תחרות מס': 26


תשס"ה (2004-2005)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) משולש נקרא "רציונלי" אם כל זווית בו רציונלית (מודדים זווית במעלות). נקודה בתוך המשולש תקרא "רציונלית", אם כשמחברים אותה לקודקודי המשולש, נוצרים שלושה משולשים רציונליים. הוכח / הוכיחי כי בכל משולש רציונלי חד זווית יש לפחות שלוש נקודות רציונליות שונות.
פתרון

2. (5 נקודות) מעגל החסום במשולש ABC משיק לצלעות BC, AC, AB בנקודות   A', B' ,C' בהתאמה. ידוע כי   AA' = BB' = CC' . האם המשולש ABC הוא בהכרח שווה צלעות?
פתרון

3. (6 נקודות) מהו המספר המקסימלי של פרשים שניתן לסדר על לוח שחמט 8×8, כך שכל אחד מהם יאיים על שבעה פרשים אחרים לכל היותר?
פתרון

4. (6 נקודות) יוסי בחר בשני מספרים חיוביים x ו-y. הוא רשם את המספרים x + y, x - y, x·y, x/y והראה אותם לאבי, אך לא אמר לו איזה מספר התקבל מאיזו פעולה. הוכח / הוכיחי כי אבי יכול לגלות את המספרים x ו-y בצורה חד משמעית.
פתרון

5. (7 נקודות) הנקודה K נמצאת על הצלע BC של משולש ABC. בתוך משולשים ABK ו-ACK חסומים מעגלים המשיקים לצלע BC בנקודות M ו-N בהתאמה. הוכיחו כי KN·KM < CN·BM .
פתרון

6. (8 נקודות) שני אנשים מחלקים גבינה. תחילה הראשון מחלק אותה לשני חלקים, אחריו השני בוחר בחלק אחד ומחלק אותו גם הוא לשני חלקים. כך הם ממשיכים עד שמתקבלים חמישה חלקים. כעת הראשון לוקח לעצמו חלק, אחריו השני לוקח לעצמו חלק מבין החלקים שנותרו, שוב תורו של הראשון לקחת וכך הלאה עד שלא ישארו חלקים. מצא/י מהי הכמות הרבה ביותר של גבינה שיכול כל אחד מהשניים להבטיח לעצמו, ללא תלות בפעולותיו של השני.
פתרון

7. (8 נקודות) A ו-B הם שני מלבנים. ידוע כי ממלבנים החופפים ל-A ניתן להרכיב מלבן הדומה ל-B. הוכח / הוכיחי כי ממלבנים החופפים ל-B ניתן להרכיב מלבן הדומה ל-A.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (5 נקודות) נתונות שתי פונקציות, f ו- g, המוגדרות על כל הישר הממשי והפוכות אחת לשניה, כלומר f(g(x)) = x ו- g(f(y)) = y לכל x ו-y. ידוע כי f היא סכום של פונקציה לינארית ופונקציה מחזורית, כלומר  f = kx + h(x) , כאשר k מספר ו-h היא פונקציה מחזורית. הוכח / הוכיחי כי גם g ניתנת להצגה בצורה כזו. (פונקציה h נקראת מחזורית אם קיים d חיובי כך ש (h(x) = h(x + d, לכל x)
פתרון

2. (5 נקודות) יוסי ומוטי משחקים בתורות עם ערימת אבנים. יוסי לוקח ממנה אבן אחת או עשר אבנים בכל תור. מוטי לוקח n או m אבנים בכל תור שלו. יוסי פותח את המשחק. המפסיד הוא הראשון שלא יכול לבצע מהלך בתורו. ידוע כי יוסי יכול תמיד לנצח ללא תלות בכמות התחלתית של האבנים בערימה ובמשחקו של מוטי. אילו ערכים יכולים לקבל m ו-n?
פתרון

3. (5 נקודות) יוסי בחר בשני מספרים חיוביים x ו-y. הוא רשם את המספרים x + y, x - y, x·y, x/y והראה אותם לאבי, אך לא אמר לו איזה מספר התקבל מאיזו פעולה. הוכח / הוכיחי כי אבי יכול לגלות את המספרים x ו-y בצורה חד משמעית.
פתרון

4. (6 נקודות) מעגל שמרכזו I נמצא בתוך מעגל שמרכזו O. מצא/י את המקום הגיאומטרי של המרכזים של כל המעגלים החוסמים את המשולשים מהצורה IAB, כאשר AB הוא מיתר במעגל הגדול ו AB משיק למעגל הקטן.
פתרון

5. (7 נקודות) A ו-B הם שני מלבנים. ידוע כי ממלבנים החופפים ל-A ניתן להרכיב מלבן הדומה ל-B. הוכח / הוכיחי כי ממלבנים החופפים ל-B ניתן להרכיב מלבן הדומה ל-A.
פתרון

6. (8 נקודות) נתון מספר ראשוני n גדול מ-3. משולש נקרא "חוקי" אם כל הזוויות שלו הן מהצורה כאשר m הוא מספר שלם. שני משולשים חוקיים נקראים שווים אם יש להם אוסף זהה של זוויות (כלומר אם הם דומים). נתון משולש חוקי מסוים. בכל דקה מחלקים את אחד המשולשים לשני משולשים חוקיים כך שאחרי החלוקה כל המשולשים שונים זה מזה. לאחר זמן מה התגלה כי אי אפשר לחלק בצורה כזאת אף משולש. הוכח / הוכיחי שברגע זה, המשולשים שהתקבלו הם כל המשולשים החוקיים הקיימים.
פתרון

7. (8 נקודות) הזוויות AOB ו-COD מתלכדות ע"י סיבוב, כך שהקרן OA עוברת לקרן OC והקרן OB עוברת לקרן OD. בתוך הזוויות חסומים מעגלים שנחתכים אחד עם השני בנקודות E ו-F. הוכח/ הוכיחי כי הזוויות AOE ו-DOF שוות.
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (4 נקודות) על הגרף של תלת-איבר (טרינום) ריבועי בעל מקדמים שלמים צוינו שתי נקודות בעלות קואורדינטות שלמות. הוכח/י כי אם המרחק בין הנקודות הללו – מספר שלם, אז הקטע שמחבר אותם מקביל לציר ה-x.
פתרון

2. (5 נקודות) הגבהים AA1 ו- BB1 של משולש ABC נחתכים בנקודה H. הנקודות X ו-Y הן אמצעי הקטעים AB ו- CH בהתאמה. הוכח/י שהישרים XY ו- A1B1 מאונכים.
פתרון

3. (5 נקודות) בשעון המדויק של הברון מינכהאוזן יש 3 מחוגים (של שעות, דקות ושניות) , אבל כל השנתות והספרות נמחקו. הברון טוען שאפשר לקבוע את הזמן לפי השעון שלו בצורה חד-משמעית כי הוא שם לב שבמהלך היום, (מהשעה 8:00 ועד השעה 19:59) אף מצב של מחוגים לא חוזר על עצמו פעמיים. האם זה נכון? (האורך של המחוגים שונה, וכולם זזים ברציפות).
פתרון

4. מלבן נייר משובץ 10×12, אחרי מספר קיפולים לאורך הקווים של סריג, הפך לריבוע 1×1.
לכמה חלקים הוא יתפרק אם הוא נחתך לאורך הקטע שמחבר
א. (2 נקודות) את האמצעים של שתי צלעות נגדיות,
ב. (4 נקודות) את האמצעים של שתי צלעות צמודות?
יש למצוא את כל התשובות ולהוכיח שאין תשובות אחרות.
פתרון

5. (6 נקודות) בקופסה מלבנית נמצאות מספר תיבות, שפאותיהן מקבילות לפאות הקופסה. לכל תיבה מקטינים את אחד המקצועות. האם זה בהכרח נכון, שאפשר להקטין גם את אחד המקצועות של התיבה, ואז להכניס את הקבוצה החדשה של תיבות לקופסה חדשה (כך שפאותיהם יהיו מקבילות לפאות הקופסה)?
פתרון

6. (6 נקודות) ניר ואופיר מחלקים ערמה של 25 מטבעות שערכם 1, 2, 3, ... , 25 לירות. בכל מהלך אחד מהם מוציא מטבע מהערמה, והשני מחליט מי יקבל את המטבע הזה. ניר מוציא מטבע בפעם הראשונה, ואחרי זה כל פעם מוציא מטבע מי שיש לו יותר כסף. אם יש להם אותה כמות של כסף, אז מוציא מטבע מי שעשה זאת בפעם הקודמת. האם ניר יכול תמיד לקבל יותר כסף מאופיר, או שאופיר יכול למנוע את זה?
פתרון

7. (8 נקודות) משבצות של לוח שחמט 8×8 ממוספרות לפי אלכסונים שהולכים שמאלה ולמטה, החל מהפינה השמאלית העליונה: בפינה שמאלית עליונה רשום 1, באלכסון הבא 2, 3, באלכסון הבא 4, 5, 6, ... , באלכסון לפני האחרון 62, 63, באלכסון האחרון 64. יאיר הציב 8 אסימונים על הלוח, כך שבכל שורה ובכל עמודה יש אסימון אחד בלבד. אחרי זה הוא העביר כל אסימון למשבצת שיש בה מספר יותר גבוה מהמספר שעליו האסימון היה קודם.
האם יתכן שעדיין בכל שורה ובכל עמודה יש רק אסימון אחת?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (4 נקודות) על הגרף של פולינום (רב-איבר) בעל מקדמים שלמים צוינו שתי נקודות בעלות קואורדינטות שלמות. הוכח/י כי אם המרחק בין הנקודות הללו – מספר שלם, אז הקטע שמחבר אותם מקביל לציר ה-x.
פתרון

2. (5 נקודות) המעגל W1 עובר דרך המרכז של מעגל W2. מנקודה C על W1 מעבירים משיקים ל- W2 שחותכים שוב את W1 בנקודות A ו-B. הוכח/י שהקטע AB מאונך לישר שמחבר את מרכזי המעגלים.
פתרון

3. (5 נקודות) ניר ואופיר מחלקים ערמה של 25 מטבעות שערכם 1, 2, 3, ... , 25 לירות. בכל מהלך אחד מהם מוציא מטבע מהערמה, והשני מחליט מי יקבל את המטבע הזה. ניר מוציא מטבע בפעם הראשונה, ואחרי זה כל פעם מוציא מטבע מי שיש לו יותר כסף. אם יש להם אותה כמות של כסף, אז מוציא מטבע מי שעשה זאת בפעם הקודמת.
האם ניר יכול תמיד לקבל יותר כסף מאופיר, או שאופיר יכול למנוע את זה?
פתרון

4. (6 נקודות) האם קיים טרינום ריבועי (f(x כך שלכל מספר חיובי שלם n למשוואה f(f(…f(x)…))=0 (כאשר f רשום n פעמים), יש 2n שורשים ממשיים שונים.
פתרון

5. (7 נקודות) איקוסהדרון ודודקהדרון חסומים באותו כדור. יש להוכיח שהם גם חוסמים אותו כדור.

הערה: איקוסהדרון זה רב-פאון שיש לו 20 פאות שכולן משולשים משוכללים, בכל קודקוד נפגשות 5 פאות, והזוויות בין כל שתי פאות שוות. דודקהדרון זה רב-פאון שיש לו 12 פאות שכולן מחומשים משוכללים, בכל קודקוד נפגשות 3 פאות, והזוויות בין כל שתי פאות שוות.
הומצאו גם מילים "בעברית" עבורן איקוסהדרון = עשרימון, דודקהדרון = תריסרון, אבל מילים אלו לא ידועות לציבור הרחב.
פתרון

6. (7 נקודות) צריח צולע זה כלי שחמט מיוחד, שמסוגל לזוז בכל מהלך לאחת המשבצות הסמוכות שנמצאת באותה שורה או עמודה. תהי a משבצת פינתית של לוח שחמט 8×8, b – משבצת הכי קרובה ל-a באותו אלכסון. הוכח/י, שמספר הדרכים לעבור על כל המשבצות של הלוח פעם אחד בדיוק ע"י צריח צולע כאשר הוא מתחיל ב-a גדול מאשר מספר הדרכים לעשות זאת כשמתחילים ב-b.
פתרון

7. במרחב נתונות 200 נקודות. כל 2 מחוברות ע"י קטע ישר, והקטעים האלה לא נחתכים. כל קטע צבוע באחד מ-K צבעים. יורם רוצה לצבוע גם כל נקודה באחד מ-K הצבעים האלה, כדי שלא יהיו אף 2 נקודות שהן באותו צבע כמו הקטע שמחבר אותן. האם יורם יוכל בוודאות להצליח, כאשר נתון ש
א. (4 נקודות) K=7.
ב. (4 נקודות) K=10.
פתרון