תחרות מס': 27


תשס"ו (2005-2006)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) במשולש ABC נסמן ב- M1, M2 ו- M3 את אמצעי הצלעות AB, BC ו-AC בהתאמה, ונסמן ב- H1, H2 ו- H3 את עקבי הגבהים מהנקודות C, A ו-B בהתאמה. יש להוכיח כי ניתן לבנות משולש מהקטעים H1M2, H2M3, ו-H3M1 .
פתרון

2. (3 נקודות) בכל אחד מקודקודיה של קובייה רשום מספר. בכל שלב אנו מחליפים כל מספר בממוצע של המספרים שהיו רשומים בשלושת הקודקודים הסמוכים לו (ההחלפה מתבצעת בו-זמנית בכל הקודקודים). נתון כי אחרי 10 שלבים כאלה בכל קודקוד מופיע המספר ההתחלתי. האם בהכרח כל המספרים ההתחלתיים שווים?
פתרון

3. (4 נקודות) קטע באורך יחידה מחולק ל-11 קטעים שאורך כל אחד מהם לא עולה על a. עבור אילו ערכים של a נוכל להיות בטוחים שמכל שלושה מהקטעים האלה ניתן יהיה להרכיב משולש?
פתרון

4. (4 נקודות) אם לכלי שחמט מותר לקפוץ 8 או 9 משבצות במאונך או במאוזן, ואסור לו לחזור לאף משבצת שכבר ביקר בה, מהו המספר הגדול ביותר של משבצות שהכלי יכול לבקר בהם בלוח 15×15? (הערה: הכלי יכול להתחיל מכל משבצת של הלוח.)
פתרון

5. (5 נקודות) נתונים 6 מטבעות שאחד מהם מזויף (משקלו שונה ממשקל המטבעות התקינים, אבל המשקלים לא ידועים). בעזרת מאזניים שמראים את המשקל הכולל של המונח עליהם, כיצד ניתן לאתר את המטבע המזויף ב-3 שקילות?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) האם שתי חזקות שלישיות שונות של מספרים טבעיים יכולות להיכנס בין הריבועים של שני טבעיים עוקבים? כלומר, האם קיימים טבעיים a, b ו-n כך שמתקיים:   n2<a3<b3<(n+1)2 ?
פתרון

2. (3 נקודות) במישור מצויר קטע באורך  √2+√3+√5 . האם ניתן לבנות בעזרת סרגל ומחוגה קטע באורך יחידה? (הערה: על הסרגל אין שנתות.)
פתרון

3. (4 נקודות) נתונים 6 מטבעות שאחד מהם מזויף (משקלו שונה ממשקל המטבעות התקינים, אבל המשקלים לא ידועים). בעזרת מאזניים שמראים את המשקל הכולל של המונח עליהם, כיצד ניתן לאתר את המטבע המזויף ב-3 שקילות?
פתרון

4. (כל סעיף 2 נקודות) על כל צלע של משולש ישר זווית ABC בנוי כלפי חוץ ריבוע. יהיו E ,D ו-F מרכזי הריבועים. הראו שיחס השטחים של המשולשים DEF ו-ABC הוא
א. גדול מ-1.
ב. לפחות 2.
פתרון

5. (5 נקודות) על מישור הניחו קובייה על אחת הפאות שלה. לאחר שגלגלו אותה (על המקצועות) מספר פעמים, הקובייה הגיעה למקומה ההתחלתי, וניצבה עם אותה פאה כלפי מעלה. האם יתכן שהפאה העליונה הסתובבה ב-90° ביחס למצבה ההתחלתי?
פתרון



אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) במשולש ABC הזווית A שווה ל-60°. האנך האמצעי לצלע AB חותך את הישר AC בנקודה N. האנך האמצעי לצלע AC חותך את הישר AB בנקודה M. הוכח/י ש-CB = MN.
פתרון

2. (3 נקודות) בטבלה n על n רשומים מספרים על פי הכלל הבא: בכל משבצת של העמודה הראשונה רשמו 1, של העמודה השנייה – 2, וכך הלאה עד העמודה ה-n-ית, בה רשמו בכל המשבצות n. אחר כך מחקו את המספרים שנמצאים על האלכסון המחבר את הפינה השמאלית העליונה עם הפינה הימנית התחתונה. הוכח/י כי סכום המספרים בצד אחד של האלכסון גדול פי 2 מסכום המספרים בצד השני.
פתרון

3. (4 נקודות) נתון מספר חיובי a. ידוע כי יש בדיוק 3 x-ים שלמים
המקיימים את אי-השוויון  1 < a·x < 2  . כמה פתרונות יכולים להיות
לאי-השוויון  2 < a·x < 3  עבור x שלם? מצא/י את כל האפשרויות.
פתרון

4. אסתר, בני וגדי יושבים מסביב לשולחן עגול ואוכלים אגוזים. בהתחלה כל האגוזים נמצאים אצל אסתר. אם מספר האגוזים זוגי היא מחלקת אותם באופן שווה בין בני וגדי; אחרת היא אוכלת אחד ואז עושה זאת. אחרי זה חוזרים על התהליך: כל פעם הילד הבא (לפי כיוון השעון) מחלק את האגוזים שלו באופן שווה בין השכנים שלו (אחרי שהוא אוכל אחד אם מספר האגוזים אי-זוגי). בהתחלה היו הרבה אגוזים (יותר מ-3). הוכח/י:
א. (3 נקודות) לפחות אגוז אחד יאכל.
ב. (3 נקודות) לא כל האגוזים יאכלו.
פתרון

5. לפנחס יש n3 קוביות לבנות 1×1×1. הוא רוצה לבנות מהן קוביה לבנה מבחוץ n×n×n . מה המספר הקטן ביותר של פאות של קוביות קטנות שראובן צריך לצבוע כדי להפריע לו
א. (2 נקודות) עבור n = 2 ?
ב. (4 נקודות) עבור n = 3 ?
פתרון


כיתות י"א-י"ב


1. נתון פאון עם 100 מקצועות. חתכו לו את כל הקודקודים על ידי מישורים.
מישורי החיתוך קרובים לקודקודים (כלומר הם לא נפגשים בתוך הפאון או על שפתו).
מצא/י את
א. (נק' אחת) מספר הקודקודים
ב. (2 נקודות) מספר המקצועות
של הפאון שהתקבל.
פתרון

2. (3 נקודות) האם קיימות פונקציות (p(x ו-(q(x כך ש- (p(x היא זוגית ו- ((p(q(x היא אי-זוגית (שלא 0 זהותית)? הערה: פונקציה זוגית זו פונקציה שמקיימת (f(x) = f(–x ,
ופונקציה אי זוגית זו פונקציה שמקיימת –g(x) = g(–x) .
פתרון

3. (4 נקודות) נתון מספר חיובי . a
ידוע כי יש 5 x-ים טבעיים המקיימים את אי-השוויון 10 < ax < 100 .
כמה פתרונות יכולים להיות לאי-השוויון  100 < ax < 1000 עבור x טבעי ?
מצאו את כל האפשרויות.
פתרון

4. (5 נקודות) המרובע ABCD חסום במעגל. נתון, כי AB = AD.
בחרו על הצלע BC נקודה M, ועל הצלע CD נקודה N, כך שהזוית MAN שווה לחצי הזוית BAD.
הוכח/י כי MN = BM + ND.
פתרון

5. לפנחס יש 3n קוביות לבנות 1×1×1. הוא רוצה לבנות מהן קוביה לבנה מבחוץ n×n×n .
מה המספר המינימלי של פאות של קוביות קטנות שראובן צריך לצבוע כדי להפריע לו
א. (3 נקודות) עבור n = 3 ?
ב. (3 נקודות) עבור n = 1000 ?
פתרון