תחרות מס': 26


תשס"ה (2004-2005)



סתיו


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) האם אפשר לסדר את כל המספרים השלמים מ-1 עד 2004 כך שסכום כל 10 מספרים העומדים ברצף יתחלק ב-10?
פתרון

2. (4 נקודות) בקופסא נמצאים 111 כדורים, צבועים באדום, כחול, ירוק או לבן. ידוע שאם מוציאים 100 כדורים בלי להציץ לתוך הקופסא, אז בטוח יהיו ביניהם 4 כדורים בצבעים שונים זה מזה. בהיעדר נתונים אחרים, מהו המספר המינימלי של כדורים שצריך להוציא, בלי להציץ לתוך הקופסא, כך שבוודאות יהיו ביניהם 3 כדורים בצבעים שונים זה מזה?
פתרון

3. (4 נקודות) נתונות מספר ערים, אשר חלקן מקושרות ע"י קו אוטובוס (בלי תחנות ביניים). מכל עיר אפשר להגיע לכל עיר (אך ייתכן שע"י מעבר במספר ערים נוספות). אבי קנה כרטיס אחד לכל קו (כלומר, יכול לנסוע בכל קו פעם אחת, לא משנה באיזה כיוון), ובני קנה n כרטיסים לכל קו. אבי ובני יצאו מעיר A. אבי השתמש בכל הכרטיסים שלו, לא קנה כרטיסים חדשים ומצא את עצמו בעיר אחרת B . בני בילה זמן מסויים בנסיעות (בלי לקנות כרטיסים נוספים), הגיע לעיר X וגילה שאינו יכול לצאת ממנה בלי לקנות כרטיס חדש. הוכיחו כי העיר X היא A או B.
פתרון

4. (5 נקודות) נתונים מעגל וישר, שאינו חותך את המעגל. כיצד, בעזרת מחוגה וסרגל, לבנות ריבוע כזה ששני קודקודים סמוכים שלו נמצאים על המעגל הנתון ושני הקודקודים האחרים – על הישר הנתון (אם ידוע שריבוע כזה קיים)?
פתרון

5. (5 נקודות) כמה דרכים שונות יש לפרק את 2004 למחוברים שלמים חיוביים, שבערך שווים זה לזה? בפירוק יכולים להיות אחד או יותר מחוברים. שני מספרים נקראים "בערך שווים" אם ההפרש ביניהם לא גדול מ-1. פירוקים השונים זה מזה רק בסדר המחוברים נחשבים זהים.
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) שלושה מעגלים עוברים דרך נקודה C ,B ,A .X - נקודות החיתוך שלהם השונות מ-A' .X – נקודת החיתוך השנייה של הישר AX עם המעגל החוסם את משולש BCX. הנקודות   B', C' מוגדרות באופן דומה. הוכיחו כי המשולשים   AB'C, A'BC, ABC' דומים זה לזה.
פתרון

2. (3 נקודות) בקופסא נמצאים 100 כדורים, הצבועים בלבן, כחול או אדום. אם מוציאים 26 כדורים בלי להציץ לתוך הקופסא, בטוח יימצאו ביניהם 10 כדורים מאותו צבע. בהיעדר נתונים אחרים, מהו המספר המינימלי של כדורים שצריך להוציא, בלי להציץ לתוך הקופסא, כדי שביניהם יימצאו בוודאות 30 כדורים מאותו צבע?
פתרון

3. (4 נקודות) נתונים שני פולינומים מדרגה חיובית, Q(x)-ו P(x).
מתקיימות הזהויות P(P(P(x))) = Q(Q(Q(x))) , P(P(x)) = Q(Q(x)).
האם בהכרח מתקיימת הזהות P(x) = Q(x) ?
פתרון

4. (4 נקודות) כמה דרכים שונות יש לפרק את 2004 למחוברים שלמים חיוביים, שבערך שווים זה לזה? בפירוק יכולים להיות אחד או יותר מחוברים. שני מספרים נקראים "בערך שווים" אם ההפרש ביניהם לא גדול מ-1. פירוקים השונים זה מזה רק בסדר המחוברים נחשבים זהים.
פתרון

5. (5 נקודות) עבור אילו ערכי N ניתן לסדר את המספרים מ-1 עד N בסדר אחר, כך שהממוצע החשבוני של כל קבוצה של שניים או יותר מספרים הבאים ברצף לא יהיה שלם?
פתרון

אביב


כיתות ט'-י'


1. (3 נקודות) מהכפרים א' וב' יצאו בו-זמנית אביבית ובני זו לקראת זה. המהירויות שלהם קבועות אבל לאו דווקא שוות. אם אביבית הייתה יוצאת יותר מוקדם ב-30 דקות, אז נקודת המפגש הייתה יותר קרובה לכפר ב' ב-2 ק"מ. אם המצב היה הפוך ובני היה יוצא מוקדם יותר ב-30 דקות, נקודת המפגש הייתה יותר קרובה לכפר א'. בכמה קילומטרים הייתה מתקרבת נקודת המפגש לכפר א' במקרה זה?
פתרון

2. (4 נקודות) יהיה N מספר חיובי שלם. הוכח/י שברישום העשרוני של N או של 3N תופיע אחת מהספרות 1, 2, 9.
פתרון

3. (5 נקודות) בשורה ראשונה של לוח שחמט עומדות 8 מלכות לבנות, ובשורה אחרונה – שמונה מלכות שחורות. תוך כמה מהלכים אפשר לגרום לכך ש-8 המלכות הלבנות יהיו בשורה אחרונה, ו-8 המלכות השחורות – בשורה ראשונה? נזכיר, שלפי חוקי השחמט לבן ושחור עושים את המהלכים לפי התור, בכל מהלך מלכה יכולה לעבור מרחק כלשהו במאוזן, במאונך או באלכסון, אם אף מלכה אחרת לא עומדת בדרכה.
פתרון

4. (5 נקודות) נתון ריבוע ABCD. נקודות M ו-N הן אמצעי הצלעות BC ו-AD בהתאמה. על ההמשך של קטע AC מעבר לנקודה A נבחרה נקודה K. הקטע KM חותך את AB בנקודה L. הוכח/י כי הזוויות KNA ו-LNA שוות.
פתרון

5. (5 נקודות) בעיר מסוימת, כל רחוב מכוון או מצפון לדרום, או ממזרח למערב. הנסיעה מותרת בשני הכיוונים בכל רחוב (כל רחוב הוא דו-סטרי). נהג עשה טיול עם הרכב שלו. במהלך הטיול הוא עשה 100 פניות שמאלה. הוא לא עבר באף מקום פעמיים, ובסוף חזר לאותה נקודה. כמה פניות ימינה הוא היה יכול לעשות?
פתרון

כיתות יא'-יב'

1. (3 נקודות) במישור נתונה מערכת צירים. ציירו 4 גרפים שונים של פונקציות מהסוג y=x2+ax+b , כאשר b ,a מקדמים. ידוע שיש להם בדיוק 4 נקודות חיתוך, ובכל נקודה נחתכים בדיוק 2 גרפים. הוכח/י שהסכום של שיעורי x הקטן ביותר והגדול ביותר של 4 נקודות אלה שווה לסכום שיעורי x של שתי הנקודות האחרות.
פתרון

2. את כל המספרים הטבעיים רשמו לפי הסדר (משמאל לימין) על רצועת נייר אינסופית: 123456789101112… . אחרי זה חתכו את הרצועה לפסים כך שכל פס מכיל 7 ספרות בדיוק. הוכח/י שכל מספר בעל 7 ספרות מופיע
א. (נקודה 1) על פס אחד לפחות
ב. (3 נקודות) על אינסוף פסים.
פתרון

3. (4 נקודות) נתון ריבוע ABCD. נקודות M ו-N הן אמצעי הצלעות BC ו-AD בהתאמה. על ההמשך של קטע AC מעבר לנקודה A נבחרה נקודה K. הקטע KM חותך את AB בנקודה L. הוכח/י כי הזוויות KNA ו-LNA שוות.
פתרון

4. (4 נקודות) בעיר מסוימת, כל רחוב מכוון או מצפון לדרום, או ממזרח למערב. הנסיעה מותרת בשני הכיוונים בכל רחוב (כל רחוב הוא דו-סטרי). נהג עשה טיול עם הרכב שלו. במהלך הטיול הוא עשה 100 פניות שמאלה. הוא לא עבר באף מקום פעמיים, ובסוף חזר לאותה נקודה. כמה פניות ימינה הוא היה יכול לעשות?
פתרון

5. (5 נקודות) סכום של מספרים חיוביים מסוימים (לאו דווקא שלמים) שווה ל-10. סכום הריבועים של אותם מספרים גדול מ-20. הוכח/י שסכום החזקות השלישיות של אותם מספרים גדול מ-40.
פתרון