. (9 נקודות) שי החליט לכתוב ספר. בשביל זה הוא עשה רשימה של 22 מילים, כך שלכל אות באלף-בית העברי מתאימה מילה מסוימת מהרשימה שמכילה אותה. לאחר מכן, הוא רשם את המילה שמתאימה לאות "א", ואז החליף כל אות במילה זו במילה שמתאימה לה לפי הרשימה שלו (והכניס רווחים בין המילים). בטקסט שהתקבל הוא שוב החליף כל אות במילה לפי הרשימה שלו, ושוב, וכך 30 פעמים.
הספר שלו מתחיל במילים: "שורת ספינות בתוך האוקיאנוס שנרדם". הוכח שסדרה כזאת של מילים חוזרת על עצמה עוד פעם בתוך הספר שלו.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. א. (2 נקודות) מוטי ויוסי בחרו 3 מספרים טבעיים כל אחד.
מוטי רשם על הלוח עבור כל שני מספרים מאלה שהוא בחר את המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם.
יוסי רשם על הלוח עבור כל שני מספרים מאלה שהוא בחר את הכפולה המשותפת הקטנה ביותר.
התברר, שיוסי רשם על הלוח את אותם המספרים שמוטי רשם.
הוכח שכל המספרים שנרשמו על הלוח שווים.
ב. (2 נקודות) האם הטענה תישאר נכונה, אם מוטי ויוסי יבחרו בהתחלה 4 מספרים כל אחד?
פתרון

2. (6 נקודות) אלכסונים של מרובע חסום נחתכים בנקודה P. יהיו K, L, M, N אמצעי הצלעות של המרובע.
הוכח שהרדיוסים של המעגלים החוסמים של המשולשים PKL, PLM, PMN, PNK שווים.
פתרון

3. (6 נקודות) מצא את כל הסדרות החשבוניות באורך סופי, שהן עולות ממש, ושסכום כל האיברים שלהן שווה 1, וכל איבר בסדרה הוא מספר מסוג 1/k  , כאשר k מספר טבעי.
פתרון

4. (6 נקודות) נתון אוסף משקולות, ועל כל משקולת יש תווית שאמורה לציין את משקלה. ידוע שאוסף המשקלים ואוסף המספרים הרשומים על התוויות זהים, אבל יתכן שיש אי-התאמה בין משקלי המשקולות לבין המספרים על התוויות (עקב בלבול בהדבקת התוויות).
מאזניים מהווים קטע אופקי שנתמך באמצע. בזמן השקילה מניחים את המשקולות בנקודות שרירותיות על הקטע, וכתוצאה מכך המאזניים נשארים בשווי משקל או נוטים לאחד הצדדים.
צריך לבדוק האם כל התוויות הודבקו נכון. האם תמיד ניתן לעשות זאת בשקילה אחת?
(מאזניים נמצאים בשווי משקל כאשר סכום המומנטים של המשקולות בצד ימין שווה לסכום המומנטים של המשקולות בצד שמאל, אחרת המאזניים נוטים לצד שבו סכום המומנטים גדול יותר. מומנט זה משקל המשקולת כפול המרחק לאמצע הקטע).
פתרון

5. קוסם מדגים טריק של ניחוש מספרים. בהתחלה עיניו עצומות. צופה מניח על השולחן N מטבעות בשורה כאשר הצופה מחליט לבד באיזה צד הוא שם כל מטבע – עץ או פלי. לאחר מכן, הצופה רושם על דף נייר מספר מ-1 עד N ומראה אותו לעוזר של הקוסם.
העוזר בוחר מטבע אחד מהשורה ומבקש מהצופה להפוך אותו.
אחרי זה הקוסם פוקח את עיניו, מסתכל על המטבעות, ומנחש את המספר שהצופה רשם.
א. (4 נקודות) הוכח שאם עבור N = а יש שיטת ניחוש לקוסם ולעוזר שלו (כך שהטריק יעבוד תמיד) אז גם עבור N = 2а יש שיטה.
ב. (4 נקודות) מצא את כל ערכי N שעבורם יש שיטה.
פתרון

6. (8 נקודות) במישור נמצאים שני מצולעים קמורים P ו-Q. ניקח צלע כלשהי של P, ונסמן את האורך שלה ב-l.
כעת נעביר שני ישרים שונים שמקבילים לצלע זו, ונוגעים במצולע Q (אבל לא חותכים אותו).
נסמן ב-h את המרחק בין שני הישרים המקבילים, ונחשב את המכפלה l·h .
כאשר נסכם את המכפלות מהסוג הזה עבור כל הצלעות של מצולע P, נקבל מספר שנסמן אותו (Q,P).
הוכח כי (Q,P) = (P,Q).
פתרון

7. מול עודד נמצאות 100 קופסאות סגורות שבכל אחת מהן יש קובייה אדומה או כחולה. בחשבון של עודד יש שקל אחד. הוא ניגש לקופסה סגורה כלשהי, מנחש את צבע הקובייה שיש בפנים ומהמר על סכום כלשהו (מותר גם להמר על מספר לא שלם של אגורות, אבל לא יותר מהסכום שיש לעודד ברגע זה בחשבון). כאשר הקופסה נפתחת, סכום הכסף שהוא הימר עליו מתוסף לחשבונו או יורד מחשבונו, תלוי אם הוא ניחש נכון או לא. המשחק ממשיך עד שפותחים את כל הקופסאות.
איזה סכום מרבי יכול עודד להבטיח לעצמו אם ידוע לו כי
א. (3 נקודות) יש בדיוק קובייה כחולה אחת.
ב. (5 נקודות) יש בדיוק N קוביות כחולות. (עודד יכול להמר גם על 0 אגורות, כלומר לפתוח קופסה כלשהי בחינם).
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות, כל סעיף 2 נקודות) מספר N הוא מכפלה של שני מספרים עוקבים. הוכח/י כי
א. אפשר להוסיף לו מצד ימין 2 ספרות כך שיתקבל ריבוע שלם.
ב. אם N > 12 אז אפשר לעשות את זה בדרך אחת ויחידה.
פתרון

2. (5 נקודות) על הצלעות AB ו-BC של משולש ABC נבחרו נקודות K ו-M בהתאמה, כך ש-KM מקביל ל-AC.
הקטעים AM ו-KC נחתכים בנקודה O. נתון כי AK = AO וגם KM = MC. הוכח/י כי AM = KB.
פתרון

3. (6 נקודות) נתון פס משבצות, בעובי של משבצת אחת, אינסופי בשני הכיוונים. על הפס יש שתי משבצות שהן מלכודות. בין שתי המלכודות יש N משבצות ריקות, שבאחת מהן יושב חרגול. בכל שלב של המשחק אנחנו אומרים לחרגול מספר טבעי, והחרגול קופץ במספר הזה של משבצות. החרגול יכול בכל שלב לקפוץ שמאלה או ימינה, לפי בחירתו.
עבור איזה N נוכל להבטיח שנוכל לגרום לחרגול להגיע למלכודת, בלי תלות במיקום התחלתי שלו ובכיווני הקפיצות?
(בכל שלב של המשחק אנו רואים איפה החרגול יושב).
פתרון

4. (6 נקודות) כמות סופית של נקודות במישור צבועות ב-4 צבעים, כאשר יש נקודה אחת לפחות מכל צבע. אף 3 מהנקודות הללו לא נמצאות על ישר אחד.
הוכח/י כי אפשר למצוא 3 משולשים (אולי נחתכים) כך שלכל משולש יש קודקודים ב-3 צבעים שונים ובתוכו אין נקודות צבועות.
פתרון

5. (7 נקודות) במעגל עומדים 99 ילדים, ולכל אחד מהם יש כדור. כל דקה כל אחד מהילדים שיש לו כדור זורק אותו לאחד השכנים שלו.
אם שני כדורים מגיעים בו-זמנית לאותו ילד, אז אחד מהם הולך לאיבוד באופן בלתי ניתן לשחזור.
מהו הזמן המינימלי שיכול להיות שאחריו נשאר להם כדור אחד בלבד?
פתרון

6. (7 נקודות) האם קיימים מספרים שלמים חיוביים a,b,c,d כך ש- a/b+c/d= 1 , a/d+c/b = 2008 ?
פתרון

7. (8 נקודות) במצולע קמור ABCD אין צלעות מקבילות. הזוויות שנוצרות בין אלכסון AC לבין הצלעות הן (בסדר כלשהו) 16o, 19o, 55o, 55o .
אילו ערכים יכולה לקבל הזווית החדה בין האלכסונים AC, BD ?
פתרון

כיתות יא'-יב'


1. (6 נקודות, כל סעיף 3 נקודות) משולש נייר, שאחת מזוויותיו שווה α נחתך למספר משולשים.
האם יתכן שכל הזוויות של המשולשים שהתקבלו קטנות מ-α
א. כאשר α = 70o ?
ב. כאשר α = 80o ?
פתרון

2. (6 נקודות) על ציר מספרים יושב חרגול נקודתי. הנקודות 0 ו-1 הן מלכודות. בכל מהלך אנחנו אומרים לחרגול מספר חיובי, והחרגול קופץ במרחק שאמרנו לו, שמאלה או ימינה (לפי בחירתו).
עבור אילו נקודות התחלתיות P נוכל להגיד לו מספרים כך שהוא יצטרך לקפוץ לתוך אחת המלכודות?
(בכל שלב של המשחק אנו רואים איפה החרגול יושב).
פתרון

3. (6 נקודות) לפולינום מדרגה n יש n שורשים ממשיים שונים x1, x2, ... ,xn. שורשי הנגזרת שלו הם y1, y2, ..., yn-1 .
הוכח/י את האי-שוויון (x12+x22+...+xn2)/n > (y12+y22+...+yn-12)/(n-1) .
פתרון

4. (7 נקודות) משה ויוסי ציירו מרובע כל אחד, כך שבאף מרובע אין צלעות מקבילות. כל אחד העביר אלכסון במרובע שלו וחישב את הזוויות בין האלכסון לבין כל הצלעות.
המספרים שיצאו למשה הם α , α , β , γ (בסדר מסוים). יוסי קיבל את אותם המספרים (אולי בסדר אחר).
הוכח/י כי הזוויות בין האלכסונים במרובע של משה שוות לזווית בין האלכסונים במרובע של יוסי.
פתרון

5. (8 נקודות) כל המספרים הטבעיים נרשמו בשורה בסדר מסוים (כל מספר נרשם פעם אחת בדיוק).
האם בהכרח יש בשורה הזאת רצף של מספרים (באורך גדול מ-1), החל ממקום מסוים, שהסכום בו יהיה מספר ראשוני?
פתרון

6. (8 נקודות) ל-11 חכמים מכסים את העיניים, ובזמן שהם לא רואים מלבישים לכל אחד כובע בצבע מסוים על הראש.
אחרי זה נותנים להם להסתכל זה על זה, ואז כל אחד רואה את הצבע של הכובעים של כולם חוץ מעצמו.
לאחר מכן, כל אחד מראה לאחרים כרטיס לבן או שחור, לפי בחירתו.
אחרי שהם רואים את הכרטיסים, כולם צריכים לנחש בו-זמנית את צבעי הכובעים שלהם. האם הם יצליחו?
החכמים יכולים להחליט על השיטה מראש בועדת החכמים, והם יודעים מראש איזה 1000 צבעים יהיו.
פתרון

7. (8 נקודות) נתונים שני מעגלים ושלושה ישרים, כל ישר יוצר בחיתוך המעגלים שני מיתרים באותו אורך.
נקודות החיתוך של הישרים יוצרות משולש.
הוכח/י כי המעגל החוסם של המשולש הזה עובר דרך אמצע הקטע שמחבר בין מרכזי המעגלים.
פתרון