תחרות מס': 29


תשס"ח (2007-2008)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) מהי הכמות המרבית של דמקות שחורות ולבנות שאפשר לשים על לוח שח,
כך שבכל שורה ובכל עמודה יהיו בדיוק פי 2 יותר דמקות לבנות מאשר שחורות?
פתרון

2. (4 נקודות) על דף נייר רשומים המספר 1 ומספר X לא שלם. בכל מהלך אפשר לכתוב הפרש או סכום של מספרים שכבר רשומים, או מספר הופכי למספר שכבר רשום (כלומר אם רשום K אפשר לרשום 1/K ), ומותר לרשום שוב מספר שכבר רשום.
האם אפשר אחרי מספר מהלכים לכתוב את המספר X2 ?
פתרון

3. (4 נקודות) האמצע של צלע אחת במשולש ועקבי הגבהים שלו על שתי הצלעות האחרות יוצרים משולש שווה צלעות.
האם המשולש המקורי הוא בהכרח שווה צלעות?
פתרון

4. (5 נקודות) בטבלה 29×29 רשומים המספרים 1, 2, 3, . . . , 29, כך שכל מספר רשום 29 פעמים.
מסתבר שסכום המספרים שמעל האלכסון הראשי גדול פי 3 מסכום המספרים שמתחת לאלכסון הראשי (האלכסון הראשי בטבלה עובר דרך הפינה השמאלית העליונה).
מצא את המספר שרשום במשבצת המרכזית של הטבלה.
פתרון

5. (5 נקודות) קוסם שעיניו קשורות נותן לצופה 5 קלפים בעלי מספרים מ-1 עד 5.
הצופה מחביא שניים מהקלפים, ומחזיר את השלושה הנותרים לעוזר של הקוסם.
העוזר מצביע על שני קלפים מבין השלושה שנשארו, והצופה מכריז על מספרי שני הקלפים האלה בקול רם, בסדר שהצופה מחליט עליו. אחרי זה הקוסם אמור לנחש את הקלפים שהצופה החביא.
כיצד יכולים הקוסם והעוזר שלו לתאם מראש כדי שהקוסם תמיד יצליח לנחש?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) יש 100 תמונות, כך שעל כל תמונה מופיעים ילד ומבוגר שיותר גבוה ממנו (כל 200 האנשים על התמונות הם אנשים שונים).
צריך לחבר את כל התמונות לתמונה אחת גדולה. לפני שמרכיבים את התמונה הגדולה מותר להקטין כל תמונה פי מספר שלם של פעמים (ההקטנה יכולה להיות שונה עבור כל אחת מ-100 התמונות).
הוכח שאפשר להגיע למצב כזה, שבתמונה הגדולה כל המבוגרים יהיו גבוהים יותר מכל הילדים.
פתרון

2. (כל סעיף 2 נקודות) על דף נייר רשומים 3 מספרים חיוביים: 1, X, Y.
בכל מהלך אפשר לכתוב הפרש או סכום של מספרים שכבר רשומים, או מספר הופכי למספר שכבר רשום (כלומר אם רשום K אפשר לרשום 1/K ), ומותר לרשום שוב מספר שכבר רשום.
האם אחרי מספר מהלכים ניתן לכתוב
א. את המספר 2X ?
ב. את המספר X·Y ?
פתרון

3. (4 נקודות) נתון ישר ושתי נקודות A ו-V שנמצאות באותו צד שלו ובאותו מרחק ממנו.
כיצד אפשר, באמצעות סרגל ומחוגה, למצוא על הישר נקודה S כך שמכפלת הקטעים AS·VS תהיה מינימלית?
פתרון

4. (4 נקודות) קוסם שעיניו קשורות נותן לצופה 29 קלפים בעלי מספרים מ-1 עד 29.
הצופה מחביא שניים מהקלפים, ומחזיר את 27 הקלפים הנותרים לעוזר של הקוסם. העוזר מצביע על שני קלפים מבין ה-27 שנשארו, והצופה מכריז על מספרי שני הקלפים האלה בקול רם, בסדר שהצופה מחליט עליו. אחרי זה הקוסם אמור לנחש את הקלפים שהצופה החביא.
כיצד יכולים הקוסם והעוזר שלו לתאם מראש כדי שהקוסם תמיד יצליח לנחש?
פתרון

5. ריבוע בעל צלע 1cm מחולק ל-3 מצולעים קמורים. האם יתכן שהקוטר של כל אחד מבין 3 המצולעים אינו עולה על
א. (נקודה אחת) 1cm
ב. (2 נקודות) 1.01cm
ג. (2 נקודות) 1.001cm
הערה: קוטר של מצולע זה המרחק הגדול ביותר בין קודקודיו.
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) במשושה ABCDEF הצלעות הנגדיות מקבילות בזוגות (AB מקביל ל-BC ,DE מקביל ל-CD ,EF מקביל ל-FA), ובנוסף AB = DE. הוכח/י כי BC = EF וגם CD = FA.
פתרון

2. (5 נקודות) במישור ציירו 10 קטעים שונים, והדגישו את כל נקודות החיתוך שלהם.
התברר כי כל נקודה מודגשת מחלקת כל קטע שעובר דרכה ביחס 3:4.
מהי הכמות המרבית האפשרית של נקודות מודגשות?
פתרון

3. (5 נקודות) יש 30 כרטיסים, ועל כל כרטיס רשום מספר: על 10 כרטיסים רשום A, על 10 כרטיסים אחרים רשום B, ועל 10 הכרטיסים הנותרים רשום C (מספרים A, B, C כולם שונים). נתון שעבור כל 5 כרטיסים אפשר למצוא עוד 5 כרטיסים, כך שהסכום יצא 0.
הוכח/י כי אחד מהמספרים A, B, C הוא 0.
פתרון

4. (6 נקודות) מצא/י את כל המספרים הטבעיים N שעבורם המספר !(1+N) מתחלק במספר 1!+2!+...+N! .
הערה: !K זו מכפלה של כל המספרים הטבעיים מ-1 עד K.
פתרון

5. (6 נקודות – כל סעיף 2 נקודות) משבצות הלוח 10×10 צבועות ב-3 צבעים – לבן, כחול ואדום.
כל שתי משבצות בעלות צלע משותפת צבועות בצבעים שונים. ידוע שיש בדיוק 20 משבצות אדומות.
א. הוכח/י כי בכל מקרה קיימים 30 מלבנים שלא נחתכים וכולם מורכבים מ-2 משבצות: כחולה ולבנה.
ב. מצא/י דוגמה לצביעה שבה יש 40 מלבנים כאלה (צריך להסביר למה הדוגמה מתאימה).
ג. מצא/י דוגמה לצביעה שבה אין 31 מלבנים כאלה (צריך להסביר למה הדוגמה מתאימה).
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) יש 30 כרטיסים, ועל כל כרטיס רשום מספר: על 10 כרטיסים רשום A, על 10 כרטיסים אחרים רשום B, ועל 10 הכרטיסים הנותרים רשום C (מספרים A, B, C כולם שונים). נתון שעבור כל 5 כרטיסים אפשר למצוא עוד 5 כרטיסים, כך שהסכום יצא 0. הוכח/י כי אחד מהמספרים A, B, C הוא 0.
פתרון

2. (5 נקודות) האם יתכן כי הכפולה המשותפת המינימלית של המספרים 1, 2, ... , N גדולה פי 2008 מהכפולה המשותפת המינימלית של המספרים 1, 2, ... , M ?
פתרון

3. (5 נקודות) במשולש ABC הזווית A ישרה, M – אמצע BC , H – עקב הגובה מהקודקוד A.
הישר שעובר דרך נקודה M במאונך ל-AC חותך את המעגל החוסם של AMC שנית בנקודה P.
הוכח/י כי הקטע BP חוצה את הקטע AH.
פתרון

4. (5 נקודות) נתונים ריבוע ומצולע קמור. ידוע, שלא משנה איך מציירים שני העתקים של המצולע הקמור בתוך הריבוע, לשני ההעתקים האלה תהיה נקודה משותפת.
הוכח/י כי לא משנה איך מציירים 3 העתקים של המצולע הקמור בתוך הריבוע, יש נקודה משותפת לכל שלושת ההעתקים.
פתרון

5. (6 נקודות) נתונה טבלה :

1  2  3  4  5  6  7
7  1  2  3  4  5  6
6  7  1  2  3  4  5
5  6  7  1  2  3  4
4  5  6  7  1  2  3
3  4  5  6  7  1  2
2  3  4  5  6  7  1

מותר להחליף בה את סדר השורות, ומותר גם להחליף את סדר העמודות.
כמה טבלאות שונות אפשר לקבל בצורה כזאת מהטבלה הנתונה ?
פתרון