תחרות מס': 28


תשס"ז (2006-2007)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) נתונים שני מצולעים משוכללים: אחד בעל 7 צלעות והשני בעל 17 צלעות.
לכל אחד מהם ציירו מעגל חוסם, ומעגל חסום, וכך מסביב לכל מצולע נוצרה טבעת.
הסתבר שהשטחים של שתי הטבעות שווים. יש להוכיח שהצלעות של שני המצולעים שוות.
פתרון

2. (5 נקודות) כל פעם שאהוד מגיע לחבורה מסוימת, הוא קודם כל מברר מי מכיר את מי.
בשביל לזכור את זה הוא מצייר מעגל על דף נייר, ומצייר מיתר במעגל עבור כל איש בחבורה.
אם שני אנשים מכירים זה את זה, אז הוא מסמן אותם בשני מיתרים שנחתכים, אם לא – הוא
מסמן אותם באמצעות מיתרים שלא נחתכים. אם לשני מיתרים יש קצה משותף, נגיד שהם נחתכים.
אהוד משוכנע, שאפשר לצייר תרשים כזה עבור כל חבורה. האם הוא צודק?
פתרון

3. בתוך טבלה ריבועית 3×3 רשומים מספרים (בשורה ראשונה a, b, c בשורה שנייה d,e,f בשורה שלישית g, h, i בסדר הנתון).
ידוע שהריבוע הוא ריבוע קסם: כלומר, סכום המספרים בכל שורה, בכל עמודה ובכל אלכסון שווה לאותו מספר.
יש להוכיח כי:
א. (3 נקודות) 2(a + c + g + i) = b + d + f + h + 4e
ב. (3 נקודות) 2(a3 + c3 + g3 + i3) = b3 + d3 + f3 + h3 + 4·e3
פתרון

4. (6 נקודות) במשולש חד-זווית חסום מעגל בעל רדיוס R.
למעגל זה מעבירים 3 משיקים שמחלקים את המשולש למשושה ו-3 משולשים ישרי זווית. גודל ההיקף של המשושה הוא Q.
יש למצוא את סכום הקטרים של המעגלים שחסומים במשולשים ישרי הזווית.
פתרון

5. עטיפה של תמונה מישורית 1×1 היא דף נייר מלבני ששטחו 2 שבאצעותו אפשר (בלי לחתוך) לכסות את התמונה באופן מלא משני הצדדים.
דוגמאות לעטיפות הן למשל מלבן 2×1 וריבוע שצלעותיו 2√.
א. (4 נקודות) יש להוכיח שיש גם עטיפות אחרות.
ב. (3 נקודות) יש להוכיח שיש אינסוף עטיפות שונות.
פתרון

6. (8 נקודות) יהי , כאשר שבר מצומצם.
יש להוכיח כי קיימים אינסוף מספרים טבעים n שעבורם bn < bn+1 .
פתרון

7. (9 נקודות) למנחה יש חפיסה של 52 קלפים. הצופים רוצים לגלות את סדר הקלפים (כאשר לא ממש משנה האם הסדר הוא מלמעלה למטה או הפוך).
מותר לשאול שאלות מהסוג : "כמה קלפים נמצאים בין קלף A לקלף B? "
אחד מהצופים כבר יודע את סדר הקלפים. כמה שאלות הוא צריך לשאול כדי שגם האחרים יבינו את סדר הקלפים בחפיסה?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) כל פעם שאהוד מגיע לחבורה מסוימת, הוא קודם כל מברר מי מכיר את מי.
בשביל לזכור את זה הוא מצייר מעגל על דף נייר, ומצייר מיתר במעגל עבור כל איש בחבורה.
אם שני אנשים מכירים זה את זה, אז הוא מסמן אותם בשני מיתרים שנחתכים, אם לא – הוא
מסמן אותם באמצעות מיתרים שלא נחתכים. אם לשני מיתרים יש קצה משותף, נגיד שהם נחתכים.
אהוד משוכנע, שאפשר לצייר תרשים כזה עבור כל חבורה. האם הוא צודק?
פתרון

2. (6 נקודות) על צלעותיו AB, AC, ו- BC של משולש חד-זווית ABC נבחרו נקודות C1, B1, ו- A1 בהתאמה, כך שקטעים AA1 , BB1, CC1 הם חוצי זוויות של משולש A1B1C1 .
יש להוכיח שהקווים AA1 , BB1, CC1 הם הגבהים של משולש ABC.
פתרון

3. (6 נקודות) במספר ...0.12457 הספרה שבמקום ה-nי אחרי הנקודה העשרונית שווה לספרה משמאל לנקודה העשרונית במספר n· . יש להוכיח שהמספר שמתקבל בצורה כזאת הוא מספר אי-רציונלי.
פתרון

4. (6 נקודות) האם אפשר לחתוך מנסרה למספר פירמידות, כך שבכל פירמידה הבסיס יהיה על בסיס אחד של המנסרה, והקודקוד של הפירמידה יהיה על הבסיס השני של המנסרה ?
פתרון

5. (7 נקודות) יהי , כאשר שבר מצומצם.
יש להוכיח כי קיימים אינסוף מספרים טבעים n שעבורם bn < bn+1 .
פתרון

6. נתונה חפיסה רגילה של 52 קלפים (בחפיסה יש קלפים מ-4 צבעים, ובכל צבע יש קלפים שמייצגים 13 מספרים).
נגיד שהחפיסה מסודרת נכון אם מתקיימים 3 תנאים:
כל שני קלפים צמודים הם בעלי אותו מספר או אותו צבע,
הקלף העליון והקלף התחתון גם הם בעלי אותו מספר או אותו צבע,
הצבע של הקלף העליון הוא תלתן, ומספר שרשום עליו הוא 1.
יש להוכיח שכמות הדרכים לסדר את החפיסה נכון
א. (3 נקודות) מתחלקת ב- !12 .
ב. (5 נקודות) מתחלקת ב- !13 .
פתרון

7. מספרים ממשיים חיוביים x1 , x2 , . . . , xk מקיימים
2·( x12 + x22 + . . . + xk2 ) < x1 + x2 + . . . + xk
2·( x1 + x2 + . . . + xk ) < x13 + x23 + . . . + xk3

א. (3 נקודות) יש להוכיח כי k > 50 .
ב. (3 נקודות) למצוא דוגמא של מספרים כאלה עבור k מסוים.
ג. (3 נקודות) למצוא את k הקטן ביותר עבורו קיימת דוגמא כזאת.
פתרון


סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) נתון מספר טבעי N. כדי למצוא את המספר השלם הקרוב ביותר לשורש הריבועי של N נשתמש בשיטה הבאה:
נמצא מבין כל הריבועים של המספרים הטבעיים מספר a2 שהכי קרוב למספר N; אז a יהיה התשובה.
האם תמיד השיטה הזאת תיתן תשובה נכונה?
פתרון

2. (4 נקודות) על הצלעות של ריבוע יחידה סימנו נקודות K, L, M ו-N כך ש-KM מקביל לשתי צלעות הריבוע, ו-LN מקביל לשתי הצלעות האחרות של הריבוע.
קטע KL חותך מהריבוע משולש עם היקף 1. מה שטח המשולש שנחתך מהריבוע ע"י הקטע MN?
פתרון

3. (5 נקודות) בני לקח 20 מספרים טבעיים עוקבים, רשם אותם אחד אחרי השני בסדר כלשהו (בהצגתם בבסיס 10) וקיבל מספר M.
יוני לקח 21 מספרים טבעיים עוקבים, רשם אותם אחד אחרי השני בסדר כלשהו וקיבל מספר N.
האם יכול להיות ש- N = M ?
פתרון

4. (6 נקודות) במצולע קמור בעל n צלעות העבירו מספר אלכסונים (יכול להיות שהם נחתכים) כך שבאף נקודה בתוך המצולע לא נחתכו שלושה אלכסונים או יותר.
התברר, שהמצולע נחתך למשולשים. מהו המספר הגדול ביותר של המשולשים שהתקבלו?
פתרון

5. (7 נקודות) מצא את כל הסדרות החשבוניות העולות, המורכבות רק ממספרים ראשוניים, עם התכונה הבאה:
מספר איברי הסדרה סופי וגדול מהפרש הסדרה החשבונית.
פתרון

6. (8 נקודות) במרובע ABCD צלעות AB, BC ו-CD שוות, M – אמצע צלע AD.
ידוע שזווית BMC ישרה. מצא את הזווית בין האלכסונים של המרובע ABCD.
פתרון

7. אבי הניח בחדר שלו 52 קלפים במעגל אך השאיר מקום אחד ריק.
בני נמצא מחוץ לחדר ולא רואה את הקלפים. בני מכריז בקול רם על אחד הקלפים.
אם הקלף הזה נמצא ליד המקום הריק במעגל, אז אבי מעביר את הקלף הזה למקום הריק.
אם לא, אז הקלפים נשארים במקום.
אחרי זה בני מכריז על עוד קלף וכך הלאה עד שבני אומר "עצור".
א. (5 נקודות) האם בני יכול לגרום לכך, שבוודאות כל קלף לאחר "עצור" יהיה במקום שונה מהמקום ההתחלתי שלו?
ב. (5 נקודות) האם בני יכול לגרום לכך, שבוודאות לאחר "עצור" אס עלה לא יהיה ליד המקום הריק?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) על הפרבולה y = x2 לקחו 4 נקודות A, B, C, D כך שהקטעים AB ו-CD נחתכים בציר ה-y.
מצא את קואורדינאטת x של הנקודה D, אם קואורדינטות ה-x של הנקודות A, B ו-C הן a, b ו-c בהתאמה.
פתרון

2. (5 נקודות) לצורה קמורה F יש תכונה הבאה: כל משולש שווה צלעות עם צלעות באורך 1 אפשר להזיז במקביל בלי לסובב כך שכל קדקודיו יהיו על הגבול של F. האם מהתכונה הזאת בהכרח נובע ש-F – מעגל?
פתרון

3. (5 נקודות) יהיה (f(x – פולינום בעל דרגה גדולה מ-0.
האם יכול להיות שלמשואה f(x) = a לכל ערך של a) a ממשי) יש מספר זוגי של פתרונות?
פתרון

4. אבי הניח בחדר שלו 52 קלפים במעגל אך השאיר מקום אחד ריק. בני נמצא מחוץ לחדר ולא רואה את הקלפים.
בני מכריז בקול רם על אחד הקלפים. אם הקלף הזה נמצא ליד המקום הריק במעגל, אז אבי מעביר את הקלף הזה למקום הריק.
אם לא, אז הקלפים נשארים במקום. לאחר מכן בני מכריז על עוד קלף וכך הלאה עד שבני אומר "עצור".
א. (4 נקודות) האם בני יכול לגרום לכך, שבוודאות כל קלף לאחר "עצור" יהיה במקום שונה מהמקום ההתחלתי שלו?
ב. (4 נקודות) האם בני יכול לגרום לכך, שבוודאות לאחר "עצור" אס עלה לא יהיה ליד המקום הריק?
פתרון

5. (8 נקודות) תמניון או אוקטהדרון הוא פאון משוכלל (שכל פאותיו הן מצולעים משוכללים זהים) שיש לו 6 קודקודים, מכל קודקוד יוצאות 4 מקצועות, וכל 8 הפאות שלו הן משולשים שווי צלעות. מתמניון משוכלל עם צלע 1 חתכו 6 פינות – פירמידות עם בסיס ריבועי וצלעות באורך 1/3. התקבל פאון שפאותיו הן ריבועים ומשושים משוכללים. האם אפשר ע"י העתקים של פאון כזה לרצף מרחב?
פתרון

6. נתון מספר אי-רציונלי a, כך ש- 0 < a < 1/2 .
מ-a נגדיר מספר a1 בתור המספר הקטן מבין 2a ו- 1–2a .
מ-a1 נגדיר a2 באותה צורה, וכך הלאה.
א. (4 נקודות) הוכח שקיים n שבשבילו an < 3/16 .
ב. (4 נקודות) האם יכול להיות ש- an > 7/40 לכל n טבעי?
פתרון

7. (8 נקודות) את הצלעות של המשולש ABC רואים מנקודה T (שבתוך המשולש) בזוויות של 120o.
הוכח שהישרים הסימטריים לישרים BT, AT ו-CT ביחס לישרים AC, BC ו- AB בהתאמה נחתכים באותה נקודה.
פתרון