תחרות מס': 28


תשס"ז (2006-2007)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) על הלוח רשומים 2 מספרים טבעיים x ו-y בסדר עולה (x≤y) .
אבי כותב במחברתו x2 (ריבוע של המספר הראשון), ומחליף את המספרים על הלוח במספרים x ו- y – x, הרשומים בסדר עולה.
הוא מבצע את אותה הפעולה עם המספרים החדשים שעל הלוח וכן הלאה, שוב ושוב, עד שאחד המספרים על הלוח יהיה 0.
מה יהיה הסכום של כל המספרים הרשומים במחברת של אבי בסוף?
פתרון

2. ידוע כי שקרנים תמיד משקרים, דוברי אמת תמיד אומרים אמת,
ואילו רמאים יכולים גם לשקר וגם להגיד אמת.
אתם יכולים לשאול רק שאלות שתשובתן תהיה "כן" או "לא"
(לדוגמה: "האם נכון שבן אדם הזה – רמאי?").
א. (נקודה 1) לפניכם שלושה אנשים – שקרן, דובר אמת ורמאי, שיודעים מי זה מי.
איך גם אתם יכולים לגלות את זה?
ב. (3 נקודות) לפניכם ארבעה אנשים – שקרן, דובר אמת ושני רמאים
(כל הארבעה יודעים בוודאות מי זה מי).
הוכיחו שהרמאים יכולים להסכים ביניהם לענות כך, שלא משנה מה תשאלו אותם,
לא תוכלו לדעת על אף אחד מהם בוודאות מי הוא.
פתרון

3. א. (2 נקודות) רשומים 2007 מספרים טבעיים גדולים מ-1.
צריך להוכיח שאפשר למחוק אחד מהמספרים כך שאת המכפלה של
המספרים שיישארו יהיה ניתן להציג כהפרש ריבועים של זוג מספרים טבעיים.
ב. (2 נקודות) רשומים 2007 מספרים טבעיים גדולים מ-1,
ואחד מהם שווה ל- 2006.
התברר שיש רק מספר אחד בין הרשומים כזה שאת מכפלת כל המספרים
האחרים ניתן להציג כהפרש ריבועים של זוג מספרים טבעיים.
יש להוכיח שהמספר הזה הוא 2006.
פתרון

4. (4 נקודות) על המשך צלע BC של משולש ABC מעבר לקודקוד B ניקח
נקודה B1 כזאת ש- BB1=AB.
חוצי הזוויות החיצוניות של זווית B וזווית C נפגשים בנקודת M.
צריך להוכיח שנקודות A, B1, M ו-C נמצאות על מעגל אחד.
פתרון

5. (4 נקודות) חותכים ריבוע למצולעים חופפים לא קמורים
כך שכל צלעותיהם מקבילות לצלעות הריבוע ואף אחד מהמצולעים
אינו מתקבל ממצולע אחר ע"י הזזה מקבילה.
מהו המספר הגדול ביותר של מצולעים שיכול להיות?
(הזזה מקבילה – זו הזזה בלי סיבוב).
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) על הלוח רשומים שלושה מספרים טבעיים x, y, z.
אבי מקטין את אחד מהמספרים ב-1 ורושם במחברתו את המכפלה של שני המספרים האחרים.
הוא מבצע את אותה הפעולה עם המספרים החדשים שעל הלוח וכן הלאה, שוב ושוב,
עד שאחד המספרים על הלוח יהפוך ל- 0.
מה יהיה הסכום של כל המספרים הרשומים במחברת של אבי בסוף?
פתרון

2. (4 נקודות) נתון מרובע חוסם מעגל.
נקודות ההשקה של המעגל החסום עם צלעות המרובע מחוברות זו אחר זו באמצעות קטעים ישרים.
בתוך ארבעת המשולשים שמתקבלים חסומים מעגלים.
הוכיחו כי אלכסוני המרובע שקודקודיו הם מרכזי המעגלים מאונכים זה לזה.
פתרון

3. (4 נקודות) בתוך טבלה 2006×2006 רשומים מספרים 1, 2, 3, …, 20062.
הוכיחו כי קיים זוג מספרים במשבצות שכנות (משבצות עם צלע או קודקוד משותף)
שסכומם מתחלק ב-4.
פתרון

4. (4 נקודות) נתונות שתי סדרות אינסופיות (בכיוון אחד):
חשבונית  a1, a2, a3,... והנדסית  b1, b2, b3,...
וכל איברי הסדרה ההנדסית הם גם איברים של הסדרה החשבונית.
צריך להוכיח שהמנה של הסדרה ההנדסית היא מספר שלם.
פתרון

5. (5 נקודות) האם אפשר לחסום תמניון משוכלל בקוביה כך שקודקודי התמניון יהיו על מקצועות הקוביה?
פתרון
הערה. תמניון או אוקטהדרון הוא פאון משוכלל (שכל פאותיו הן מצולעים משוכללים זהים) שיש לו 6 קודקודים, מכל קודקוד יוצאות 4 מקצועות, וכל 8 הפאות שלו הן משולשים שווי צלעות.

סתיו


כיתות ט'-י'

1. (4 נקודות) העבירו חמישה קטעים (בלי לנתק את העט מהנייר) כך שהתקבל כוכב מחומש.
הכוכב מחולק ע"י הקטעים ל-5 משולשים ומחומש.
התברר שכל חמשת המשולשים שווים (חופפים).
האם בהכרח המחומש משוכלל (בעל צלעות וזוויות שוות)?
פתרון

2. (4 נקודות) על לוח רשומים שני מספרים 2007-ספרתיים.
ידוע, שאפשר למחוק 7 ספרות בכל אחד מהם כך שנקבל שני מספרים זהים.
הוכח, שאפשר גם להוסיף 7 ספרות לכל מספר כך שגם נקבל שני מספרים זהים.
פתרון

3. (4 נקודות) מהו המספר המינימלי של צריחים שצריך להציב על לוח שח 8×8 כך שהם יאיימו על כל המשבצות הלבנות?
(צריח מאיים על כל המשבצות שנמצאות איתו באותה שורה או באותה עמודה.)
פתרון

4. (4 נקודות) נתונים 3 מספרים ממשיים שונים מ-0.
אם נציב אותם בכל סדר בתור מקדמים של משוואה ריבועית, אז יהיה למשוואה פתרון ממשי.
האם בהכרח לכל אחת מהמשוואות הללו יהיה פתרון חיובי?
פתרון

5. א. (נקודה אחת) לעוגת קצפת יש צורה של משולש, בו אחת הזוויות גדולה פי 3 מזווית אחרת.
לקופסה של העוגה יש צורה של אותו משולש, אך סימטרית לו ביחס לישר כלשהו (כמו השתקפות במראה).
כיצד לחתוך את העוגה לשני חלקים, כך שנוכל להכניס את שני החלקים בקופסה?
ב. (4 נקודות) אותה שאלה עבור עוגת קצפת בצורה של משולש כהה זווית, שהזווית הקהה שלו גדולה פי 2 מאחת הזוויות החדות ?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) לוח 9×9 נצבע כמו לוח שח, כך שהמשבצות הפינתיות – לבנות.
מהו המספר המינימלי של צריחים שצריך להציב על הלוח כך שהם יאיימו על כל המשבצות הלבנות?
(צריח מאיים על כל המשבצות שנמצאות איתו באותה שורה או באותה עמודה.)
פתרון

2. (4 נקודות) לפולינום x3 + p·x2 + q·x + r יש שלושה שורשים בקטע (0,2).
הוכח כי – 2 < p + q + r < 0
פתרון

3. (4 נקודות) ישר משיק למעגל בנקודה A. על היישר נבחרה גם נקודה B. אם נסובב את הקטע AB מסביב למרכז המעגל בזווית מסוימת, נקבל קטע 'A'B . הוכח שהישר A'A מחלק את הקטע B'B לשני חלקים שווים.
פתרון

4. (4 נקודות) בונים סדרה של אפסים ואחדים בצורה הבאה: במקום ה-k רושמים 0 אם סכום הספרות של המספר k הוא זוגי, אחרת (אם סכום הספרות של המספר k הוא אי-זוגי) רושמים 1.
(הנה התחלה של הסדרה: ...101010101101010101001).
הוכח שהסדרה אינה מחזורית.
סדרה {an} נקראת מחזורית אם קיים מספר טבעי d, כך שהחל מאינדקס מסוים (כלומר, עבור N < n ) יתקיים an = an+d.
פתרון

5. א. (3 נקודות) לעוגת קצפת יש צורה של משולש כהה זווית, שהזווית הקהה שלו גדולה פי 2 מאחת הזוויות החדות.
לקופסה של העוגה יש צורה של אותו משולש, אך סימטרית לו ביחס לישר כלשהו (כמו השתקפות במראה).
כיצד ניתן לחתוך את העוגה לשני חלקים, כך שנוכל להכניס את שני החלקים לקופסה?
ב. (3 נקודות) אותה שאלה עבור עוגת קצפת שזוויותיה 20o , 30o , 130o .
פתרון